MÉTHODE GÉNÉRALE DE SIATISTIQUE II

à l'instant {, la molécule se trouve dans un domaine d’extension en phase égal au produit Ag, Ag, AP, Ap,, et, d’après le théorème de Liouville, nous pourrons aussi affirmer que la molécule se trouvera, à tout instant, dans un domaine d'égale grandeur ; c’est cette grandeur que nous prendrons, dans nos calculs, comme mesure de la cellule élémentaire. Si nous voulons que nos résultats aient la plus grande précision possible, nous devrons imaginer que la mesure a été faite avec la plus grande précision théoriquement possible, c'est-à-dire que le produit des quatre erreurs Ag, Ag: Ap; AP: devra être le plus petit possible. |

La mécanique classique postule que ces quatre quantités peuvent être, simultarément, aussi petites qu’on le veut : on devra donc décomposer le domaine total d'extension en phase en domaines élémentaires pouvant être infiniment petits, et c'est ce qu'a fait Boltzmann.

La mécanique quantique, au contraire, admet, avec les relations d'incertitude, que chacun des deux produits Ag, Ap, et Ag, Ap,, ne peut être inférieur à la constante de Planck À ; si l’on se place dans les meilleures conditions possibles, ils deviendront égaux à L et leur produit vaudra h?; si, au lieu de deux degrés de liberté, 1l y en avait f, la quantité à considérer vaudrait hf. Nous retrouvons ainsi la condition mentionnée précédemment, et l’on peut sans doute considérer les succès des statistiques quantiques comme une justification, très indirecte il est vrai, mais pourtant très sérieuse, des considérations d'Heisenberg.

Indiscernabilité des molécules. — Avant de clore ce chapitre préliminaire, il nous reste encore une question à étudier. Nous basons la statistique sur le théorème de Liouville, lequel est une conséquence des équations de Hamilton, c’està-dire de la mécanique classique, et nous lui superposous, pour déterminer la grandeur de nos cellules élémentaires, des considérations purement quantiques : n’y a-t-il pas là

encore une contradiction que le succès peut justifier mais qui n’en est pas moins intolérable du point de vue logique ? En d’autres termes, le théorème de Liouville a-t-1l encore un sens du point de vue quantique? Pour qu'il en soit ainsi, il faut qu'il en soit de même des équations fondamentales de la mécanique classique, et l’on sait que c'est précisément le cas : ces équations sont des conséquences rigoureuses de la mécanique ondulatoire quand on les applique, non pas aux coordonnées et aux composantes de la quantité de mouvement d’une particule, mais bien aux valeurs moyennes de ces quantités, moyennes qui sont susceptibles d’une défini-

tion précise. IL en résulte que le théorème de Liouville est applicable, en mécanique quantique, à ces valeurs moyennes et à elles seules; mais il est bien évident que ce fait doit avoir sa répercussion sur la façon d'appliquer ce théorème. Il semble que la façon la plus logique d’en tenir compte soit la suivante : si nous n'avions qu’une seule molécule, nous ne pourrions connaître son mouvement, mais si nous en avons un très grand nombre, nous pourrons imaginer qu’on les remplace par un nombre égal de points se mouvant suivant les lois classiques, étant entendu qu'à chaque instant, il y a une mnolécule réelle pratiquement confondue avec chacune de ces molécules virtuelles, mais que ce n’est pas toujours la même, nos molécules virtuelles représentant donc, à chaque instant, la position moyenne des molécules réelles. La répartition des molécules virtuelles, la seule pour la connaissance de laquelle nous puissions appliquer le théorème de Liouville, n’a donc qu’un seul caractère commun avec celle des molécules réelles, c’est que, dans un même domaine d'extension en phase, il y en a le même nombre. Pour que la répartition que nous déterminerons pour les molécules virtuelles soit applicable aux molécules réelles, il faudra donc qu'elle ne dépende absolument que du nombre de points présents dans un domaine élémentaire d'extension en phase et que les molécules soient dépouillées, au maxi-

mum, de toute individualité. Pour parvenir à ce résultat, le plus simple est d'opérer de la façon suivante : on raisonnera uniquement sur les cellules élémentaires en attribuant à ces cellules, outre les propriétés qui servent à les définir, celle de contenir un nombre déterminé de particules.

En résumé, il semble que nous devrons obtenir des résultats satisfaisants si nous admettoss : $ .

1° Que le mouvement de chaque molécule est régi par un système d'équations canoniques correspondant à une énergie bien déterminée, l'énergie totale étant d'ailleurs différente de la somme des énergies de chaque molécule ;

2° Que les domaines élémentaires d'extension en phase ont une étendue }/ ; |

3° Que les calculs statistiques portent uniquement sur les cellules d'extension en phase, les molécules n'intervenant que par le nombre qu'en contient chaque cellule.

Nous allons voir, dans le prochain chapitre, comment l'application la plus simple possible de ces principes nous conduit à une loi de répartition en parfait accord avec la Thermodynamique et comprenant, comme cas particuliers, les statistiques de Bose-Einstein et de Fermi-Dirac.