C* <£/ CD
Ces formules feront connaitre A'^ A'', A'^', etc&
Ou auia cusuite,
qui dounerout B\ B"', elc. ^ puis
qui feront connaitre CT^ etc.| et ainsi de suite. La seconde métliodc douuc le systèuie suivant ;
A'-hifc» = o,
d'où Vou tire A'j
X' A''H-ub«B -h ©« = 0,
ifi,' B"H-e' = o,
d'où Ton tire B' el Â'^;
in,'B'"-he'e''4-(ô'=^o, e^C*'-i-(D«'r=o,
d^ott Ton déduira C', B^, A'^; et ainsi de suite.
Les deux systèmes de formules ofirent des avantages à peu près égaux, lorsque Ton vent les poids des déterminations
de toutes les inconnues x, y, z, etc.: mais lorsqu'on ne rhenhe qu'une seule des quantités (f(5)> (yy), etc.,
le premier systèoie est bien préférable.
D'ailleurs, la combinaison des équations (i) et (4) conduit ^ux mêmes formules, et fournit, en outre, un second moyen d'obtenir les valeurs les plus plausibles
A , 15 , C , etc. , (|ui sùnl
L'autre calcul est identique avec le calcul ordinaire dans lequel on suppose
Les résultais obtenus dans Tari. 32 ne sont que des cas particuliers d uu théorème plus général qui peut s^énoncer de la manière suivante :
THÉoûaiB — «St t représente ht fonction linéaire suifiante des inconnues x, y, z, etc.,
t =/x gjr -h /tz-i- . .
dont V expression en Jonction des variables u*^} u', u""^, etc., soit
K sera la valeur la plus plausible de et le poids de cette détermination sera
Démonstration» — La première partie du théorème est évidente , puisque la valeur la plus plausible de t doit cor^ respondre aux valeurs
Pour démontrer la seconde partie, remarquons que Ton a
<>i par conscqueiu, lorsque ' on a
quelles que soient les différentielles /It', ciy, ^/z,elc. H suit de là qu'en supposant toujours ,
on aura
li* 1/ w"
= A^^fo^H- AWi»'-h A^cfa"-!- ....
Or on voit facilement que si les difiereniielles dx^ dy^ etc., sont îndépendantefflcs unes des autres, il en sera de même de dv?^ du\ di^^ etc. ; nous aurons, par conséquent,
pour
liO=X«À% «'=i=:\lb'A', u"^^"h\
Par conséquent , la valeur de A correspondant aux mêmes hypothèses, sera
A" -h ifl»'A'« H- S'^A"* -h H M :
ce qui , d'après Tart. 29, démontre fexactitude de notre théorème.
Si d'ailleurs on désire effectuer la transformation de la fonction f, sans ayoir recours aux formules (4) (art. 32), on a immédiatement les relations
qui permettront de déterminer A^, A', k^^ etc^ et notfs aurons enfin
Nous traiterons particnliérement le problème suivant ,
tant à causu de son utilité pralii^ue, i^ue de la simplicité de la solution :
Trouver Us changements que les valeurs les plus plauf sibles des inconnues subissent par V adjonction dune nouvelle équation, et assigner les poids de ces ncfuvelles détermmations.
Conservons les notations précédentes. Les équations pi iluitives, réduites à avoir pour poids Tuiiité, seront
OU aura
^) ^9 Ct ^^^-9 seront les dérivées partielles
da ein fin
et enfin on aura, par réliminatîou,
jr = A ^- (aa) Ç -f- («8) ij 4- (ay) Ç H- . . . , * = C H- {07)5 + (py) Il + (77) ^;-H. . • ,
Supposons maintenant que Ton ait une nouvelle équa« lion appronmative,
dont nous supposerons le poids égal à l'unité. Cherchons les changements que subiront les valeurs les plus plausibles A , B, G 9 et€., et oellei des coefficient» i^^h ( ^ )f Posons
û H- a*, t diï* I da* ^ I rfn* ^ a rf« a rfr a ris '
et soit
le ré&uiiaL de 1 éliniinaiiou.
Soit enfin ,
qui deviendra, en ayant égard aux équations (i), et posons
Ksera évidemment la valeur la plus plausible de la fonction f^^, telle qu'elle résulte des équations primitives, sans avoir égard à la valeur o fournie par la nouvelle observation , et - sera )e poids de cette détermination.
Or nous avons
et, par suite,
Fr4-Gîi*-hHi;* + ...4-K = »'*(i-hF/-|rGg^îl/*H-.,.)î
d où Ton déduit
^ Fr-HO<*-t-Hg ^-h...H->K
On a, en outre,
= A H- («e)Ç*+ («p)iî*-l-. . F.»*,
Nous déduirons de là ,
qui sera la valent* la plus plausible de déduite de toutes les observations.
On aura aussi
i-hw
)tar conséquent ,
(aa) —
sera le poids de celte détermination . '
On irouvora de la mèrae inani<*r<^. pour valcui la plus plausible dey, déduite de toutes les observations,
le poidvS de eelic détermination sera
et ainsi de suite.
Le problème est donc résolu.
Ajoulous (juclfjiu's reiiianju(*3.
I. F.u sub>lituaia les nouvelles valeurs A*, B*, C*, ele., la ibnctiou y* obtiendra la valeur la plus plausible
eij puiscpie l on a, idenlKpu'ment,
le poids de celle détermiualion sera (art., 29)
F/ H- Gg^ -h H/* 4- . . . «*
Ces lébultats pouriaienl se «icduiie iunuédiatcmeiil (K ,s règles exposées à la An de 1 art. 21 . L ensemble des équations primitives avait, en cflet, fourni -la détermination
r*z^Kj lioiii le poids euit ^> une observation nouvelle
doBoe une antre détermination t^* — o. indépend uiie de la première, ayaiii pour poids rimitéj leur combinaison donnera la détermination
^«i aura pour poids
