MÉTHODE GÉNÉRALE DE STATISTIQUE OIL
Cette équation sera identique à une relation thermodynamique connue, déduite de l'hypothèse que U est fonction homogène de S, V et M, à condition qu’on ait : y OU Wt, OÙ aU Va F. SCA RASE RACE LS LEE Du ne nn US on, EN 2V ?
Re U , à ce qui signifie que — est fonction des seuls rapports; nous
ferons dorénavant cette hypothèse.
Equation d'état. — L'étude précédente nous ayant fourni une expression statistique de la pression, celle-ci doit être identique à l’équation d'état du gaz, ce qui doit permettre une vérification supplémentaire de l'exactitude de nos considérations. Plaçons-nous dans le cas particulier envisagé précédemment dans lequel une cellule peut contenir un nombre quelconque de particules, pourvu que ce nombre soit inférieur à g +1; si q—1, ia statistique est celle de Fermi, si g est infini, on a affaire à celle de Bose. Nous avons vu qüe, dans ce cas, on a :
9; Tell (a +1)(r+BE;)
ai tr al + RE;) et :
D er ue no LRO AT EATI PERS
D'autre part, nous pouvons toujours comme nous avons été conduits à le faire dans les cas particuliers de Fermi
et de Bose, poser e Ÿ =(e à 3
eufin, nous pouvons développer les expressions rigoureuses suivant les puissances croissantes de «; nous bornerons ce
3? GEORGÉS ALLARD
développement au second ordre, ce qui donnera, si q est supérieur à l'unité :
Ji
lo —2$E,
GT 2 ——log(1 — ae FE) — 3e PE; 3e ES e
tout comme si la statistique était celle de Bose. De même on : aura :
29; (gra? Ÿ?
ePEi
Ni —= = —— ; TPE TPE
= 0qie PE, + a?gie et, là encore, tout se passe comme si on avait affaire à la méthode de Bose. En résumé, si nous nous bornons au second ordre en x, ou, plus généralement, à un ordre inférieur à g + 1, tout se passera comme si la statistique était celle de Bose. Nous pourrons donc nous borner à considérer les deux cas, Bose et Fermi, et admettre que nous avons envisagé toutes les possibilités. Ceci posé, nous examinerons d’abord le cas où « est assez faible (et par suite y assez grand) pour qu’on puisse se borner au premier ordre en z;
pour les deux méthodes, le résultat est le même :
10g — — 4e PE ir.
ni = agie PE, On en tire :
N= Du = Jus t i oU < PV LNV— Yytlog = a Vgie — * =N— aY di kT
(p+ 5 )V=NTERT. (13)
Si les interactions entre molécules sont négligeables, ŒUEe- : , Ê :
;y sera nul et la relation obtenue n’est autre que la loi connue
des gaz parfaits; elle nous donne en même temps la valeur de la constante universelle k. Si, au contraire, les interactions ne sont pas négligeables, on voit que l’équation d’état reste la même à condition d'ajouter, à la pression extérieure p
: ; : oU une pression interne II qui vaut +.
Dégénérescence des gaz. — Nous pouvons aussi aller plus loin et envisager le cas où l’on ne peut plus se contenter du premier ordre en à; nous examinerons seulement les deux cas Bose et Fermi suivant la remarque faite un peu plus haut. Le signe + correspondant à la statistique de Fermi et le signe — à ceile de Bose, on a alors en toute rigueur :
(P +0) V=+HAT Ÿ gilog (1H ae PE)
N= Ye È
