La somme des angles horizontaux , foimés autour d uu

même sommet et embrassant la totalité de Tliorizon , doit

être égal à ( [ 1 1 a t re droi ts.

II. La somoie des angles dp chaque triangle penl toujours être regardée comme connue \ car, lors même que le triangle est situé sur une surface courbe, Texcès de la somme de ses angles sur deux droits peut être calculé avec une telle approximation , qu'il est permis de considérer le l'ésultat comme absolument exact.

III. Enfin, on obiieiil un Iroisicoïc genre de relations en examinant les rapports des côtés dans les triangles qui forment un réseau fermé.' Si , en effet) les triangles sont tellement placés , que le second triangle ait un côté a commun arec le premier, et un côté b commun avec le troisième; si le quatrième triangle a deux côtés c et ^ respectivement communs avec le troisième et le eîtiqni^e , et ainsi de suite, just|u au dernier triangle, qui ait uwc le précédent un côté commun k , cl avec le premier do tous un côté commun/, les quotients

pourront se calculer au moyen des angles qui leur sont opposés dans le triangle dont les deux côtés comparés font

partie . et comme le produit de ces fractions est évidemment Tunité, on aura une relation entre les sinus des divers angles mesurés (diminués du tiers de l'excès spliérique ou sphéroïdique lorsqu'on opérera sur une surface courbe). Du reste, dans les réseaux un peu compliqués, il arrive souvent que les équations de la seconde et de la tnnsième catégorie rentrent en partie les unes dans les autres , et que, par suite, leur nombic doit être réduit. Au contraire, il pourra arriver, mais seulement dans des cas assez rares, que Ton adjoigne quelques équations nouvelles à celles de • la seconde catégorie; c^est.ce qui aura lieu lorsque le réseau contiendra des polygones non divisées en triangles; on

( lOO )

podrra alors Introduire des équations relatives aitx figures qui ont plus de trois rotés. Dans une autre occasion , nous reviendrons avec plus de détails sur ces diverses circonsUinres, dontrexamen nous éloignerait en ce moment de notre but. JN'ous ne pouvons cependant nous dispenser de faire ici une remanpie indispensable à ceux qui voudraient faire rapplication rigoureuse de notre théorie : nous supposons toujours que les quantités désignées par i^, ^"^ etc., ont été observées immédiatement, ou déduites ci observa lioii^ T( lies, que leurs délermiualions soient indépendantes les unes des autres, ou, au moins, puissent être regardées comme telles. Dans la pratique la plus ordinaire, on observe les angles que Ton peut regarder comme étant les éléments Vy v', 9*^^ etc. 9 eux-mêmes. Mais on ne doit pas oublier que si le système contient, en outre, des triangles dont les^ngles n'aient pas été directement observés et aient été déduits de ceux que Ton eonnaissait, par des additions ou soustraetions , ces angles ne devront pas être mis au nombre des grandeurs déterminées par l'observation , et Ton devra les faire entrer dans le calcul comme des fonctions des éléments qui ont servi à les former. Il en sera autrement si Ton adopte la métbode d'observations de M. Struve (j4strona~ mischc iS achnchten , II, pasje 43 1), qui consisie à déterminer toutes les direelions autour d'mi même sommet, en les rapportant toutes à une seule et même direction arbitraire. Les angles mesurés ain si seront pris alors pour v , p', t^'^, etc. , et les angles des triangles se présenteront totis comme des différences. Les équations de la première catégorie devront, dans ce cas, être supprimées comme superflues, car elles seront identiquement sail^taltes. Le proccdé que j'ai suivi moi-même dans les triangnlations exceutées pendant ces dernières années, diderc des deux méthodes précédentes; on peut cependant l'assimiler, quant au résultat, avec le procédé de M. Struve , en ce sens qaei. dans cbaque station , on doit regarder etc., comme les angles formés

par les directions qui en partent» avec une même ligne arbitrairement clioîsîe.

Nous donne rnns deux exemples : le premier se rapporte au premier mode d'opération, et le second est relatif à des observations faites d'après la seconde méthode.

Le premier exemple nous sera fourni par l'ouvrai^e de M. Krayenhof ; Précis Jiistorique des opérations trigono~ métriques faites en Hollande, Nous chercherons à com-penser IsL partie des observations relativesr au terrain compris entre Harlingen, Sneek, Oldeholtpade , Ballom^ Leeuwarden , Dockum , Drachten , Oosterwolde ét Grônîngen. Entre ees points , on a formé neuf u iaui;les numéi oiés, dans rouvrage cité, 121, 122, i23, 124, i25, 127, 128, i3i, i3a. Les angles observés sont les suivants :

TaiAKCLR lai.