PRINCIPE DE LA METHOD
Les résultats obtenus dans les précédents chapitres n'ont un intérét pratique que dans la mesure où l'on pourra résoudre un système de ï équations algébriques ou transcendantes à n inconnues.
La solution que nous proposerons est une généralisation de la méthode de Newton établie pour une équation à une inconnue.
Soit y = f(x) = O l'équation à résoudre.
Soient M (x y ) un point de la courbe O JS à)
voisin du point 4 où celle-ci coupe l'axe Oxs La méthode Ge Newton consiste à substituer au point À le point P où la tangente en M, à la courbe coupe Ox. Cette tangente a pour équation:
(X,Y) étant des coordonnées courantes et 7" la valeur de la dérivée de f(x) en M:
L'abscisse du point P est donc:
On peut encore écrire:
è = x = © sr , x )
C'est également la formule de Taylor limitée au terme du premier orûre.
En réitérant la méthode autant de fois qu'il est nécessaire, on peut ainsi calculer la racine cherchée avec toute la précision désirable.
Soit maintenant un système de n équations quelconques à n inconnues: |
45) T, Es al (x, » HA Je 2 El (i = 1, Love) n)
ou plus brièvement:
oh = 4 BE (@ = Le Ês PE à
i i j Soit (x.) un système de n valeurs initiales des inconnues ne : J o
voisines du système des solutions cherchées.
La formule de Taylor appliquée aux équations données et limitee aux
termes du premier orûre conduit au système suivant linéaire en
Ar
Le
j=n dy:
46) TRS ()Ax,- à . j=1 —;
Géométriquement, dans un espace à n +1 dimensions, chacune des équations (45) représente une multiplicité à n dimensions que, par com modité de langage, nous appellerons encore une surface, et l'équation (46) qui lui correspond définit une autre multiplicité à n dimensions, qui sera le plan tangent à la surface considérée au point (, ), de coordon—-
nées (x, Yi do -
Ainsi, les valeurs Enr obtenues sont done n coordonnées x. J J
point d'ordonnée y = Os ce point se trouve défini comme l'intersection P du plan de coordonnées, y = O0, de multiplicité mn, et des n plans tangents (46) .
