ûa -h ^ifl -h C7 H

/? -h — /?) (a a H- Z> p -h cy -h . . .) ' ^ Q {p''~P) l'^

les poids de ces déterminations s'obtiendront en divisant Tunité, respectivement, par

P {p* — p) {ûx -h -h cy -h* * .)

Cette solution convient au cas où, après avoir achevé le

«■àlcul , il faudrait rejeter tout à fait Tune des observations,

puisque <x*la revient à faire p* = o-^ de même, fj* = ce coiivieudra au cas où l'cquation \ = L , qui dans le c alcul avait été regaidée comme approchée, sérail rigoureu* sèment exacte.

SI, après le calcul terminé, plusieurs équations nouvelles veuaîeiit s^adjoindre aux proposées^ ou n les poids attribués à ^/tf^ieurrd^entre elles étaient erronés, le calcul des corre( lions dcviendiaÎL trop complitpié^ et il serait préférable de tout recommencer,

JNous avons donné, dans les art. i5 et 16, une méthode pour déterminer, approximativement, la précision d^uu système d^observations (*)\ mais cette méthode suppose connues exactement les erreurs réelles que Ton a effectuement rencontrées dans une suite nombreuse d^observalions; or cette condition n'est remplie que bien rarement, pour nr pas dire jamais.

Si les quantités dont Tobservation fournit les valeurs approchées dépendent, suivant une loi donnée, d*une ou de plusieurs inconnues, on pourra trouver, par la méthode des moindres carrés, les valeurs les plus plausibles de ces inconnues; si, dès lors, on calcule les valeurs corresponliantes des grandeurs observées, ces dei'nièrcs pourront être l'Cgardées comme dilléranl peu des vérilables ; île soi le que leurs diilérences avecles valeurs observées, représenteront Jes erreurs commises avec une certitude d'autant plus grande , que les observations seront plus nombreuses. Telle est la marche suivie dans la pratique par l<*s calcu»

(*) Les recherches snr le mémo sujet insérées par nous {Zeitschri/i fur Astronomie und rvi winuhf Wisscnschtrftrn ^ vol. \, i>age i85) sont fondées

sur l'hypothèso rolativc à la prohahiliU* îles orrein> à laquoHe nOUS avions «le conduit dans la 'théorie du Èiouvemrai des C-orps crlcsics.

{Molt- dv M. tiALSS.}

Oi) iruuvcra ce .Mvmuirc à la lin du vutuiiie. <1. li.

latenrs, qui ont essayé, dans des cas compliqués, d évaluer à posteriori la précision des observations. Quoique suffisante dans bien des cas, cette méthode est, théoriquement,

inexacte et pourrait fpielqucfois ronduire à de graves erreurs ; c'est pourijuoi il est très-iinportaiit de traiter la question avec plus de soin.

Conservons les notations de. Vari. 19. La méthode dont il s^agit consiste à regarder A, B,C, etc., comme les véritables valeurs des inconnues Zj etc., et X, X', X^, etc., comme celles des fonctions ^, p»', y'^, etc. Si toutes les observations ont une égale précision et que leur poids commun

soit pris pour unité, ces mômes (piautités, changées de signe, représentent. dan> cette supposition, les erreurs des obser*» valions, et, par conséquent, d après Tari, lo,

sera Terreur moyenne des observations. Si les observations n ont pas la même précision , — X , — X', X'', etc. , représenteront les erreurs des observations , respectivement

multipliées par les racines carrées des poids, et les règles, de Fart. 16 condun ool à la même lormule,

qui exprime déjà 1 erreur moyenne de ces observationA lorsque leur poids est égal à Tu ni té.

Mais le calcul exact exigerait évidenmientque Ton rem-» plaçât X, X', X'', etc. , par les valeurs de i', etc. , dé-r duites des véritables valeurs des inconnues j-, z , etc. , et la quantité iSI par la valeur coi i espondante de ft. Quoique Tua ne j)uis>e pas assigner cet!e ilt'ruiëre vahur, uous sommes certain pourtant qu Clic est plus grande que M qui est son minimum : elle n'atteindrait cette limite que dans le ras, infiniment peu probable, où les va-

leurs véritables des inconnues se confondraient avec les plus plausibles. Nous pouvons donc affirmer, en général, que l'erreur moyenne calculée par la pratique ordinaire est plus petite que Terreur moyenne exacte, et que Ton attribue , par

eonsL'qumt , aux oljstii v allons une trop grande précision. ^ oyons ce que donne une théorie rigoureuse.

Avant tout, il faut chei^her comment la quantité M dépend dei> vtii il abl es erreurs des observations. Désignons ces erreurs, comme dans Fart. 28, pare, e/, e", etc., et posons, pour plus de simplicité,

et

msjp ~ m sip' = m" \f^' = . . . = ^.

Soient

les vraies valeurs des inconnues J?, /, etc., pour lesquelles J , yj , Ç , etc. , soient , respectivement , — , — 19* , — Ç®, etc. Les vah lu s correspondantes de ^ ^ i^', etc., selon t évidemment *

de sorte qu on aura

Ç» = Ci + c'i' 4-

.r* = pf + pV +

enfin

sera la valeur de la fonction XA. correspondant aux vraies valeurs des variables a:, ^ , etc.

Puis(|uc 1*011 a idcnliqueniL'iii n = M-|-(« — A)î-|-{jr B)«-l-(»-C)i;H-...,

on aura aussi

De là , il résulte évidemment que M est une fonction homo->

gène du deuxième degré des erreurs e\ e"^ etc. -, celte fonction pour diverses valeurs des erreurs pourra devenir plus ou uioiiis grande. Dans riguoraiice où nous soniuics de ces valeurs, il est bon d'examiner attentivenieut la fonetion M, et de calculer d'abord sa valeur moyenne d'après les prin* cipes du calcul des probabilités. JVous obtiendrons cette valenr moyenne en remplaçant les carrés e% e'*, etc., par m', m", etc., et en omettant les tcrmesen ee\ ee"^ etc., dont la valenr movenne est zéro ; ou, ce qui revient au mènie , eu remplaçant chaque carré e% g", s"*, . . . , par w', et eu négfigeant ce', ce 'V • • • D'après cela, letermeXl<^ fournira ofi*; le terme —x'^^® donnera

— (a a -f- «l'a' H- a" a*' -h, . .)pi'= — pi»;

chacune des autres parties donnera également — f^' « de sorte que la valeur moyenne totale sera

m désignant le nombre des observations, et p le nombre des incomiaes. La vraie valeur de M pourra , suivant les cas que le hasard présentera , être plus grande ou plus petite que cette valeur moyenne, mais la différence sera d^autant moindre que le nombre des observations sera plus grand \ de sorte que

pourra être regardé comme une valeur approchée de ft s par conséquent la valeur de \i. , fournie parla méthode erronée

doni nous avon«» parlé dans Farticle précédent, devra être

augmentée dans le rapport de ^vs — p k^a.

Afin de faire voir plus clairement jusqu'à quel point il est permis de ]*egarder la valeur de M, fournie par les observaljioiis^ comme ^ale à la valeur exacte, il faut chercker <(uelle est Terreur moyenne à craindre lorsque l*on fait

AI

Cette erreur moyenne est la racine carrëe de la valeur

luuyeuiie de la quantité

que nous écrirons ainsi :

- jrr-t"---^^'-^*"'-^'^*- W-p).'^']-f^-;

et comme la valeur moyenne du second terme est évidemment nulit , la question se réduit à chercher la valeur moyenne de la fonction

Désignons cette valeur moyenne par Terreur moyenne cherchée sera

Si l'on dévelo|)pe la fonction ^, ou voit qu elle est une fonction homogèxie des erreurs e', e"^ etc., ou, ce qui revient au même, des quantités z\ t^^ etc.; ou trouvera donc la valeur moyenne ;

i^. En remplaçant les quatrièmes puissances e*, e'^, €f"*, etc., par leurs valeurs moyennes^

a*. En remplaçant les produits c*e'*, e*e**, etc., par leurs valeurs moyennes, c'esi-à-dire parm* /«'*, m'i//'*, elc.^

3**. F.n négligeant les proiluits tels que e^c'. < 'c etc.

Nous supposerons (art. 16) les valeurs moyennes de e*, e'^^ e"^^ etc., proportionnelles à m^, m'"*^ etc, de sorte

i|ue les rapports des unes aux auires soient v* désignant

la valeur moyenne des quatrièmes puissances des erreurs pour les observations dont le poids serait Puni té.

Les règles précédentes pourraient se tiaduire de celle autre manière :

ileniplacer chaque quatrième puissance s*, s'*, e''^ etc., par v*^ chaque produit e*e'*, €'e"% etc., par f**, et négliger tous les termes j tels que e'e' ou i*t'i"^ csW".

Ces principes étant compris, on verra facilement (pie :