PX
er =
S=QD
(*) y«oret ptiis^ 1 19 de ce volame. J. B.
La probabilité qae l'errear d'une obaenration soit comprise dans les Kmhes H- A et — A; ou, abstraction faite (les ligues, qu elle ne surpasse puâ A, sera é^al^ à
elle sera le double de l'intëgrale en q[uestiou, lorsque celle* ci est prise depuis x = o jusqu^à x = A, et, par conséquent , elle sera égale à 8 ( A A) .
Ainsi la probabilité que Terreur ne soit pas moindre que
I est égale à ^9 ou égale à la probabilité du cas contraixe.
J'appellerai donc celte quantité ^ l'erreur probable, et je
la désignerai par r.
Au contraire, la probabilité que l'erreur excède
/'X 2, 4^^8 664 n'est que de -pj ; la probabilité <[uc l'erreur surpasse r X 3)8ib ^^90 n'est que de ^ j et ainsi de suite.
Supposons maintenant que les erreurs de m observations
réellement faites soient a, j3, 7, etc., et cherchons quelles roiKs* <|uences on en peut tirer relativement aux valeurs de h et r.
En faisant deux hypothèses sur la valeur exacte de h, et la supposant égale à H ou égale à H', les probabilités qu'elles soient entachées des erreurs a, ^ , y, etc., seront, pour les deux cas, dans le rapport de
c'efit«-à<*dire comme
Il est évident que les probabilités que H ou soient les
véritables valeurs *le h. soiii dans le même rapport [7%eoria Motus Corpoi um cœ/cstiu/n , art. 176 ^*)]; par conséquent la probabilité d'une valeur quelconque de h est propoitioimelle à
et la râleur de h la plus probable est celle pour laquelle celte fonction devient un maxiiiiuui. Mais on trouve par les r^les connues que h est alors égal à
donc la Yaleur de r la plus probable sera alors
on
Ce résultai est général , que m soit grand ou petit.
il est facile de comprendre que les valeurs trouvées pour h et pour r sont d'autant moins certaines que le nombre m est plus petit.
Développons maintenant le degré d^exactiliide que Ton
doit attribuer aux valeurs de A et de r lorsque m est un
noDiln r < ritisidérable.
Désignons par H la valeur de h la plus probable que nous avons trouvée,
et reniai quûiis que la probabilité que H soit la véritable valeur de À, est à la probabilité que (U + ^) soit cette véri-
(^) Kor«* paffe 116 de ce voliiBie. J. B.
table valeur daus le rapport de .
ou comme
Le second terme ne sera sensible par rapport au premier
que si ^ est une petite fraction, et, dans ce cas, nous pourrons remplacer le rapport indiqué par
Ce qui veut dire : La probabiillc que la valuiii- véritable de ^ soit comprise entre (H 4- A) et (H -f- À -f-r^X) est approximativement égale à
où K est une constante telle, que l'intégrale
fil
prise entre les limites admissibles de X, devienne égale à Tunité.
Comme dans le cas actuel , à cause de la grande yaleur
de m , e devient excessivement petit lorsque — cesse
d^être une petite fraction , il sera permis de prendre Tin* tégrale depuis — oo jusqu'à + oo , et Ton obtient
Par conséqueut, la probabilité que la véritable valeur de h
soit comprise entre (H — X) el (H -h >), sera égale k
et sera égale à ^ lorsque ^ /rôï= p.
Il y a donc un contre un à parier que la véritable valeur de h soit entre
OU que la véritable valeur de r soit entre
R R et ï
OÙ R désigne la valeur la plus prd>able de /- trouvée dans Farticle précédent* Ces limites peuvent s^appeler les limites probables des véritables valeurs de h et de r. Il est évident que nous pourrons admettre ici pour limites probables
de r :
Dans la discussion précédente, nous avon^ considéré a, P, y, etc., comme des quantités définies et données, afin d'évaluer la probabilité que la véritable valeur de A ou de r soit comprise entre eeruines limites.
On peut envisager la question sous un antre point de vue, en admettant que les erreurs des observations soient soumisesià une loi déterminée de probabilité; on peut aloi s évaluer la probabilité pour que la somme des carrés de m erreurs d'observations tombe entre certaines limites. Laplace a. déjà résolu ce problème dans le cas où m est un
nombre très-gi aud, ainsi que le problème de détcruimer la probabilité que la somme de m erreurs d^observations tombe entre certaines limites.
U est facile de généraliser cette rechercbe ^ je me bor^ nerai a indiquer ici le résultat.
Désignons par 9 (.r) la piobabiliic ci une erreur li obser" valiou X , de manière que
Désignons encore par K. la valeur de l'int^aie
Soit ensuite
OÙ a , {3 , 7, etc., représentent m erreurs quelconque^d'observation \ les termes de cette somme seront tous pris positivement) même si n est impair.
171 K„ sera alors la valeur la plus probable de S„, et la
probabilité que la véritable valeur de S„ tombe entre les limiles (mK„ — X) et (f7ïK„-+-X) sera égale à
par conséquent, les limites probables de S„ seront
et
Ce résultat s^applique , d*un« manière générale, à toute loi des erreurs d'observation. En l'appliquant au cas particulier où
Vît
nous trouverons
OÙ le signe caractéristique H «t pri* dans la signification des Disquisitiones generahtf cirea seriem infinitam (*) (Comm, nov. Soc, Goiting,, tome IH; M. 5, arl. a8.) Ainsi
par conséquent la valeur la j^us probable de S« sera
et les limites les plus probables de la véritable valeur de S.
seront
et
(* ) D après U noUtion adoptée par aa grana nombre de géomètres, on
DùnCy KL nous posons comme d-dessus
où r représente Terreur probable d'observation, la valeur la plus probable de
sera évidemment r ; et les limites probables de la valeur de
cette tjuaiitité set ont
Il y a donc aussi un contre un à parier que r soit compris entre les limiujs
et
Pour n ^ a , ces limites seront
et
ce qui s'accorde pariai lemeni avec celles que nous avons trouvées art. 4.
£n général on aura, si n est pair, les limites
^^^^'V^llf. 1.3.5.7! .(«-!)
^1 n\ ml 1.3.5. ..(« — i) J)
l «V wL 1 .3.5. . • (ji — 1) jj
el si n est impair, les limites suivantes :
et
J'ajoute ici encore les valeurs numériques pour les cas les plus simples ;
Limites probables de r.
