a7)HÇ4-2(P7)''ÇH^----HM
On peut donner une quatrième forme qui résulte évidemment de la troisième et des> formules des articles précc*
dentâ, c'eftt-à-dire
Sous cette dernière forme un voit clairemeut que M CbL la valeur minimum de il.
Soient e , e\ d\ etc. , les erreurs commises dans les observations qui ont donné
Les vraies valeurs des fonctions V, Y', V, etc., seront alors elles vraies valeurs de F, t/, t^^, etc., seront respectivement
par conséquent, la véritable valeur de x sera
A — V(P — V(? — Vi' ^ — •
et rerreur commise dans la détermination la plus conve-
nabic de Tinconnue x sera , en la désignant par Ë x ,
£«ss««^-f*aV vy -hafe"^-^
De même , Terreur commise dans la détermination la plu» convenable de la valeur dey sera
La valeur moyenne du carré (Ex)* sera m*p («» + a" -f. a"» + . . . ) =
i^a valeur moyenne de (E^)* sera de uicine
comme nous Tavons déjà reconnu. On peut également assigner la valeur moyenne du produit Ex. "Ey^ qui sera
On énonce ces résultats plus brièvement de la manière suivante :
Les valeurs moyennes des carrés (Ex)^, (Ej^}% etc., sont
respectivement égales aux produits de par les quo-
tients dillcrenticls partiels du second ordre
et la valeur moyeimo d'un produit tel que Ex »Ey est le
>ar
tion de (, 97, ctc
produit de ^fi^p par en r^ardant A comme ionc»
Soit t une fonction donnée et linéaire des quantités y, jff, eic., par exemple ^
la valeur de £ déduite des valeurs les plus plausibles de x^y^Zy etc. 9 sera
nous la désignerons par K. En désignant par Et Terreur commise en Fadoptant^ on aura
la valeur moyenne de cette erreur sera évidemment nulle,
eVst-à-dîre que Terreur ne contiendra pas de partie constante, mais la valeur moyenne de (Et)', c'est-à-dire de Ja i>omme
/»(Ej:)*-H n/gEx.Ex 4- 2/AEj?.Ea +. . .
sera, d'après F^ticle précédent, égalé an produit de m^p par la somme
V» ( «a ) ^ 2/5^ ( ap ) -h 2//< ( a7 ) -h . . .
c'est-à-dire au produit de m^p par la valeur de la fonction n — M , lorsqu'on y fait
Désignons par &> cette valeur de A— *M ; Terreur moyenne à craindre, lorsque l'on prend < = K, sera m^pfù^ et le
poids de cette délermination sera Puisque Ton a identiquement
û — M = (jc — A) 1 4- (j-— B) « H- (a — C)Ç . tù sera ^al à la valeur de rcxprcssion
[qui représente {t — K)], dans laquelle on remplacera
x, y, z, etc., par les valeurs correspondantes à J = y,
Ëtiiin , observant que t , exprimé eu fonction des quantités 19, etc., aura K pour partie constante, si l'on sup» pose
on aura
Nous avons vu que la fonction Q, acquiert sou minimum^ absolu M, lorsque l'on y fait
^=A, ^ = B, s = Cy...9
ou , ce qui revient au même,
Si Von attriboe à Time des inooniiues une autre valeur j que Fon lasse, par exemple,
les autres inconnues restant variables, H pourra acquérir une valeur minimum relative , qui s'obtiendra à Taide des équatioDS
et, par suite,
or, puisque
A + («a) Ç -h -H(oey)j;-H. .
OU en conclut
On trouvera de même
[d'ex.) \*"/
La valeur minimum relative de û sera
(eut)
Nous en conclurons, réciproquement, que si Hnedoît pas
surpasser M -f- la valeur de x est nécessairement com*
prise entre les limites A — fii^(âa), et A-\- ii^(oLa), Il
est important de remarquer que fi ^(out) devient égal a Terreur moyenne à craindre dans la valeur la plus plausible de or, si Ton pose
c'est-à-dire si est Tert eur moyenne d ubscrvatious telles, que leur poids soit l'unité.
Plus généralement, cberchons la plus petite valeur de la
fonction H qui puisse correspondre à une vakur donnée de f , ^ désignant , comme dans 1 article précédent, Texprcssion linéaire
' dont la yaleur la plus plausible est R ; désignons par K-hx la valeur donnée de t. D'après la théorie des maidmum et
minimum, la sululiuu du problème sera donnée par les équations
dsx ^dt dx dx^ da ^ dt éf dy
da^dt
ou
0 désignant un multiplicateur encore indéterminé.
Si, comme dan» Farticle précédent, nous posons identi
quement ,
f = FÇH-G»-HHÇ-+-...-hK,
nous aurons
K H- * = irG + ^ H + , . .)
d'où.
(ù ayant la même signiUcation que dans l'article précédent.
Puisque il — M est une fonction homogène du second degré, par rapport aux variables (,19, etc., sa valeur pour
sera évidemment
et, par conséquent, la valeur minimum de XI, lorsque sera
Réciproquement, si il doit rester inférieure à une valeur donnée M-Hfii*» la valeur de t sera nécessairement comprise entre les limites R — fx y^, K-h^y^w, et a s o) sera Terreur moyenne à craindre dans la valeui la plus plausible de t, si ^ représente 1 erreur moyenne d'observations dont le poids serait Funité.
Lorsque le nombre des inconnues x^jr^ Zy etc., est un peu grand, l9 détermination des valeurs numériques de A , B, G , etc. , par l'élimination ordinaire, est assez pénible. G*e6t pourquoi nous avons indiqué, dans la Théorie du Mouvement des Corps célestes, et développé plus tard, dans le Mémoire sur les éléments de l orbite de Pallas ^Commentaires de Gottingue, t. I), une méthode qui simplifie ce travail autant que possible.
La fonction II doit être ramenée à la forme suivante : «•« »'» uT^
où les diviseurs alî)', O"^ (E/", etc., sont des quantités déterminées^ u<>, u', u", etc., sont des fonctions linéaires de x^y^ ^, etc., telles querla seconde u' ne contient pas la troisième ne contient ni ni y, la quatrième ne contient ni X, ni y y ni et ainsi de suite, de sorte que la dernière i/C^ï — 0 ne contient que la dernière des inconnues or, y, etc.; enfin les coefficients de x, j^, ^, etc., dans u<*, u'y u"y etc. , sont respectivement égaux à «\>^, ^b', 0\ etc. Alors on pose
et i on aura très-facilement les valeurs de or, y^ etc.,
en résolvant ces cqualioiis et commençant par la dernière. Je ne crois pas nécessaire tle répéter de nouveau ralgorithme qui conduit à celle transformation de la fonction (*).
Mais l*élimi nation qu il faut efiSectuer pour trouver les poids de ces détermÎDations exige des calculs bien plus longs encore.. Nous avons montré, dans là Théorie du Mou* uement des Corps célestes, que le poids de la détermination de la dernière inconnue, qui entre seule dans est égal au dernier terme de la série des diviseurs al><>, ifti', G'^, etc. Cette recherche est facile ^ aussi plusieurs calculateurs, voulant éviter une élimination pénible^ ont eu ridée, faute d'autre méthode, de répéter la transformation indiquée en considérant successivement chaque inconnue comme la dernière. J'espère donc que les géomètres me sauront gré d'indiquer, pour calculer les poids des déterminations, une méthode nouvelle qui ne me semble plus rien laisser à désirer sur ce point.
Posons on aura identiquement
( * ) On trouver» ow cftleuli 4«n« «ne Note k la fin da volume. i, B.
d'oà nous déduirons :
Les valeurs de u*, u', u", etc.y déduites de ces équations, se présenteront sons la forme suivante :
Il =
De la différentielle complète de Téquation
retranchons Vecpiation il viendra
Celte expression doit être identique avec celle que l'on obtient à l'aide des équations (3), c'est-à-dire
on aura dcmc
A"' ^7 -f- . • • H- Af
En substituant dans ces expressions , les valeurs de u*^ II', u"^ etc., tirées des équations (3), on aura effectué Télî-
minalion. Pour déterminer les poids, nous aurons . , I A** A*»
(PS) = :s7 +
.(5) ^^ppu- «^e"^(D
La simplicité àe ces formules ne laisse rien k désirer. On
trou\ ri ait des formulas égalemi ut simples pour exprimer les autres coeliicienls (a/S), («7), ((^7), etc. -, niais, comme leur usage est moins fréquent, nous nous dis^nserona de les exposer.
L'importance du sujet nous a engagé à tout préparer pour le calcul et à former les expressions explicites des coefficients A', A^ A'% B", B'", etc.
Ce calcul peut être abordé de deux manières : la première consiste à reporter, dans les équations ( ) , les râleurs de w®, u\ u"j (Etc., déduites du système (3), qui doivent r< i]<]r(> ( PS cquatioiis identiques*, et la seconde à exprimer, au contraire, que le système ( 2) devient identique lorsqu'on y substitue les valeurs de £ , )i , déduites du système (3).
La première méthode conduit aux formtiles suivantes :
__ + Ja'-hA" = o,
