PREMIÈRE PARTIE
PAÉSENTÊK A LA SOCIKTK AOYALË DE GOTTtKGVE , LE |5 FKVRIER iSlI.
Quelque soin ({ue Ton apporte aux observations qui concernent la mesure des grandeurs physiques, elles sont forcément soumises à des erreurs plus ou moins considérables. Ces erreurs, dans le plus grand nombre des cas, ne sont pas simples, mais découlent à la fois de plusieurs sources distinctes qu'il est bon de distinguer en deux classes.
Certaines causes d'erreurs dépendent^ pour cbaque observation, de circonstances variables et Indépendantes du résultat que Ton obtient : les erreurs qui en proviennent sont nommées ùrâguUci'cs ou J'ortuilcSj et de même que les circonstances qui les produisent, leur valeur n'est pa* susceptible dY'tre soumise au calcul. Telles sont les erreurs qui naissent de Timperfection de nos organes et toutes celles qui sont dues à des causes extérieures irrégulîércs, comme , par exemple, les trépidations de Tair qui rendent la vision moins nclte j quelques-unes des cncurs dues à Timperfec-
lion inévitable des tncillcuis iii>u iinieuts appaiiieiiucnt à la même catégorie. Nous citerons, par ovemple, la rugosité de la partie intérieure du niveau, le défaut de rigidité absolue, etc.
Il existe, au contraire, d^autrea causes 4ui , dans toutes les observations de même nature, produisent une erreur identique, ou dépendant dr circonstances csseutiellemeui liées au résultat de Tobservation. Nous appellerons les erreurs de cette catégorie, des erreurs constant es om régulières »
Il est du reste évident que cette distinction est jusqu'à un certain point relative et dépend du sens plus ou moins large que Ton veut attacbcr à Tidée d'observations de même nature. Par exemple, si Ton répète indéfiniment la mesure d'un même angle, les erreurs provenant d'une division imparfaite du limbe appartiendront à la classe des erreurs constantes. Si, au contraire, on mesure successivement plusieurs angles différents, les erreurs dues à Timperfection de la division seront regardées comme fortuites tant que Ton n*aura pas formé la table des erreurs relatives à chaque division.
Nous excluons de nos recherches la considération des erreurs régulières. C^cst à l'observateur qu*il appartient de rechercher avec soin les causes qui peuvent produire une erreur constante , pour les écarter s'il est possible, ou tout au moins apprécier leur effet, afin de le corrige r sur chaque observation, qui donnera alors le même résultat que si la cause constante n'avait pas existé. Il en est tout autrement des erreurs irrégulières : celles-là , par leur nature, se refusent à tout calcul, et il faut bien les tolérer dans les observations. On peut cependant, par ime combinaison habile des résultats , réduire autant que possible leur influence. C'est à cette question importante que sont consacrées les recherches suivantes.
Les erreurs qui, dans des observations de même espèce, proviennent d'une cause simple et déterminée se trouvent renfermées entre certaines limites que Ton pourrait sans aucun doute assigner, si la nature de cette cause était elle-même parJaiLcrnent connue. Dans la piupai i des cas, toutes les erreurs comprises entre ces limites extrêmes doivent être regardées comme possibles. Une connaissance approfondie de chaque cause apprendrait si toutes ces erreurs ont une facilité égale ou inégale, et, dans le second cas, quelle est la probabilité relative de chacune d'elles. La même renianpnj b ajip]i(|Uf à Terreur totale qui provient de la réunion de plusieurs erreurs simples. Cette erreur sera, elle aussi, renfermée entre deux limites dont Tune sera la somme des limites supérieures, Vautre celle des limites inférieures, correspondant aux erreurs simples. Toutes les erreurs comprises entre ces limites seront possibles, et chacune pourra résulter, d une infinité de manières, de valeurs convenables allribuées aux erreurs partielles. On comprend néanmoins, en écartant les difficultés purement analytiques , qu^il y a possibilité d'apprécier la probabilité plus ou moins grande de chaque résultat, si Ton suppose connues les probabilités relatives à chacune des causes simples.
Certaines causes pourtant produisent des erreurs qui ne peuvent pas varier hulvcint une loi continue, mais qui, au contraire, sont susceptibles d'un nombre fini de valeurs: nous pouvons citer, comme exemple, les erreurs qui proviennent de la division imparfaite des instruments (si toutefois on veut les classer parmi les erreurs fortuites), car le nombre des divisions, dans un instrument donné, est essentiellement fini. Il est clair néanmoins que, si toutes les causes ({ui concourent à produire Terreur totale ne sont pas supposées dans ce cas , leur somme formera une série soumise à la loi de continuité, ou, tout au moins, plusieurs «
scries distinctes , s*il arrive qu'en plaçant par ordre de gran* deur tontes les valeurs possibles des erreurs discontinues,
la dilîeroMCG entre deux ici iucs consécutifs de Ja série soit moindre que la difrércnce enlre les limites extrêmes des erreurs soumises à la loi de continuité. Dans la pratique, un pareil cas ne se présentera presque jamais j il supposerait, des défauts trop grossiers dans la construction de l'instrument.
Désignons par la nutation o (x) la facilité relative d'une erreur x : on doit entendre par là , .V cause de la continuité des erreurs y que [x) dx est la probabilité que Terreur soit comprise entre les limites »r et a: -h dx. 11 n'est pas possible , en général , d'assigner la forme de la fonction ^ , et l'on peut même affirmer que cette fonction ne sera jamais connue dans la pratique. On peut néanmoins établir plusieurs caractères généraux ijirelle doit nécessairement présenter : ^(x) est évidemment une fonction discontinue; elle s'annule pour toutes les valeurs de x non comprises entre les erreurs extrêmes. Pour toute valeur comprise entre ces limites, la fonction est positive (en excluant le cas indiqué à la fin du paragraphe précédent); dans la plupart des cas, les erreurs égales et de signes contraires seront également probables, et l'on aura
Enfin, comme les petites erreurs sont plus facilement commises que les grandes, <p (x) sera en général maximum pour a: =^ o et diminuera sans cesse lorsque x croîtra. L'intégrale
exprime la probabilité pour que Terreur, encore inconnue, tombe entre les limites a et h. On en conclut que la valeur
de cette intégrale prise entre les limites extrêmes des erreurs pos&ibies sera toujours égale a I unité. Et comme y {x) est
nulle pour les valeurs non comprises entre ces limites, on peut dire , daus tous les cas , t^ue
Considérons Tint^rale
(j:) (Ix
et représentons sa valeur par h. Si les causes d'erreur sont
telles, qu'il n'y ail aucune raison pour que deux erreurs égales et de signes contraires aient des facilités inégales, on aura
et, par suite,
I^ous en conclurons que, si k ne s évanouit pas et a, par exemple, une valeur positive, il existe nécessairement une cause d'erreur (jui produit uniquement des erreurs positives ou qui , tout au moins , les produit plus facilement que les
erreuii» ucgatives. ('cttc ([lumiiié A , qui est la nit>\( une de toutes les erreurs possibles, un encore la valeur niuyenne de X, peut être désignée commodément sous le nom de partie constante deVerrew. Du reste, on prouve facilement que la partie constante de Terreur totale est la somme des parties constantes jes erreurs simples qui la composent.
Si la quantité Ar est supposée connue et qu*on la retranche du résultai de chacjue observation, en désignant par .r' l'erreur de Tobservation ainsi corrigée, et la probabilité correspondante par (f' (x^), on aura
et, par suite,
•«o J — 00 •/—ce
en 90Tte que les erreurs des observatious corrigées n'oDt pas de partie constante. Ce qui, du reste, semble évident ù priori.
La valeur de l^intégrale
Xao
c'est-à-dire la valeur moyenne de j^, fait connaître lexîstence ou la non-existence d'une erreur constante, ainsi que la valeur de cette erreur; de même Tînt^grale ,
x'f («) dx,
cVsl-à-dire la valeur moyenne de x*, parait très-propre à déiinir et à mesurer, d'une manière générale, l'incertitude d*nn syatème d'observations ; de telle sorte <{u*entre deux systèmes d^observations in^alement précises, on devra regarder comme préférable celui qui donne à Fintégrale
oc
une moindre valeur. Si Ton objecte que cette convention est arbitraire et ne semble pas nécessaire, nous en convenons volontiers. La question qui nous occupe a, dans sa nature même, quelque chose de vague et ne peut être bien
précisée que par un principe jusqu'à un certain point arbitraire. La détermination d'une grandeur par Tobservation peut se comparer, avec quelque justesse, à un jeu dans lequel il y aurait une perte à craindre et aucun gain à espérer : chaque erreur commise étant assimilée à une perte que Ton fait, la crainte relative à un pareil jeu doit s^exprimer par la perte probable, c'estpè-dire par la somme des produits des diverses pertes possibles par leurs probabilités respectives.
Mais quelle peric doit-on assimiler à une erreur déterminée? C'est ce qui n'est pas dair en soi; cette détermination dépend en partie de notre volonté. Il est évident^ d'abord^ que la perte ne doit pas êtfe regardée comme proportionnelle à l'errear commise; car, dans cette hypothèse, une erreur positive représentant une perle, Terreur négative devrait être regardée comme un gain : la grandeur de la perle doit, au contraire, s'évaluer par une fonction de Terreur dont la. valeur soit toujours positive. Parmi le nombre infini de fonctions qui remplissent cette condition , il semble naturel de choisir la plus simple, qui est, sans contredit, le carré de l'erreur, et, de cette manière, nous sommes conduit au principe proposé plus haut.
Laplace a eousidéré la question d'une manière analogue, mais en adoptant, pour mesure de la perte, Terreur ellemême prise positivement. Cette hypothèse, si nous ne nous faisons pas illusion , n'est pas moins arbitraire que la nôtre : faut-il, en effet, regarder une erreur double comme plus ou moins regrettable qu'une erreur simple répétée deux fois, et faut-ii , par suite, lui assigner une importance double ou plus que double? C'est une question qui n'est pas claire, et sur laquelle les arguments mathématiques n*ont aucune prise; chacun doit la résoudre a son gré. On ne peut nier pourtant que l'hypothèse de Laplace ne s^écarte de la loi de continuité et ne soit, par conséquent, moins propre à une étude analytique ^ la nôtre, au contraire, se recommande par la généralité et la simplicité de ses conséquences.
Posons , en conservant les notations précédentes,
Xf(x)jB'dx zs m* :
nous appellerons m ï erreur moj enne à craindre ou, sim-
plement, Terreur moyenrte^es observations ronsidérées. Nous ne limitons pas, du reste, ccttr (It iioijinialioii au résultat immédiat des observations , mais nous l 'étendons , au contraire, à toute grandeur qui peut s'en déduire d^une manière qiielconque. Il faut bien se garder de confondre cette erreur moyenne avec la moyenne arithmétique des erreurs , dont îl est question dans Tart. 5.
Si nous coiH|i;iioris plusieurs sy su- m es d observations ou plusieurs grandeurs résultant d'observations auxquelles on n'accorde pas la même précision, nous regarderons leur poids relatif comme inversement proportionnel à m*, et leur précùton comme inversement proportionnelle à m. Afin de pouvoir représenter les poids par des nombres, on devra prendre, pour unité . le poids d'un certain ^stème d'ol»ser> valions arbilrauement choisi.
Si les erreurs des observations ont une partie constante, en la retranchant de chaque résulta^ obtenu, l'erreur
moyenne diminue, le poids vi la piécision augmentent. En conservant les notations de Part. 5, et désignant par m' l'erreur moyenne des observations corrigées , ou aura en effet
J— 00 J— to
Si , au lieu de retrancher de chaque observation le nombre A, on K tiain liait un autre nombre /, le euiic de rerreur moyenne deviendrait
Soient X uu coeiiicieut détermiac cl |x la valeur de 1 iiit^rale
^ sera la probabilité (\uc l'erreur trune cerlaîne observation soit moindre que Xm en valeur absolue ) i — ^ sera, au oontraire, la probabilité <pie cette erreur surpasse Xm.
Si , pour ^ = - 9 Xf» a la valeur p, il y aura probabilités
égales pour que Terreur soit plus petite ou plus grande que p : p pourra donc être appelé Vemur probable, La relation qui existe entre X et fi dépend de la nature de la fonction ^, qui est inconnue dans la plupart des cas. Il est
iiiléress iuL d'étudier celle relation dauâ quelques casparliculier.s.
I, Si les limites extrêmes des erreurs possibles sont 4- a et -^a, et si, entre ces limites, toutes les erreurs sont également probables, la fonction 9 {x) sera constante
enlie ces mêmes limites, et, par eoiisequenl, égale à ^«
Par suite , on aura
tant que X sera inférieur ou égal à ^3; enfin ^
et la probabilité pour que Terreur ne surpasse pas Terreur moyenne est
^/^ = o,59735oS.
II. Si — a et -h A sont encore les limites des erreurs possibles, si Ton suppose , de plus, que la probabilité de ces mêmes erreurs aille en décroissant à partir de Terreur o
i lo )
comme les tennes d*tiiie progrewîon arithmétique, on aura
pour les valeurs de x comprises entre o et -h a, et poor les valmn comprises entre o et — a : de là on déduit
tant que X est compris entre o ei v 6 ^
tant que /x est compris entre o et ij et, enfin, = « (^6 — ^) = 0,7174389 J».
Dans ce cas, la probabilité que Terreur restera inférieure à Terreur moyenne sera
ni. Si nous supposons la fonction 9 (x) proportionnelle
k e *• [ce qui, en réalité, n*est vrai qu*approxîmativement (^) J, elie devra être égale à
on eu conclut
(voir Disquisitioncs générales circa seriem in/inùam, art. 28, Mémoires de Gottmgue, tome II).
(*) Il faul se reporter, pour comprendre celte remarque» à un chapitre du TAMwitf Mouu Corporum eœlestium, dans lequd H. Gmvn montre que wtto loi de probabilités «stla pliift^MiMmblable qae Ton pniise «dopter. A la fin du Tolnine nous reprodnisoiit ca chapitre, dans leqael l'îllaalre anleur a fvt <»Dna(fre pour la première fois la méthode des moindres carrés.
Si Von désigne par 0z la valeur de T intégrale
on aura
Le laldean smYant donne quelques valeurs de cette quan-
tité
Quoique la relation qui lie X & dépende de la nature de la fonction on peut cependant établir quelques résultats généraux , qui s'appliquent à tous les cas dans lesquels
cette fonction ne sera pas croissante avec la vak ur absolue de la variable x ^ alors on aura les iliéorèmes suivants :
X ne dépassera pas fi ^ toutes les fois que ft sera infé-
rieur a ^;
X ne dépassera pas a
passera ^*
,9 toutes les iois que ^ sur-
Lorsque f<> = ^* deux limites coïocidcnt et X ne peut
pas être supérieur à
Pour dëmoiit n r ce ihéorème remarquable, représeutous par la valeur de TiuLégrale -
alors y sera la probabilité pour qu'une erreur soit comprise entre — a: et H-x.
Posons
on. aura
3l»(o)=:o ety(/)= ' ;
ou en conclut, en ayant égard aux hypothèses qui ont été faites, que, depuis jr = o jusqu'à j'ssi, ^'(x) est toujours croissant, ou du moins n'est pas décroissant, et que, par suite , ^" (y) est toujours positif, ou du moins n*est pas négatif. Or nous avons
d.f Y (y) = f ( j) dr 4- ix) <ijr ,
par suite, •
y^' (j) — (y) a donc une valeur constamment pt^sitive, ou du moins cette expression ne sera jamais négative.
Il suit de là que i — y-^''[y) toujours positif et uioia-
dre que l'unité. Soit f la valeur de cette difiérence pour
j ^. ^ eauic de Àm, ou'a
d'o& l'on condnt
Cela posé, considérons la fonction
que nous désignerons par F ( j), et posons
</.F(/) = F'(j)4r} on aura évidemment
F(ii) = Xm = ;(|*),
Or, puisque {y) croit continueilement (ou du moins ne décroît pas, car c*est ainsi qu'on doit toujours Tentendre)
loisque / croît, et que, d'un autre côté, .F'(j) est constant, la ditl'ércnce
serapositivepour toutes les valeurs de/ plus grandes que fx, et négative pour les valeurs de y plus petites que fi* On en conclut que la dîflTérence r\, (y) ^F{jr) est toujours positive, et, par suite, ^ (f) sera certainement plus grand que F(j) eu valeur absolue, tant que la fonction F (y) sera positive, c'est-à-dire depuis j = juscju'à j = i. La valeur de l'intégrale
sera donc inférieure à celle de 1 intégrale et à forUori moindre que -
c*eftt-Â-dîn3 moindre que m*. Oi* la première de ces inté» grales a pour valeur
donc
y désignant , on ne J'a pas oublie, un nombre compris entre o ei i .
Si notu considérons / comme variable , la fraction aora pour différendelle
celle fraclion sera donc continuellement décroissante lors-
«pie f croîtra de o à i, et que Ton aura , en outre, <! 3 %
sa val^r maximum correspondra à f = o cl sera égale à 3fi*, de aorte que, dans ce cas, le coefficient A sera ceriaiaement inférieur, ou du moins ne sera pas supérieur
à Ce qu*il fallait démontrer.
Lorsqu'au contraire fi est plus grand que ^9 la valeur
de la .fonction sera maxinmm lorsi|ue
a — 3fi + p/=o,
c'esl-à-diie lors<jue
et cette valeur maximum sera
par conséquent, dans ce cas, le coefficient X n'est pas plas
grand que — .. > comme uous lavions annoncé.
Faisons, par exemple,
alors X ne peut pas surpasser c^est-i-dîre que Ter-
reur probable ne peut pas surpasser 0,8660264 m, à la> quelle elle devient égale dans le premier cas examiné (art« 9) : on conclut facilement de notre théorème que ft
n'est pas moindre que X ^ , tant que X est moindre que et qu'au contraire, il n*est pas inférieur à
1 — ^) lorsque X est plus grand que
L'intégrale
se présentant dans plusieurs problèmes que nous aurons â traiter, il ne sera pas inutile de l'évaluer dans quelques cas particuliers.
Posons
