I. La valeur moyenne de ii"^ est

ov' H- (o' — u) IL La valeur moyenne du produit i^x^l^^ est

car

De même, la valeur moyenne de e"jt:* est

la valeur moyenne de t"*x^ l^ est

et ainsi de suite.

Donc la valeur moyenne du produit

sera

Les produits A^/^v}' ou A* etc., auront la même

valeur moyenne; donc le produit aura pour valeur moyenne

pv«4-p(tr-l)p«.

UI. Afin d'abréger les développements qui vont suivre , nous adopterons la notation suivante* Nous attribuerons à la caractéristique £ un sens plus étendu que nous ne Fayons fait jusqu ici, en lui faisant désigner la somme des termes

semblables, mais non identiques, qui provienurnt de toutes les pei mutations des observations. Nous aurons, d'après cette uotalion ,

Calculant par parties la valeur moyenne du terme ir**J*^*, nous aurons d'abord, pour valeur moyenne du produit

De même, la valeur moyenne du produit a'* e'* est

(v* | a'^fx'Vû»;

et ainsi de suite.

Par conséquent, la valeur moyenne du produit

sera

Or la valeur moyenne de aaW(°' est

La valeur moyenne de «a'se'^^^* est

et ainsi de suitr. D'où Von conclut iacilcmeiu que la valeur moyeiiDe du produit

est

Ceci posé , nous aurons pour valeur moyenne du produit

IV. On trouvera d'une manière analogue, pour valeur moyenne du produit x^j^ |"

Or on a

cette valeur moyenne sera donc

- 3 ft' )2 « p -h ^ I -2 «p) •

V. On n om Ci ail, par un calcul semblable, que la valeur moyenne de est

( t ainsi de suite. En addidoomnt, onobdent U vémr

moyenne du produit

cette vaicui csi

M. On irouvcTaii de ia même luauière

— 3ii*)2l*PC^« H- *P + *7 -♦--•-)3 + |HHii valeur moyenne du prod«ît

et

pour Ttieur moycmae du produit

et «iiisi de MÎte.

Kmu «tarais donc» ptr ?»ddîtioa, la valeor moyenne du

elle sera

MI. ?îo«s ceadiions enfin de tons ees prrliinînûrcs,

S = (• — »fî »• H- («^ — • - 3»*P 4f ^)î**

Donc l'erreur moyenne à craindre, lorsqu'on prendra

sera

La quantité

qui eatre dans Texpression précédente, ne peut pas généralement se réduire à une forme plus simple. Cependant on peut assigner deux limites entre lesquelles sa valeur doit

nécessairement être comprise :

1*^. On déduii facilement des relations précédentes^

(a« -h -H rv -:-...)' -h («a' -h *p'-4- cy' -+-. .

d'où nous concluons que

est une quantité positive plus petite que l'unité, ou du

moins qu'elle n esi pas plus grande. Il en sera de même de la quantité

qui est égale à la somme

de même

sera plus pciit tj^ue l'imité ; et ainsi de suite. Donc

+ H-cy H )»]

est nécessairement plus petit que fs.

a°. On a .

2 (lia 4- -h; • .) = P f

car

d*où Ton dédui l iacilement que

pi

est plus grand, ou du moins nW pas plus petit, que Par conséquenl le ^erme

est nécessairement compris entre les Hmiies

£- et ï—

ou bien, entre les limites plus éieudaes,

— 3tt» V*— Bit*

cr — - p «V p

Donc le carré de Terreur moyenne à craindre pour la râleur

est compris entre les limites

cr — p «F — p '

de sorte qu^oo pourra atteindre un degré ^ précision aussi çrand que Ton voudra , ponrru que le nombre des obserTa"

tions soit suflGsamment grand.

Il est très -remarquable que daas Th) p' thèse de Tart. 9 (III) , sur laquelle nous nous étions autrelois appuyé pour établir la théorie des moindres carres 9 le second terme 4u carré de l'erreur moyenne disparait complètement (car on a — Sfi^sxo); et 'comme, pour trouver la valeur approchée fi, de Terreur moyenne des observations , il faut, dans tous les cas, traiter la somme

comme si elle était égale à la somme des carrés des q — ^ erreurs fortuites, il en résulte que, dans cette hypothèse , la précision de cette détermination devient égale à celle que nous a vont trouvée, art* 15 , pour la détermination déduite de o — ^ erreurs vraies.

à LA

Hf»ni is u mmm m tmmm

QDI mOSIL AUX HOOIDIES eureurs.

tutemt IB i6 tsmuoRB i8a6 a la sociitt mtalb m comxGOB.

Bans le Méaunte prêchent ^ on a supposé que les quantités à déternrîtier, à Taide dVbserratioiis imparfaites,

fussent dépendantes de certains éléments inconnus, en fonction desquels on sût les exprimer : le problème consistait alors à déduire des observaiious, le plus exactement possible , la valeur de ces éléments.

Dans la plupart des cas, c*est efTectÎTement ainsi que la quesUon se présente; mais quelquefois il en est nn peu autrement, et Ton pourrait mèàie se demander, au premier abord, si le problème se ramène au précédent. 11 n'est p is rare, en efl'et, que les quantités aux([uelles se rapporlent les observations ne soient pas explicitement exprimées en fonction de certains éléments, et qu'elles ne pai aissent ré-* dttctibles à une telle forme que par des opérations difficiles ou ambiguës. Il arrive souYent, d'autre part, que la nature du problème fournit certaines conditions auxquelles les valeurs observées doivent ri {peureusement satisfaire.

Cependant, en y regardant de plus près, ou apt;rçoitque ce cas ne diffère pas essentiellement du précédent , et qu'il peut s*y ramener. Si Ton nomme, en effet , nr le nombre des grandeurs observées, et a celui des équations de condition ,

en clioiaiMant, parmi les prémices, 17 9 qumtités, rîeh ne nous empéclie de les considérer comme nos seules inconnues, les autres étant regardées comme des fonctions de

<X'llt's-là, que les équations de coiiditioii Jcliuisscnt. Par cet artitice, nous renucrons dans le c|is du Mémoire précédent.

Néanmoins, quoique cette marche conduise souYent au résultat d'une manière asses commode» on ne peut nier qu'elle ne soit moins naturelle, et il est, par cotiséquenl, désirable de trailci- le problème sous l auUe forme, qui admet, du reste, une solution très- élégante. Il y a plus : cette solution nouvelle, conduisant à des calculs plus rapides que la précédente toutes les fois que 9 est moindre

que - C7 , ou, ce qui revient au même, toutes les fois que le

nombre des -éléments que nous avons désigné par ^ dans le

Mémoire précédent^ est plus grand que il faudra, dans

ce cas, préférer la solution nouvelle, quand bien même il serait facile, par la nature du problème, de faire disparaître sans ambiguïté les équations de condition.

Désignons par v\ etc., les quantités, en noiubrei?, doutles valeurs sont fournies par Tobservation. Supposons qu'une inconnue dépende de celles-là et soit exprimée par une fonction connue ti,de f , etc. Soient i\ l\ etc., ce que deviennent les quotients diflérentiels

ftu du du

lorsqu'on v substitue â i^, t'', v", etc., leurs valeurs véritables, bi Ton substituait à ^, etc., dans la fonction u, leurs valeurs véritables, on obtiendrait aussi la véiitable valeur de u; mais si les observations sont aflee-

tées d'erreurs e', e''^ etc., il en résuhera pour u une erreur totale représentée par

le -H /'c'-h/'V'H-...,

pourvu que l'on puisse, ( omme nous le supposerons toujours (lorsque u n^esL pas linéaire) , négliger les carrés et les produits des erreurs e', e"^ etc.

Qumque la grandeur des erreurs e, e\ e'\ etc., soit incertaine, Tincertitude attachée à la valeur trouvée pour u peut généralement se mesurer par Verreur moyenne à craindre dans la délermînalion adoptée. D après les principes dév eloppés dans le premier Mémoire, cette erreur moyenne est

m y m', m*, etc., étant les erreurs moyennes des diverses observations. Si toutes les observations sont affectées du

même degré d'incertitude, cette expression devient

Il est clair d^aîileurs qu*iau degré d^approximation auquel nous nous arrêtons, on peut remplacer/, /% etc., par les valeurs que prennent les coefficients différentiels

f/r( (/fi du

dp di^ rff"

lorsqu'on y remplace v' ^ v^'^ etc., par leurs valeurs observées.

Lorsque les quantités s^'^v^-^ etc., sont indépendantes, Finconnne ne peut se déterminer que d'une seule maniéré,

et rinceriitude attacHée au résultat ne peut c-tre ni évitée ni diminuée. Les observations lournisscnt une valeur de lïnconnue qui n'a, dans ce cas, rien d'arbitraire. Il en est tout autrement lorsque les quantités v\ v"y etc., sont

Vléis par cfps relaLioiis nécessaires, que nous supposerons exprimées par a équations,

X =: Oy T^O) Z = 0|.**9

Y, Z, etc., déngnantdes fonctions données des Indéterminées u', v" , etc.; car, à la fonction on peut, dans ce cas,

substituer toute autre fonction U telle, que la difléreuce U — u s'évanouisse identiquement en vertu des équations

X = o, T = Oy Z^09.««*

Si les observations étaient rigoureusement exactes, cette

substitution ne changerait en rien le résultat; raais, en raison des erreurs inévitables, à cliaque forme adoptée pour // correspondia un résultat diÛéreut, et l'erreur commise, au lieu d'être

deviendra

L*-h LV-I- L'Vh ,

en désignant par L, L', L^, etc., les quotients difleren* tiels

dV du rfU

di» dv dv"

Quoiqu'il soit impossible d*assigner la valeur des diverses erreurs, nom pouvons cependant comparer les erreurs

moyennes à craindre dans les diverses combinaisons. La combinaison la plus avantageuse sera celle qui donnera, à Terreur moyenne, la valeur minimum. Cette erreur étant

nous devons chercher à rendre la somme aussi petite que possible.

Les fonctions U, en uouibre infini, par lesquelles on peut remplacer ne diâererout les unes des autres, dans nos recherches, que par les valeurs qu^elles fourniront pour L)L', U\ etc. : nous devons donc, avant tout, chenâier les relations qui existent entre les systèmes de valeurs que peuvent prendre ces coefficients. Désignons par

les valeurs que prcnncni les coefficients

d% dH r/X

rfT

dY

dY

Si'

HZ

dZ

dZ.

si Ton y substitue pour p», v'^ v"^ etc., leurs valeurs véritables. Il est clair que si Ton donne à i^, i^, i'^, etc., des accroissements dv^ dv^'^ etc., qui ne changent pas X, Y, Z, etc., et leur laissent, par conséquent, la valeur

zéro, ces accroissements, qui satisferont aux équations

O = adv H- a'dv' -f n"dv" , . , o = hd¥^b'dp'^ ^dp^-i-,.,, O ss crf*» + c'^fi»' H- c*rf»>*-f-. . . ,

ne changeront rien à la valeur de U — u, et l'on aura , par conséquent,

o =; (/^ L) r/p -h — L') df' ;r — L*) rf*^-!-

On en conclut facilement <[ue L , L', L'', eic.^ doivent avoir

la forme

L =3 / 4- -f- / -h <w -h. . . ♦ L' = f H- tf'jp 4- 4- r'z -h . . ,

V'= t'+ a^x-^ by +c 'z -h . . . ,

or, j-, z, etc., désignant des multiplicâteursdétei minés, lléciproquementy il est clair que, pour toutes les valeurs de x, jv, etc., on pourra forlner une, fonction pour laqudle les valeurs L, L', L", etc., seront précisément celles que fournissent ces équations , et cette fonction pourra , d'après ce qui précède, être substiuiée à u. La forme la plus simple qu'on puisse lui donner est

U = K -h xXH- j^Y4- sZ . ,4-

u' désignant une fonction de etc., qui s'annule

idenliqucnicni lorsque X, Y, Z, etc., sont nuls, et dont la valeur, dans le cas actuel, sera maximum ou minimum (car SCS dérivées devront toutes s'annuler). Mais rintroduction^ de cette fonction n'apporte aucune difiiérence dans les résultats.

Il est mainteuaut facile d'assigner k x^y^z^ etc., des valeurs telles, que la somme

L'm» 4^ L'* jw'»4- L'' J»"» 4- . . .

soit un miniiiium.

Il est clair que pour atteindre ce but, la connaissance des erreurs moyennes absolues m, i»', m" y etc., n'est pas nécessaire; il suÛit de connaître leurs rapports. Introduisons, en effet, au lieu de ces quantités, les poids des observations , ;/, p"^ etc., c'est-à-dire des nombres réciproquement proportionnels k iM*, m''*, etc. Les quantités JC, z , etc., devront être délcrniinées de telle sorte que le pol\ iiùuie

acquière une valeur minimum. Supposons que jr*, 7^,

etc.) soient les valeurs déterminées- de z, etc.,

auxquelles retond ce miuimum, et adoptous les notaliuns suivantes :

ab a' h' a" h" ,

.= (cc),

al

bl

La condition de miuimum exige évidemment que l'on ait

io = (aa) «• -4- («^)/* H- »• -h, . . + («/), o = *• -I- {be) H- . . .H- (*/),

G =s ( ctf) -h (c*)>* H- («r) »• -h . . . -+• (c/).

Après que ces équations auront fourni les valeurs de x^,y^,

etc.j on posera

et la ibnctiqn la pfps propre à déterminer notre inconnue , à laquelle correspond Terreur moyenne minimum, sera celle dont les coefficients différentiels, pour les valeurs cou*

fticlérées des variables, seront ëgaux à L, U, \J\ etc. Lep<nds

de la déierminatiou ainsi obicuue, sera

c'esl-à-dire <^ue £r sera précisément la valeur que prend le

polynôme considéré plushaut, pour les valeurs des variable/i ^1/9 ^ ) ^^^'ï A&^ûfi)'^^ équations (i) .

Dans rarticle précédent, nous avons montré à tlélcrniiner la fonction U qui fournit la détermination la plus convenable de rinconnue u. Examinons actu^lement quelle est la ira/eur qui en résulte Désignons-la par K: on Fobtiendra en substituant, dans les valeurs observées des quantités w', v" ^ etc. Soit Ar la valeur que prend « lorsqu'on y fait les mêmes subsiitutions, soit t ulin k la véritable valeur de cette inconnue, telle qu'on 1 obtiendrait par la substitution des valeurs véritables de v^^ v\ v" ^ etc., soit dans 11, soit dans U. On aura

k—-»L ^ le -ir t'e"

' R =: X f Le -h LV H- L" . . . ,

et , par conséquent ,

Substituant y dans cette équation, à la place de L — JJ — — etc., leurs valeurs fournies par (a)> et posant

' ae -h a'e a^'e" -î-. . . = A,

ce c'e' -h c"e" -h . . . = e.

nous aurons

(5) K = ft-|-*JP*-H*7*-H^«*H--*

U n'est pas possible de calculer «l», etc., par ie mojeo des farnuiles (4)> earles erreurs e, e'y«%elc», qni y figun^nt, ont des Talenrs înconnncs , mais on voit facilement qne ces

quantités il**, G, etc.. ne sont atuie chose que les vaitui^ deX, ^, Z, etc., qui < oi respontU nt aux valeurs observées de i', i^', , etc., et alors le système des équations (i), (3), (5), forme la solution complète de notre problème. U est dair, en ettet^ ^ne Ton pent appliquer an calcul de a, m\ a'^j b"^ etc,y la remarque ftite à la fin de Par»

ticle 3, à l'occasion des quantités /, l', /", etc., c'est-à-dire remplarf r les valeurs véritables de i^, v\ fr'", etc., par Itîs valeurs observées.

On peut substituer à la formule (3), qui représente le

poids de la détermination la plu^ probable, plusieurs expressions qu il est utile d indiquer: remarquons, d'abord, qu'en ajoutant les équations (2) après les avoir multipliées

par -, -Tj —7j etc., Qn aura

Le premier membre est nul \ en désignant donc, diaprés la notation adoptée, le second membre par (aL), on aura

et de même

(6L)£=o, (cL)=:Oy...*

Midtiplions ensuite les équations (2) par > nous aurons, en les ajoutant,

et, par suite, nous avons cette ^eco/i^ expression du poids,

/L VV l"L" b — H — zr-

Sif ei>6n<, nous ajoutons les mêmes équations (2) aprèa

les avoir multipliées par 9 etc. , nous obtiendrons

une trotsième expression du poids , P =

OÙ Ton a posé, conformément à la notation précédente,

On passera facilement de là à la guatrième expression du poids ,

! = -(tftf) Js»»^(W)r~-(cc)a"^...

La solution générale que nous venons d'ei^ser s^applique principalement au cas où Ton n'a qu'une seule inconnue à déterminer. Lorsqu'on cherche, au contraire, les ▼aleurs les plus plausibles de plusieurs inconnues, dé|)en' dant des mêmes observations, ou lorsqu'on ignore quelles sont les inconnues qu'il f iut, de préférence, déduire des observations , il convient de procéder d*une manière diilérente, dont nous allons actuellement nous occuper.

Considérons op, ^, 2 , etc., comme des indéterminées, et posons

(rtû)* H- [ah) y -h (ûc)a + , . , = {ah)x •\' [bb) y '^{he)%'^ '.. = 11,

Supposons que Ton en déduise, par rélimiuation, (aa) Ç H- (ap) « + («7)5-!-...= *,

(7a)$ 4-(7P;n -H(v7)Ç4-...=rs;

el remarquimft, avant toat, que les ooeflieieiits ^aeés symétriquement sont nécessairement^nx, cW-à^dire que

conmie cela résulte de la théorie de rëlimination et comme d'ailleurs nous le démontrons plus loin; nous aurons

et en posant

|(aa) X (î«7) C -^...=: A, (^a) .1. H- (fi^) afl, -H (i^y) G -h. . B,

nous obtiendrons

et ai nous posons de plus ,

a A-+-6 B-4-t C-h. . .=p e, fl' A -h ^' B -hc'C -H. .

il viendra

(il) R=>t-/« - A' — r«" — ....

La comparaison des équations (7) et (9) nous apprend que les quantités auxiliaires  , 6, C , etc. , sont les valeurs que prennent les indéterminées x,j, z y etc., lorsque Ton

suppose

OU l'Ufontlui r\ uK'iiâinciit,

( (ou) A4- (a^)B-h(rtc) =

I (c«) (c/^)B-|-(cc)C-h...= e,

Enajoutaiii les équatioos (lo) après les avoir mullipliccs

par -it -79 etc. 9 on obtient ^ P P P

vV* = a s + a'e' + «'^e* -f- . .* . ,

et diî mémo («3) { Mi,=^bt-hù'i' -hb^'t"

A étant, comme on l'a dît, la valenrqne prend X lorsqu'on substitue à t', t'', v* ', etc., leurs valeurs observées; on n perçoit facilement que si l'on applique à cliacune de ( es quantités les corrections — e, — e\ — z", etc., la valeur de X devient égale à zéro, et que de mèrne Y, etc^ s'éraDonis» sent par cette hypothèse. L*équation (i i) prouve aussi que K est la valeur que prend u par suite des mêmes substitutions.

En nommant compensation des ohsen^attons^ l'application des corrections — e, — f', — t"j etc. , aux grandeurs directement observées, nous sommes conduit à une consé<jucnce très-importante :

Les observations compensées comme nous Tavons indiqué, satisfont exactement à toutes les équations de condition, et font prendre à toute fonction des quantités observées la valeur qui résulterait de la combinaison la plus convenable des observations non modifiées; et puisque les éc|ualloi)S de rondilion sont trop peu nombreuses pour qu on puisse en déduire les valeurs exactes des f'rrcurs, nous aurons au moins trouvé, par ce qui précède, les erreurs les plus plausibles. C'est sous ce nom que les quantités e', e^, etc., seront désormais désignées.

Le nombre des observaiions étant plus grand que celui des équations de condition', outre le système des éortectîons les plus plausibles, on peut en trouver un nombre infini qui rendent les équations de condition exactement

satiaiaiies.

Il importe d'examiner les relatioos qui lieut euire eux ces divers systèmes. Soit —E,—E', — E", etc., un pareil système ^éeorrections , autre que k système ie plus plausible ) i!S|||^roiis

Multipliant ces équations par A , B, C , etc., et ajoutant, il

vient, èn ayant égard aux équations (lo),

ptE H- p'e'E' -h p'^c'E' = AjL + BtJbH-Ce-f.,.,.

Mais lés équations (t3) combinées de la même manière donnent

(i4)pt* 4- p't'* -H f>''£'" . . . = B\ii, H- ce 4- . . . i de la couib i liai son de ces résultats on déduit facilement E» -t- E" +• B"' . . . = y' «' 4- «'^ -h -4-... H-p(B - »)» 4-/»^ (E' - «')• H- P"{ -

elf par suite, la somme

est, nécessairement, plus grande que

ce que Ton peut énoncer de la manière suivante :

Théob^é. — Les carrés des corrections gui peuvent

concilier les observai ion s (wec les équations de condition étant j'espectiK^einent multipliés par les poids des observations correspondantes , donnent une somme nUnimuni quand on adopte les corrections les plus plausibles.

On reconnaît précisément le principe des moindres carrés dont, au reste, les équations (12) et (lo) peuvent facilement se déduire. La somme minimum, que nous désignerous désormais par 5, est éi^ale, d'après l'é<|uaU0Q (i4)j à

Âa« + Bi& + CO +

La détermination des erreurs les |^as plausibles étant in-

dépendaiitc de /, etc., fournit la préparation la plus

commode, quelque soit l'usage que 1 on veuille faire uhérieuremeot des observations. En outre, ou voit sans peine que, pour atteindre ce but, il n'est pas nécessaire d'clVectuer rélimination indéfinie, c'est-à-dire de calculer («oc) , (a|3),etc., il suffit de déduire des ëquattons (12), par une élimination définie, les quantités auxiliaires Â, B, C, etc., que nous nommerons, dans ce qui va suivre, les corrélatifs des équations de condition

ces quantités seront ensuite substituées dans l'équation (10).

Cette méthode ne laisse rien à désirer lorsqu'on demande seulement les valeurs les plus plausibles des quantités fournies par Tobservation. Mais il en est autrement lorsqu'on

désire, eu outre, le poids de chacune des valeurs trouvées. Quelle que soit alors celle des quatre formules précédentes que Ton veuille employer, il est indispensable de connaître L, L', etc., ou, ce quî revient au même^ x*^ y^^ etc. \ par cette raison, il sera utile d'étudier, de plus près, rélimination qui fournit oea quantités et d'obtenir une méthode plus commode pour la détermination des poids

fa.

Les relations (^ui lient les quanti Joui nous nons orrupons sont notai»] «mont simpliliues par la considéralion de laionciion iudclini^du second degré

■+• -♦•..•H- (ce) +

que nous lîésignerons par T.

Cette ionctioa e«t évidemment égale à

De plus , on a évidemment

(i6) T= Çx -4-»^ + i;z -h. .

et si, enfin, on exprime x^y^z^ etc., au moyen des équations (7) , en fi>nction de |, y? , Ç, etc., on aura

T=:(aa)$'-+- 2(ap)^„ -+- 2(a7)HÇ + . . . +

-+- 2 (p7 J ïjÇ -H . . . -h (77 ) C H- . . . .

La théorie développée plus haut fournit deux systèmes de valeurs déterminées pour les quantités sc^jr^z^ etc., £ ) ^ > C ) Le premier est

à ce système correspond la valeur

ainsi qu'on le voit en comparant à Téquatiou (16), la troisième forme du poids P, ou par la considération directe de la forme (4}< Le second système de valeurs est

la valeur correspondante de T est

comme cela est évident par les formules (lo) et (i5) , et encore parles formules (14) et (16).

Nous devons,, avant tout, faire subir à la fonction T une transformation semblable à celle qui a été indiquée {TJiwrià Motus ^ art. i8a), et, avec plus de développements, dans les Recherches sur Pal/as,

Posons, à cet elfet,

.) = (ii)

{bc,

.) = (ic)

(06) (ec) (") '

[aa) '

{Cd, 2)

{ce) (cd)

{acY [be, if {aa) (hb, i) ' {ac){ad) {bc,i)(bd,t) [aa) ibb,i)

(dd, 3) = (dd) - - i^^if^.

(aa) (bb,i) (ce, 2)

et, ensuite (^),

(bh^ 1)^ H- (ée, i) s H- ( W, i) «^-4-. . . =5 n',

a)aH- («rf,2)«'H-...= Ç^,

on aura

et 9^^', etc., se déduiront de ^ , y; , f , etc., par les

) Uans les calculs précédeots il suffisait de trois lettres de chaque série pour faire apercevoir la loi dea fomnlofi ; il a paru néeenaire d'en faire ici figurer une quatrième, pour rendre Talgorilbnie plue manifeate.

(IVnie ék M. Gai»».)

équations suivantes :

(aa)

(^^), {bd,i) (crf,2)

et Ton en tirera facilement toutes les formules utiles à notre bilt. Ainsi, pour déterminer les corrélatifs A , B> G, etc., nous poserons

(i8) { (aa) (bb^i)

(afl) (hb,t) (ce, 2)

et enfin A, 6, G, etc., s'obtiendront par les formules saiyantes^ en commençant par la dernière :

(aa)k-h (o^) B+ (ac) C+ {ad) D+. = t {bb, i)B-|-(èc,i)C+(5<i,i)D-f-...=ife', (»9) ^ (cc,2)C + (c^, 2)D-h...±=e^,

Pour exprimer S, nous auiouâ la formule iiouvelle

enfin, le poids P, qu'il faut attribuer à la détermination la plus plausible de la quantité ti , sera donné par la formule

«a»; p — ^^^j (^^j^j (rf<^,3)

daus celle formule, on iail

(flê) f«/) (««) '

(ri,»)

(«c) {al) (aa)

(ad) {al) (aa)

{bù, 1)

Les fonmiles (17), (21), doni la simplicité ne laisse rien à débiter, fournissent la soiuiiou complète de notre problème.

Après avoir 1 csolu le problème que nous avions eu vue, nous allons aborder quelques questions secondaires qui éclaireront davantage Tensemble de cette tbéorie.

Nous chercherons, en premier lieu, s'il peut arriver que réliminaûon qui fournit jr, y, etc., en {onction de ( , etc., devienne, dans certains cas, impossible. Cela aurait évidemment lieu si les fonctions V3, ^9 etc., n'étaient pas indépendantes les unes des autres. Supposons, pour un instaiit, qu*il en soit ainsi , et que Tune dVlles puisse s'exprimer en fonction des autres, de telle sorte que l'on ait la relation identique

«Ç 4- pu -4- + . . . = o,

«, (3, 7, etc., désignant des nombres déterminés.

Ou aura alors

n{aû) + p{ab) -\- y (ac) -f-, . , = o, a{ab) ^{bb) -h y [hr) -h. . Oy

et si nous pasons

aa' -h ^b' -4- 7c'H'. . . r= p'B\

on eji déduira

et, par suite,

/'^^ etc., étant, par leur nature $ tous positifs, cette équation exige

Si nous considérons les diflerenUelles complètes dX^ dY^dZ^ etc., répondant aux valeurs de u\ w", etc., immédiatement fournitis par les observations, ces diiférei^

li elles

adp + a'dv' a^di/' -I- . .

bdv + b'flo' b"di'" -h. ■ , cdu -t- cdv' -f- c' r/»'" -h..

d après les résultats précédents, seront liées, les unes aux autres, de telle sorte qu'en les multipliant respectivement par a r ^9 7* 1' somme des produits sera identiquement nulle, en sorte que, parmi les équations

X = o, Y = o, Z=^Oy...,

il en est une au moins que l*on peut regarder comme iniaffe^ car elle sera satisfaite dès que les autres le seront.

En examinant la question île plus près, on voit que celle conclusion nest applicable qu'à des valeurs des variables infiniment peu différentes de celles que fournit robservatim». U y a, en effet, deux cas à distinguer : le premier est celui où Tune des équations

X = o, Y = o, Zs^o,.*.^

rmée dans les autres d^une manière générale et

absolue, et peut, par ooniëquent, être supprimée; le second est celui où, pour les valeurs particulières de t/, etc., auxquelles se rapportent les observations, Tune

des fonctions X, Y, Z, etc., X par exemple, acquiert une valeur maxijiiuin ou niinijuum, ou, plus généralement, une valeur dont la diliéreutielle saimule lorsque les autres équations restent satisfaites.

Mais comme nous ne considérons pour nos variables que des variations doïkt les carrés soient négligeables, ce second cas (qui dans les applications ne se présentera que bien rarement) , pourra être assimilé au premier, et Tune des équations de coudilioa pourra être supprimée comme surabondante.

Si les équations restantes sont iudépendantes dans le sens que nous venons d'indiquer, on peut, d'après ce qui pré* cède, être certain que Télimination est possible. Nous nous réservons, du reste, de revenir sur cette matière qui mérite d'être examinée comme subtilité théorique plutôt que comme question d'une utilité pratique.

Dans le premier Mémoire, art. 37 et suivants, nous avons montré le mojen de fixer , à posteriori , d'une manière très-approchée, le poids d'une détermination. Si les valeurs approchées de xs quantités sont fournies par des

observations également précises, et qu'on les compare avec les valeurs qui résultent pour elles des hypothèses les plus plausibles qu'on puisse faire sur les o éléments dont elles dépendent, on a vu qu'il fallait ajouter les carrés des différences obtenues, diviser la somme par xs — p, et que le quotient pouvait être regardé comme une valeur approchée du carré de Terreur moyenne inhérente à ce genre d'd>servatibns.

Si les observations sont inéi^^alcment précises, la brûle modliicatiou que 1 on doive appurlur aux préceptes précédents, consiste en ce que Ton doit multiplier les caiiés des

différencei par bt poid« respeotifii des obserrations oorreipoodantcg, et Terreur moyentie obtenue de cette manière se rapporte aui obsenrations dont le poids est pris pour

uniië.

Dans Ir cas artuol , la soiimie des carrés dont nous parlons se confond évidemment avec la somme S, et la diUé* rvurv rr'^ p avec le nombre a des équations de condition. Par suite, pour Terreur moyenne des observations dont le

poids est I, nous aurons l'expression et la dëtermi-

ii.ttiuii SL'i a d aulanl plus digue de couiiauce ^uc g sera plus considérable.

Mais il est boa d établir ce résultat, indépendamment des raisonnements du premier Mémoire; pour y parvenir, nous introduirons quelipies notations nouveÛes. Supposons qu aux valeurs

répondent

de sorte ijue Ton ait

« « («M + * (hr) • • .

et, en outre, qu^aux valeurs répondent

enfin, qu'am vaknrs

répondent

et ainsi d» sasie.

Diyitized by

La cooabinaison des équations (4) ^t (9) fournît

, II. on,

C =s y* -t- 7'*' -t- y"*'^ H-. . . , et) comme on a

on aura

La série des obsci valions qui fournissent les quaniités i^', etc., aflectées des erreurs fortuites e, e', e", etc., peut être considérée comme une épreuve qui ne fait pas connaitre» il est vrai, la {grandeur de chaque errear, mais qui, par Je moyen des règles exposées plus haut, périme! de déterminer la quantité S, fonction connue de toutes les erreurs. Dans une teUe épreuve, les erreurs peuvent être les unes plus grandes, les autres plus petites^ inaiû plus sera grand le nombre des erreurs employées, plus il y aura une grande probabilité que S diiière peu de sa valeur moyenne : la difficulté revient donc à trouver la moyenne de S.

Par les principes exposés dans le premier Mémoire et qu'il est inutile de reproduire ici , on trouve pour cette va-*

leur moyenne

(tf « H- A p -h «7 -h . . . ) m» -h («'a' + P' c'y' -h . . 0 + . . . .

£n nommant ^ Terreur moyenne qui coirespond aux observations dont le poids est i , de telle sorte que Ton ait

l'expression précédente penl s écrire comme il suit :

Mais on a trouvé

or, le second membre est l'unité, comme on le reconnaît facilement par la comparaison des équations (6) et (7). On trouvera de même

et ainsi de suite.

D'après cela, la valeur moyenne de S devient au}^ et si l'oii juge permis de regarder la vah iir furtuite de S cuuime égale à la valeur moyenne, on eu eouclui

On peut apprécier la confiance que mérite cette détermination en calculant FeneLir muyeiiiic à < laiiidre, soit pour sa valeur propre, soit pour celle de sou carré. La seconde sera la racine carrée de la valeur moyenne de lexpression

dont le développement s'obtiendra par des raisonnements

semblables à ceux qui ont été exposés dans le premier Mémoire (art. 39 et suivants). ÎSous les suppi imous pour abréger, en nous contentant d'indiquer le résultat.

L'erreur nioyennc à craindre dans la détermination du carré fi* s'exprime par

V* ëtanl la valeur moyenne des quatrièmes puissances des

erreurs dont le £)oids esl 1 uuilé, et N la somme

+ -h r H- cV • 0* +• • • -

Cette somme ne peut pas, en généralf se simplifier | mais, par un procédé analogue à celui dont on a fait usage au pa* ragraphe 40 du premier Mémoire, on peut montrer que sa

valeur esl comprise euti'C xs et ^* Dans Tliypothèse sur laquelle nous avions primitivement établi la métbode des

itioiiitlrcs rarrés, le terme qui coulienl celle souuue disparait à cause de

et la précision que Ton doit attribuer à la détermination

est par conséquent la m(^me que si Ton avait opéré sur a observations entachées d'erreurs exactement connues, conformément aux préceptes des art. 15 et 16 du premier Mémoire. *

Pour la compensation des observations, il y a, comme nous Tavons dit, doux opérations à exécuter: premièrement, il faut déteriiiiiici les cornlatifs dos équations de couditioD, c esl-à-dirc A, B, C, elc.,qui salisibnt aux équations (la ) ; secondement) substituer ces quantités dans Téqnation (lo). La compensation ainsi obtenue peut être dite parfaite et complète^ par opposition k la compensation imparfaite ou incomplète, Nous désignerons de cette dcr-

Ilière manière celles qui i ^miIii ut des nièiiies ét|ualioiis ( i o), dans lesquelles on substituera des valeurs de A^Bf C qui ue satisferont pas aux équations (la) , c^est-à-dire qui salisfe^ ront à quelqpies-unes seulement, ou à aucune. Nous ne nous occuperons pas ici d*un tel système de corrections , et nous ne leur accorderons même pas le nom de compensation.

Lorsque les équations (lo) sont satisfaites, les systèmes (12) et (k^) deviennent équivalents, et la dinerence dont nous parlons peut alors s'énoncer comme il suit : Les observations complètement compensées satisfont aux équations de condition

les observations incomplètement compensées ne satisfont qu^à une portion de ces équations, et peut-être à aucune; la compensation à la suite de laquelle toutes les équations sont satisfaites» est nécessairement complète.

Il résulte de la définition même des compensation«, qtw la réunion de deux systèmes de compensations peut en four» nir un troisième, et Ton voit qu il importe peu que les règles données pour obtenir une compensation parfaite

soient appliquées aux observations ])rimitives ou aux observations déjà imparfaitemeut compensées.

Soient — — — etc., un système de compensations incomplètes, résultant des formules

Les observations ainsi changées ne satisfaisant pas à toutes les équations de condition > soient X*y itt»^, G^, etc., les valeurs que prennent X, Y, Z, etc., quand on y substitue les valeurs ainsi obtenues pour i^', etc. On devra cberclier les valeurs A*, B^, C^, etc., satisfaisant aux équa*

lions

/ X* = A^(aa) -h }i* (ah) -h C* (ac) 4-..., \ lii.* = A* {ab) H- B* (hh) [bc) -h. . .,

et cela fait, la compensation comidète des observations ainsi modifiées se fera par les nouveaux changements — — x', — etc.; Ji, x', etc. y se déduisant des for*-

mules

xV = A*a''+ H- C*c" . •

Cherchons comment ces corrections s'accordent avec la compensation complète des observations primitives. Il est clair d*abord que Tua a

•t* = — — — a"®*' — , . . , ni* = U». Ô0 — ye' — MÔ* — ... , C* = e c0 — c'e' — e''©*— . . ,

En substituant dans ces équations, pour 0, 0', 0", etc., leurs valeurs fournies par le sysièmc (I), pour .A»*, ili»*, etc., celles que donne le système (II), il vient

J|.:=(A»4-A*) (««)-|-(B»-|-B*) (a^)H-..., tlî»=(A'>H-A*) (a6) H-(B'»-+-B*) {5^)4-..., e = (AO-hA*){«c)-t-(B«-hB*) (Z.c)-f-...j .

et il suit de là que les corrélatifs des équations de condition {12) sont

et alors les équations (10), (I) et (111) montrent que Ton a

1 = 0-1- X, «' = 0'H-x', s" = e"-hJc",...i

et, par suite, la compensation parfaite a la même valeur pour chaque inconnue, soit qu'on la calcule directement, soit qu'on Pobtîenne médistement en partant d'une compensation incomplète.

Lorsque les équations de condiiion sont très-nombreuses, la détermination des quantités corrélatives A, 15, C, etc*, peut exiger des calculs tellement longs» que le calculateur en soit rebuté*, il pourra être ayantageux d^obtenir» dans ce cas, une compensation complète, à Taide d'une série d'approximations reposant sur le théorème de l'article pré* cèdent. On partagera, pour cela, les é([uahons de condition en deux ou plusieurs groupes, et Ton cherchera d'abord une compensation qui rende satisfaites les équations du pre* mier groupe. On traitera ensuite les valeurs modifiées par ce premier calcul , et on les corrigera de nouveau en ayant ,égard seulement aux équations du second groupe* .Ce second calcul donnera des résultats qui , en général , ne sâti»^ feront plus aux équations du premier gr oupe, et il faudi a, si Ton n'a formé que deux groupes, revenir alors au premier ety satisfaire a Taide de nouvelles corrections. Les observations seront ensuite soumises à une quatrième compensation , dans laquelle on n aura égard qu'aux conditions du seeond groupe; et en opérant ainsi alternativement sur Tun et l'autre groupe d'équations, on formera des corrections qui seront nécessairement de phis en plus petites. Si le choix des groupes a été fait habilement, ou arrivera bieu vite à des valeurs que les corrections ultérieures ne changeront plus. .

Quand on forme plus de deux groupes, on. doit procéder de la même manière, les divers groupes étant employés successivement jus([u'au dernier, après quoi on revient au premier pour les reprendre dans le mèine onlie. Il nous suffit d'avoir indiqué ( e procédé, dont la réussite dépendra beaucoup de rhabileté du calculateur.

Il nous reste à donner la démonstration du Icmme admis

dans Tart. 8. Adoptons , pour plus de clarié, des notatioos

plus propres à mettre la démonstration en lumière'

Soient x^^ x\ x", etc., des iudétermiiiécs ^ supposons que les éfjuaiions

jï^ «• -I- H- Ji«x* H- . . , = X% -H J»" 4- -+- . . .ss: X% «*• 4- «»* 4- «»* *^ -h . . . =^ X*,

aient donné, par élimination, les suivantes :