III. Dans le troisième cas, lorsque

on trouverai diaprés les résultats obtenus dans le Mémoire cité plus haut,

On peut d'ailleurs démontrer qu'en restant dans les Lypo-

thèses admises au paragraphe précédent » le rapport ^ n'est jamais inférieur à

Désignons par x\ x'\ etc., les erreurs commises dans des observations de même espèce, et supposons que ces erreurs soient indépendantes les unes des autres. Soit, comme plus haut , <p [x) la probabilité relative de Terreur

x-^ considérons une fonction rationnelle j^, des variables

LHnlégrale multiple

étendue à toutes les valeurs des variables x^ x'y x'\ etc., pour lesquelles la valeur de y tombe entre les limites données o, >7, représente la probabilité que ht, valeur de y soit

comprise entre o et 73. Or cette intégrale est évidemment une fonction de m. Représentons sa dilTérentielle par <{> (u) 19 9 de sorie que Tintégrale oomidërëe soit égale à

.et que, par conséquent, ^{n) représente la probabilité relative d'une valeur quelconque de^. x pouvant être regardé comme une fonction des variables /, x', etc., que nous désignerons pary^( x\ x", . . .), Tintégrale (1) prendra la forme

où y doit varier depuis y^o jusqu'à et les an-

tres variables reçoivent toutes les valeurs pour lesquelles f(y-,x\x!',,,) est réelle.

On aura donc

Tintégration , dans laquelle y doit être regardé comme une

' constante, s'étendant à tontes les valeurs dt's variables x\ x"^ etc., pour lesquelles x', x",...) prend une valeur réelle.

L intégration piéccdcjitc exigerait, il est vrai, la connaissance de la fonction f , qui est inconnue dans la plupart des cas. Lors même que cette fonction serait connue, le calcul surpasserait, le plus souvent, les forces de Tana* lyse. Dès lors il sera impossible d^obtenir la probabilité de chacune des valeurs de y\ mais il en sera autrement si Ton désire seulement la valeur moyenne à^y^ qui sera donnée o. 2

par 1 iiuégrale

étendue à toutes les valeurs po&sible^ âo y.

Si , par la natare de la fonction , ou à cause des limites imposées & Xj x\ x"^ etc.,jr n*est pas snsoeptihle de recevoir toutes les valeofs, oo devra supposer que ^{y) s'ammle pour toutes les valeurs que y ne peut atteindre, et Ton pourra alors étendre rinl^gration de — oo à + œ •

Mais r intégrale

pcÎM entre des limites dëtenninées m et a', est ^;ale i

pt/ix.'.'". -) '^•^^•^•rfj.'*'""^ ït-^) î(x")...-(r<*»'^*...,

prise depuis j' = yy jusqu^ï y == r' et étendue à toutes les valeurs des variables 3^ ^ x" , ele., pour lesquelles ^ est réelle. Cette intégrale est égale, par conséquent, à Tintégrale

dans laquelle / sera eiq»rimé eu fonction de jr, a/, x', etc., la sommation «'étendant à toutes les valeurs des yariables

qui laissent / compris futre r, et yj'. D*après cela, 1 intégrale

peut se mettre sous la forme

J 7f (d?) ^{^)y(^). , . âxdx^dx" . .

rîntégration s^étendant à toutes les valeurs réelles de

X, X^^ x"^ c'esl-à-dire dcipuis a? = — oo à = H- x , x'ss — 00 àa:'=^-ûo, etc.

Si la foncdon y se réduit k une somme de termes de la forme

la valeur Je Tiulégraie

étendue à toutes les Taleurs de j^, c'est-à-dire la valeur moyenne de/, sera égale à une somme de termes de la forme

c'est-à-dire (jue la valeur moyenne de^ est égale à une somme de termes déduits de ceux mêmes ipn oomposeni en y remplaçant x"*, x'^^ x"^^ etc., par ienrs valeors moyennes. La démonstration de ce tbéorème imponant pourrait ûcilement se déduire d'antres jconsidéradons.

Appliquons le théorème précédent au cas où Ton a

jr = ^ ,

9 désignant le nombre des termes du numérateur.

On trouve tout de suite ^ue la valeur moyenne de y est ^le à m* (la lettre m ayant toujours la signification de l'art. 5). La véritable valeur àey peut être inférieure ou supérieure

à sa moveniic, de même que la ^ i aie \aloiirdc j:° peut, dans chaque cas, c lic inférieure ou bupéiieureà m'^ mais la probabilité pour que la valeur fortuite de y ne diffère pas sensiblement .de m' , s'approchera sans cesse de la certitude à mesure que 9 deviendra plus grand. Pour le montrer plu» clairement, comme il est impossible de chercher exactement cette prob^ilité, nous 'chercherons V erreur moyenne à

cnundreeïLÙâMakiys=m*, D'après ce qui a ëlé dit (art. 6)^ cette erreur sera la racioe carrée de la moyenne de la fonction

Pour la trouver, il suffit d'observer que la valeur mojenue d'un terme tel que — est égale à — ('i ayant la mèmesigiiî'» fication que dans Tart. 11 ), et que la valeur moyenne d*nn terme tel que — ^ — est égale à -p-j par conséquent, la valeur moyenne de cetle fonction sera

De }a nous oonduims que si le nombre des erreurs irré* gnlières est suffisamment grande la valeur de m sera représentée , avec une grande certitude , par ja formule

et V erreur moyenne à ciauulre dans la détermination du carré de m, sera égale à

Comme cette dernière formule contient la quantité n ,

si Tou veut seulement se faire une idée du degré de précision de celte déterminalion , il suffira d'adopter pour la fonction f une hypothèse particulière.

Si noua prenons , par exemple , la troisième hypothèse des

art. 9 et U , cette erreur sera égale à m* Si on le

préfèio, on pourra obtenir une valeur approchée de »* au moyen des erreurs elles-mêmes, à F aide de la formule

On peHt adBriner géiiéi alemeut qu^utie précision deux fois plus grande dans cette détermination exigera un nombre d'erreurs quadruple , c^est-a-dire que le poids de la détermination est proportionnel au nombre <r.

On verrait de la même manière que si les erreurs des observations renferment une partie constante, on déduira de ieur moyeulie arithmétique une valeur de la partie constante, .et cette valeur sera d'autant plus approchée que le nombre des erreurs sera plus grand. Dans cette détermination,

Terreur moyenne à craindre sera représentée par 1/ — 9

A tiésigiiaiit la*pariic constante, et m Terreur moyenne des observations non corrigées de leur erreui^ constante. Elle

sera représentée siuiplenient par si m représente l'erreur moyenne des observations corrigées de la partie constante { voyez art, 8)%

Dans les art. 12 4 1^ nous avons supposé que les erreurs x\ x"^ etc., appartenaient au même genre d'observations , de sorte que la probabilité de cluicuiie de ces erreurs était représentée par la même fonction. Mais il est évident que les principes généraux exposés dans les articles 12 à 14, peuvent facilement s'appliquer au cas plus général où les probabilités des erreurs x\ x", etc., sont représentées par des fonctions diliércutes

c'est-à-dire lorsque ces erreurs appartiennent à des observations qui n'ont pas le même degré de précision. Supposons qaex désigne Terreur d*une observation dont Terreur

movenne à craindre soit m; x', x'\ etc., celles 'd*autres observations doul les erreurs moyennes à craindie soient respectivement m\ m"^ etc. : alqrs la valeur moyenne de

la somme • sera

OT'*-h OT*»-*- ....

Or, si l'on sait, par ailleurs, que les quantités m, ni\m'\elc,f sont respectivement proportionnelles aux nombres, i^f^^ etc.f la valeur moyenne de Tezpression

sèra ^gale à m^. Mais si nous adoptons pour m* la valeur que prendra cette expression, en -y substituant les erreurs

x,x\ X % etc., telles que le hasard les olîrira, Terreur moyenne qui afTecte cette détermination sera , d'après Tar- Ucie précédent,

oà n', n^, ecc*, ont la même signification , par rapport à la seconde et à la troisième observation , que n par rapport k la première ; et si Ton peut supposer les nombres n^n\n '^ etc. , proportionnels à m, m', w'^, etc. ^ cette erreur moycune à craindre sera égale à

mais cette manière de déterminer une .valeur approchée de m n*est pas la plus avantageuse.

Considérons rexpression plus générale

dont la valeur moyenne sera aussi m*, quels que soient les coefficients a', cl", etc. L'erreur moyenne à craindre lorsqu'on substitue la valeur à une valeur de déterminée d'après les erreurs fortuites oet, x\ x'^^ etc., sera, d*apTès

les principes précédents^ donnée par la formule

Pour que cette erreur soit la plus petite possible^ il faudra poser

— m* us'*— lfl'<

Ces valeurs ne pourront pas s'évaluer tant qu'on ne connaîtra pas les rapports ~> etc. Dans rignorauce où l'on

est de leur valeur exacte (*)9 le plus sùr sera dé les supposer l'gaux entre eux { voyez art. il), et l'on âiirâ jafojrs

c'e$t-à-<Urc que les coefficients a', (x'^etc., doivent éirs supposés égaux aux poids relatifs des diverses observations* e^ prenant pour uiiité le poids de Celle â laque&e cbrrèspoiui l'erreur x. Ceci posé^ désignons^ coinnié ci-déssus, V^^ ^ 1^ nombre des erreàrs proposées; la yalèur n^<^yeniie de Tc^pression

sera égale à m% el lorsque nous prendrons, pour la vraie valeur de m*, la valeur de cette expression déterminée au; moyen des crlvnrs fortuites a?, x') x"^ etc., l'erreur moyenne h craindre sera

( * ) Un m confit la pOMlbililA ét flélemiiner exactement , p.'t /m", oic., qae dans le aenl cas oA , |Mir la nature de la fonction f, lesenreurs x,**, etc., proportionncllei ï /(» ft'r ^t<^*t KOralent ^lemeni probables » c'eai-k-djro le eas oA

(NoutUtA.GàJLn.)

et, enfin, s'il est permis de supposer les cpiantiiés n^n\ n', etc.) proportionnelles à m, m', m'\ etc., celte expression se réduira à

résultat iJt^ilique à celui (jue nous avons trouvé dans le cas où les observations sont toutes de mcmc espèce.

Lorsqu'une observation dont la précision n^ésc pas abso*

lue , fait corinaîlrp uïio tcitaine quantité liée aiiaU îiquement à une t^randrur inconnue, le résultat de cette ob.^crvaliou peut fournir pour l'inconnue une valeur erronée, mais dans la détermination de laquelle il n'y a rien d'arbitraire c{ui puisse donner lieu a un choix plus ou moins

vraisemblablet

Mais si plusieurs fonctions de la même inconnue sont

données par des observations iaipai faites, chaque ob^ei vatîon fouiiiira une valeur de l'inconnue, et l'on pourra également obtenir des valeurs, par la combinaison de plusieurs observations. H y a évidemment une infinité de manières d*y parvenir; le résultai sera soumis, dans tous les cas, à une erreur possible. Selon la combioaison adoptée. Terreur moyenne à craindre pourra être plus Jft moins grande.

La même chose aura lieu si plusieurs quantités observées di' pendent à la fois de plusieurs inconnues. Selon que le nombre des observations sera égal au nombi e des inconnues, ou plus petit ou plus grand que ce nombre, le problème sera déterminé, ou indéterminé, ou plus que déterminé (du moins en général) y. et, dans ce troisième cas, les observation» pourront être combinées d'une infinité de manières pour fournir les valeurs des inconnues. Parmi ces combinaisons, il faudra choisir les plus avantageuses, c'està-dire celles qui fournissent des valeurs pour' desquelles Terrettr moyenne à craindre est la moindre possible. Ce

problème esl certainement le plus îm]^>ortant que présente rapplication des mathématiques à la philosophie matorelle.

Nous avons motilré, dans la Théorie du Mouvement des Corps célestes, comment on trouve les valeurs les plus probables des inconnues lorsque Ton connaît la loi de probabilité des erreurs des observations, et comme, dans presque tous les cas, cette loi par sa nature reste hypothétique, nons^avons .appliqué cette théorie à l'hypothèse très-plausthle, que la prohahilité de Terreur x soit proportionnelle à e'**'*; de là cette méthode (|ue j*ai suivie, surtout dans les calculs astronomiques, et que maintenant la plupart des calculateurs emploient sous le nom de Mélliode des moindres carrés.

Dans la suite, Laplace, considérant la question sous un autre point de vue, montra que ce principe est préférable à tous les autres, quelle que soit la loi de prohabilité des erreurs, pourvu que le nomhre des ohservations soit très* grand. Mais lorsque ce nomhre est restreint, la question est eïuorr iiita( te-, de sorte que, si 1 on rejette notre loi hypothétique? , la méthode des moindres carrés serait préférable aux autres, par la seule raison quVlle conduit à des calculs plus simples.

Nous espérons donc être agréable aux géomètres en démontrant, dans ce Mémoire, que la méthode dés moindres carrés fournit les combinaisons les plus avantageuses des observations, non-seulement approximativemenl, mais encore d'une manière absolue, et cela quelle que soit la loi de probabilité des erreurs et quel que soit le nombre des observations, pourvu que Ton adopte pour l'erreur moyenne, non pas la définition de Laplace, mais celle que nous avons donnée dans les art. 5 et B.

Il est nécessaire d'avertir ici ((ue , dans les recherches suivantes, il ne sera question que des erreurs fortuitt s diminuées de leur partie constante. C'est à Vobservateur qu'il appartient d'éloigner soigneusement les causes d'erreur» constantes*

Nous réscrvous pour une autre occasion resamen du cas où les obsenraiioDS sont ailèctées dune «rreur oonstante inconnue , el nous Iraiterons œtte question dans un autre Mémoire.

PBOBLÈME.

Soit U une Jonction donnée des inconnues V , V, \ elc. \ on demande V erreur moyenne M à craindre dans la dé- . tennination de la valeur de IJ , lorsque ^ au lieu des 'véri" tables ^faleurs de V, V, V^', ( tr., on prend les valeurs déduites d'observations indépendantes les unes desauîres^ m,ni',m^, etc., étant les erreurs moyennes qui correS" pondent à ces diverses observations.

Solution, — Désignons par e, e', e'\ cit ., les m eurs des valeurs ob&eivccs \ , V, V, etc.-, Terreur qui en résultera, pour la valeur de la fouclion U , pourra s'exprimer par la fonction linéaire

he-h x'e' H- A"e" -h . . . = E,

où A, V, X", elc. , représentent les dérivées ^5 , , » etc. ,

lorsqu'on y remplace V, V, V^',etc.9 par leurs vraies valeurs.

Cette valeur de Ë est évidente .si Ton suppose les Observations aasez exactes pour que les carrés et les produits des erreurs soient négligeables. U résulte de U que la valeur

moyenne de E est nulle , puisque l'on suppose que les erreurs des observations n'ont plus de partie constante. Or l'erreur moyenne M, à craindre dans la valeur de U, sera la racine carrée de la valeur moyenne de Ë'^ c'est-^«>dire que M' sera la valeur moyenne de la somme

mais la valeur moyenne de l*e* est celle de V*e'^

est X'^m'*, etc., enfin les valeurs moyennes des produits nlVee' sont toutes nulles; donc on aura

11 est bon d'ajouler plusitnirs roaiaiquc s à cctle solution.

L Puisqu'on néglige les puissances des erreurs qui sont supérieures à la première , nous pourrons , dans notre formule, prendre pour X, X', X'', etc., les valeurs des eoefficients

différentiels ^» etc., déduites des valeurs observées \ , \ \

V^', etc. Toutes les fois que U est une fonction linéaire, cette substitution est rigoureusement exacte.

11» Si , au lieu des erreurs moyennes , on préfère introduire les poids des observations, supposons que p^p^ p"^ etc., soient Ks poids lospectifs, l'unité étant arbitraire , et P le poids de la valeur de U j ou aura

m. Soit i une autre fonction de V, V, V", etc. j posons.

L'emur coiumiae sur T« en adoptant pour V«-V, V, etc. les résultats fournis par l'observation . sera *

etl'erreur moyenne à craindre dans cette détermination sera

ll est évident que les erreurs E et né seront pas indépen-

daulcs Tune de Tautre, et que la valeur moyenne du produit EE' ne sera pas nulle comme la valeur moyenne de ee'^ elle sera égale à -

xXi»» -4- «'XW -H «"X"»"» H- . . . .

IV. Le problème comprend le cas où les valeurs des quantités V, V, V", etc., ne sont pas données immédiatement par l'observation , mais sont déduites de combinaisons quelconques d'observations directes. Pour que cette extension soit l^itîme , il faut (|ue les déterminations de ces quantités soient indépendantes , t cst-à-dire qu'elles soient fournies

parties observalioas diilëreutes. Si cette condition d'iudëpendance n'était pas rempHe, la formule qui donne la valeur de M ne «eraît plus exacte. Si 9 par exemple , une même observation était employée, à la fois, dans la détermination de V et dans celle de V', les erreurs e et e' ne seraient plus indcpeudantes , et la valeur moyenne du produit ee' ne serait plus nulle. Si Fou connaît, dans ce cas, la relation qui îîe V et A' aux résultats des observations simples dont ils dérivent^ ou pourra calculer la valeur moyenne du produit ee'y comme il est indiqué dans la remarque III » et dès lors corriger la formule qui donnera M.

Soient V, \', V', etc., des fonctions des inconnues j:, y, etc.', soient u le nombre de ces fonctions, p le nombre des iaconnues) supposons que des observations aient donnéy immédiatement ou médîatement, L, L'y etc., pour valeurs des fonctions Y, V, V, etc., de manière cependant qne ces déterminations soient absolument indépendantes les unes des autres. Si p est plus grand que cr, la recherche des inconuurs est un problème indéterminé. Si |0 = ny, chacune des inconnues jr, ^, etc., peut être regardée comme calculée eu fonction de V, V, \^', etc. \ de sorte que les valeurs des premières peuvent être déduites des Taleurs observées de ces dernières, et Fartide précédent nous permettra de calculer la précision relative de ces diverses déterminations. Si p est plus petit que cr, chaque inconnue jt, y, ^, etc., pourra être exprimée d'une infinité de manières, en fonction de V, V, V^, etc., et, en général , ces valeurs seront diiféreutes^ elles devraient coïncider si les observations étaient, contrairement à nos hypothèses, d'une exactitude rigoureuse. Il est clair, d'ailleurs, que les diverses combinaisons fournissent des résultais dont la pré' cision sera, en général , difrércnte.

D'ailleurs si, dans le deuxième et le troisième cas, les quantités V , V, etc., sont telles que cr — p-ï-i d'entre

«•Iles, OU davantage, puisseiil èli e regardées comme des fonciioiis des autres, le problème est plus que déterminé relativement â ces dernières fonetions et indéterminé relativement aux inconnues jr, Zy etc. \ et Ton ne pourrait même pas déterminer ces dernières inconnues , quand Inen même le? fonctions V, \", V, etc., seraient exactement connues : mais nous cxe]uon€ ce cas de nos recherches.

Si V, V, V', etc., ne sont pas des fonctions linéaires des inconnues, on pourra toujours leur attribuer cette forme, en remplaçant les inconnues primitives par leur différence avec leurs valeurs approchées, que Ton suppose connues ^ les erreurs moyennes à craindre dans les déterminations

étant désignées respectivement par m, m* y m^, etc.^ et les poids de ces déterminations, par p^p\ p"^ etc , de telle sorte

<[ue

Nous supposerons connus les rapports des erreurs moyennes ainsi q[ue les poids, dont l'un sera pris arbitrairement. Si nous posons enfin

les choses se passeront ensuite comme si des observations immédiates, également précises et dont l'erreur moyenne

aurait pour valeur m ^ ^ avaient dcmné