PROBLÈME
Désignons par v, v', v", etc., tes fonctions linéaires
siuvanLcs des indéteniUtiées x , y, z, etc.,
V = ax -\- by -i-r«
Parmi tous ï(s systèmes des cocjficKnts y., x', etc., qmi dofinetU identiquement.
k étont indépendant Je x, y, z, etc., trouver celui pour lequel H- -f - x"* -f - . . . est mùunrnm*
Solution* — Posons
av aW a" v" . , csÇ,
yi, Ç seront des iouclious linéaires de x,^, <ît Ton aura
Ç = ^ rte H- -H 2 ^ ■+-... 4- 2 c/ ,
OÙ
et de même pour les auti'es S. *
Le nombre des (juantitÀ i^^^K^ ^^^*) est égal au noia* bre cr des incoimues x^y^z^ etc.; on pourra donc obtenir, par élimination, une équation de la forme suivante [*)y
jc = A -h (fiwt) « -4- («p) («7) ^ - . ,
fjni sera satisfaite identiquement lorsquOn remplacera $,ri,{[, par leurs valeurs (3). Par couséquciit, si Ton
(*) On verra plub loin la raibon qui nous u conduit à Ucsi^iier les cocffidents de cette formule par le notetion ( «a ) , ( ) , etc.
pose
a {aa) + £ («P) c («7) H = a,
a* (flwx)-f-6'(aP)H-c' («7) -|-. . ,= a',
tf* (««) 4- i';(a(l) -H c" («y) -h . .
OD aura identiquement
(5) aP-h«V-|-a%"H-...= « — A,
Celle équaûon montre que parmi les dilierenls syslènies de coefficients x, x^, y."^ etc., on doit compter le système
* — • fit y Ot' y X* 235 fit"} • • > •
On aura d'ailleurs , pour v8à système quelconque ,
et cette équation, étant identique, entraîne les suivantes :
(^a)«i -+- (/ — a')a'-h(îc" — a'')«"-f-. ..= O, (x — a) c a')c'-i-(x"— a")c"4-...= 0.
Ajoutons ces équations après les avoir multipliées, respectivement, par («0c), (a|3)f («7), etc., nom aurons, en vertu du système (4) ?
a) « + (x' — a') x' + (x" — ol") a" H-. .= o,
c*est-à-dire
par cujibcquciii, la soumie
x»-hx'»-|-x''*H-...
aura une valeur minimum, lorsque Ton aura
X « f X =z s y X — fit , . . . •
D'ailleurs celte valeur minimum s'obtiendra de la manière suivante.
I/é(|uatioii (5) montre que Ton a
cet -H c'a' -h c"a" H-, . , = a.
Multiplions ros éqiiatious, respeclivcmf iit , par (aa), (arj3), («7)» etc., et ajoutons; en ayant égard aux relations (4)9 on trouvera
a»+a'^H-a"' -+-...= (aa).
Lorsque les observatîoDs auront donné des équations
approximatives
il faudra . pour déterminer rincoiinuex, choisir une combinaison de la iorme suivante,
-H xV H- x^f" -h . . . s:r O,
telle que Tîneonnue x acquière un coefficient ^al à t, et que les autres inconnues se irouyent éliminëes» Le poids de cette déterminarîon sera , diaprés Fart. 18,
D'après Tarticle précédent, on obtiendra la détermination la plus convenable, en prenant
alors X aura la valeur A. On obtiendrait évidemment la même valetur sans connaître les multiplicateurs a, ol\
x", etc., eu eflecluant rélimination sur les équations
le poids de letle déierininalioii sera
et l'erreur moyenne à craindre
m ^ {(xix) := ^ (««) ^ («»)=.. ..
Une marche analogae conduirai I aux Talenn les plus convenables des autres inconnues etc., qui seront
celles que Ton obtiendrait en efieciuanl Télimination sur
les équations
Si nous désignons par H la somme
OU, ce qui revient au même,
/» ( V - L)' -h// (V - Vy + p'' (Y" - L'')' 4-. . . ,
on aura évidemment
r/n da da
par conséquent, les valeurs dt s inconnues^ déduites de la combinaison la plus convenable, cl que nous pouvons appeler les valeurs les plus plausibles, sont précisément celles qui donnent à Q, une valeur minimum. Or Y — L rëprésenie la difiërence entre la valeur observée el la valeur calculée^ donc les valeurs les plus plausibles des inconnues sont celles qui rendent minimum la somme des carrés des différences entre les valeurs calculées et observées des quantités V,Y', V", etc., ces carrés étant respectivement multipliés par le poids des observations. J avais établi depuis longtemps ce principe par d'autres considérations {Hutona Motus Corporum cœlestium)*
Si Ton veut assigner la précision relative de chacune des détermiuaLiuns,U faut déduire des équations (3), les valeurs o. 3
de y, Zy etc., qui se présenteront sous la forme suivante :
I* = A -4- («a) Ç -f- (of) « -h («7) C .
jr = B + (p«)Ç + (PP), + (P7)Ç+..., » = C -t- ( 7 « ) ? + ( 7 p ) >! + { 77 ) Ç H- . . . .
Les valeurs les plus plausibles des inconnues x.,y^z^ etc., seront A» B, C, etc. Les poids de ces détermiDations seront
(««) mr (7v)
et les erreurs moyennes k craindre
pour j;, ms[p(aa) = m' ^pf{<at)^,m*^ **
pour rf «Vf {PP) = »»'v/i?(PP)».-»
pour «, m \[p (77) = m' ^p' (77), . , . ,
ce qui s^accorde avec les résultats obtenus antérieurement (Theoria Motus Corporum cœhstium).
Le cas oà U n^y a qa*une seule inconniie est le plus fréquent et le plus simple de tous. On a alors
il sera utile d'eucHre quelques mots.
Ou aura
et, par conséquent,
d!oÀ
Ainsi , si , par plusieurs observations qui ii*ont pas la même précisioTi et dont les poids resp<x:tifs sont p^p\ p'\ etc., ou a irouvd, pour uoe même quantité , une pre» mièrc valeur L, une deunème une troisième L'^, etc., la valeur la plus plausible sera
et le poids de cette détermination sera
Si toutes les observations sont également plausibles, la valeur la plus probable sera ^
c'esl-Â-dire la moyenne arithmétique entre les valeurs. observées; en prenant pour unité le poids d^u^e observation isolée, le poids de la moyenne sera
SECOJNDE PARTIE,
PEÉnnniSB i« 3 vSfim t8a3, a la tocitini royale i»s' GOTTiittiVB.
n reste encore à exposer queliques recherches destinées à étendre et à éclairer la théorie précédente.
Cherchons d'abord si rélimination qui fournit les variables x^y^ Zy etc., en ioncliou de ^ , y? , etc. , est toujours possible. Puisque le nombre des équations est ^al à celui des inconnues , on sait que cette éliminaiion sera possiUe si 91, C, etc. sont indépendants le» mB des aua^s.; dans le cas contraire, elle serait imposable.
Supposons, pour un instant , que Ç, etc. , ne soient pas indépendantes , mais qu'il existe entre ces quantité Téquation identique
o = FÇ-4-Gfl + HCH -HKi
nous en Conclurons
Posons
/il F-f-^GH-cH J ^' G 4- H -4-. . .= 0', (0 J «"F-h^'G-V-c^HH =
il viendra
-<-ro*-f-...=— K.
En multipliant les équations (i), respeclivcmcnl par Ô, Ô', ff^j etc. 9 et ajouUnt , il vient
et cette équation entraîne les suivantes :
e=:o, ô'sso, r=so,
De là nous conf luons , en premier lieu , K = o. En -second
lieu, les équations (i) montrent que les foncùons
V*, etc., sont telles, que leurs valeurs ne changent pas lors-
que les variables x^y^ 2, etc., prennent des accroissements proporliomids à F, G, H, etc. H en sera évidemment de même des fonctions V, Y', Y^, etc. : or cela ne peut avoir lien que dam le cas où il serait impossible de détemùiicr jc, >% ^5 etc. , à Takle des valeurs de V, V, "V*, etc. , lors même que celles-ci seraient exactement connues; mais alors le problème serait indéterminé par sa nature , et nous exclurons ce cas de nos rechercbes.
Désignons par /3, p', (3", etc., des multiplicateurs qui jouent le même rôle relativement à Tinconnuc y, que les multiplicateurs oc , a', a", etc., relativement à l'inconnue 0^, c^est-À-dire tels, que Ton ait
