LA LEÇON DE CALCUL

Aux leçons de lecture et d'écriture, on a cru devoir joindre les prenoiers exercices du calcul. On a eu, pour ce l'aire, plusieurs raisons.

1* Il n'était pas possible de faire parler, lire et écrire des enfants, pendant trois heures le matin et trois heures le soir, et l'on a dû chercher d'autres exercices qui, tout en les occupant et en les intéressant, eussent aussi leur utilité. Le calcul devait être l'un de ces exercices, au premier chef.

2" Étant donné que les élèves auxquels on s'adresse ne comprennent pas encore le français et que la grande difficulté pour le maître est de se mettre en communication avec eux, on a pensé que rien n'y servirait mieux que des exercices de calcul. Pour exécuter et même pour raisonner les quatre opérations de l'arithmétique, il suffît d'un nombre de mots très restreint, et comme tous ces mots correspondent a des objets qu'on réunit ou qu'on sépare sous les yeux des élèves, ainsi qu'à des chitfres qu'on écrit au tableau, il est toujours possible de leur en donner l'intelligence. C'est, de toutes les matières de l'enseignement, celle qui se prête le plus à être poussée avec des enfants qui ne parlent pas la même langue que leur maître. On trouve des élèves qui lisent, mais qui sont incapables d'expliquer ce qu'ils viennent de lire, tandis qu'ils savent fort bien dire ce qu'ils font, quand ils exécutent une opération d'arithmétique. Ils savent du français, mais en arithmétique seulement.

3' L'exercice de calcul marqué pour chaque classe doit durer une demi-heure : il comprend un quart d'heure de leçon orale et un quart d'heure de calcul écrit. Or la leçon orale est de nature telle qu'elle pourra souvent être faite par un moniteur; quant au calcul écrit, les élèves pourront presque toujours le faire seuls et sans direction. C'est, par suite, un temps dont le maître pourra disposer pour s'occuper de ses élèves plus avancés.

Les exercices indiqués au livret, à titre de spécimens, comprennent trois séries qui se succèdent :

Première série. — On forme les neuf premiers nombres et Ion exécute toutes les additions, soustractions, multipli-^ valions et divisions qui n'exigent pas la connaissance d'un nombre supérieur à neuf. Ce point est de la plus haute importance. Il faut que les élèves, avant de former le nombre dix, soient rompus à exécuter de tête et rapidement toutes les opérations possibles sur les neuf premier* nombres.

Deuxième série. — On forme le nombre dix et Ton étudie les neuf premières dizaines, mais sans tenir compte des nombres intermédiaires, compris entre une dizaine et une autre dizaine. On exécute toutes les additions, soustractions, multiplications et divisions possibles sur les neuf premières dizaines : autrement, on répète sur les dizaines le travail qui a été fait sur les unités. Ce sont, pour les élèves, neuf mots nouveaux à apprendre ; ils doivent aussi retenir qu'un chiffre a besoin, pour exprimer des dizaines, d'avoir un zéro à sa droite.

Troisième série. — Enfin, on forme tous les nombres compris entre la première et la seconde dizaine, et successivement, entre chaque dizaine et la dizaine suivante, jusqu'au nombre quatre-vingt-dix-neuf ; puis l'on exécute toutes les additions, soustractions, multiplications et divisions possibles, sans dépasser le nombre cent. C'est-à-dire qu'on intercale entre chaque dizaine et la suivante toutes les opérations exécutées d'abord sur les neuf premiers nombres. On arrive ainsi au nombre cent et Ton peut s'arrêter là. La marche est tracée : on n'éprouvera aucune difficulté, quand on croira devoir aller au delà.

On n'oubliera pas que les élèves doivent être tout d'abord rompus à la pratique du calcul mental, et que toute opération doit être faite mentalement avant que les résultats en soient écrits au tableau noir. Or, les procédés du calcul mental sont autres que ceux du calcul écrit.

En voici deux qui ont une importance particulière :

as MÉTHODK PRATIQUE DE LANGAGE.

i' Dans le cdlcul mentaL on commence toujours les opérations par les plus hautes iinitôs, c'est-à-dire par la gauche, tantiis que dans le calcul écrit, on commence par la droite. 2° Pour calculer mentalement, il faut toujours arrondir les nombres, c'est-à-dire y ajouter ou en retrancher ce qui est nécessaire pour avoir un nombre exact de dizaines; on fait l'opération et Ton rectifie ensuite le résultat obtenu.

Il importe encore de bien s'assurer que les élèves ne font pas mentalement du calcul écrit. Soit 24 à multiplier par 3. Si l'élève se dit intérieurement : 3 fois 4 font 12, je pose 2 et je retiens 1 ; 3 fois 2 font 6 et un de retenue 7, soit 72, il a fait mentalement du calcul écrit. — Si, au contraire, il dit : 3 fois 2 dizaines, ou 20, font 6 dizaines, ou 60; 3 fois 4 font 12; 60 et 12 font 72, il fait du calcul mental. La différence entre les deux procédés n'est pas très sensible ici, parce que le multiplicateur n'a qu'un chiffre; il en serait tout autrement, s'il avait deux chiffres, si l'on avait à multiplier 12 par 13, par exemple.

S'il est une matière d'enseignement dans laquelle il soit facile de mettre en pratique cette recommandation pédagogique, à savoir qu'avec les enfants il faut toujours aller du concret à l'abstrait, c'est bien certainement lorsqu'on veut leur enseigner les premiers éléments du calcul. Au lieu de leur faire dire : « un et un font deux..., 3 et 4 font

7 etc., » il faut leur montrer des objets réels qu'on

réunit sous leurs yeux. On prendra de préférence des baguettes, longues de deux centimètres au moins, afin que tous les élèves puissent bien les voir, des crayons, de petites lattes, etc. Il en faut une vingtaine. On fera bien de se procurer également une dizaine de bâtonnets, dont chacun équivaudra à dix baguettes, et un bâton qui sera de la grosseur de dix bâtonnets et qui figurera la centaine *. L'important est qu'on puisse faire comprendre aux élèves

1. On trouvera à la librairie Jeandé, 74, rue de Rennes, de petites lattes qui conviennent parfaitement pour cet objet : réunies par bottes de dix. elles forment des règles carrées qui figurent la dizaine, etc.

qu'une dizaine est formée par la réunion de dix unités, et que pourtant elle est elle-même autre chose qu'une agglomération, qu'elle est à son tour une véritable unité, mais d'un ordre supérieur. C'est ce que fait bien voir la règ-le, rapprochée de la boite de dix lattes. Elle est la même chose et elle n'est pas la même chose. Elle est la même chose, en ce sens que, si on la fendait dans sa longueur, on y retrouverait les dix petites lattes qui constituent la botte; et d'autre part elle n'est pas la même chose, puisque la règle est une chose individuelle au même titre qu'une latte, et qu'on peut recommencer sur des règles toutes les opérations qu'on a exécutées sur des lattes.

C'est avec des baguettes et des lattes que le maître fera bien de donner ses premières leçons, pour les raisons qu'on vient d'indiquer; mais il se gardera d'en faire un usage exclusif. Il serait à craindre que Fidée des nombres ne se matérialisât, pour ainsi dire, et qu'elle ne se fixât dans l'imagination de l'enfant sous la forme de lattes ou de baguettes. Les élèves pourraient arriver à ne savoir compter que des baguettes, comme il y en a qui ne savent lire que dans leur livre de lecture. L'instituteur devra donc varier ses exercices en faisant compter des objets divers. Après les barres, les points, les ronds, les carrés, les cubes, etc., qui sont figurés au livret de l'élève, il fera compter les doigts de la main, les élèves qui sont à une table, les carreaux de la fenêtre, des rangées de pavés, les tableaux et les cartes qui sont dans la classe, les lettres dont se compose un mot, des cahiers, des livres, etc. Il pourra également employer des sous comme unités, des pièces de dix sous comme dizaines et des pièces de cent sous comme centaines, quoique l'enfant ne voie déjà plus bien dans la pièce de cinq francs les cent sous ou unités qu'elle comprend; mais cet exemple, venant après les précédents, aura l'avantage de l'habituer graduellement à considérer les nombres indépendamment des objets qu'ils représentent. La seule chose qui importe, c'est que les objets composant chaque groupe soient des objets semblables ou du moins analogues, afin que l'enfant comprenne bien tout d'abord qu'on ne peut réunir que des unités de même espèce.

La leçon de calcul comprendra toujours trois choses : 1" le maître, en léimissant et en séparant les baguettes, formera les paquets, les nofiibres; 2° tous les élèves en chœur nommeront les nombres qu'il aura formés; 3° uu élève écrira au tableau noir le ou les chiffres correspondants. — Inversement : 1" le maître écrira des chiifres au tableau noir; 2° les élèves les nommeront; 3° un élève, bien en vue de ses camarades, formera les paquets correspondants. Une fois les choses organisées et l'habitude bien prise, l'exercice se fait pour ainsi dire de lui-même, par la vue des objets et des chiffres, avec quelques mots seulement, sans bruit et sans fatigue pour le maître, souvent même sans que son intervention soit nécessaire.

Ces préliminaires établis, passons en revue les divers exercices proposés au livret de l'élève.

Les cinq premières leçons sont consacrées à la formation des 9 premiers nombres. Le maître tient à la main une baguette et la montre aux élèves en leur disant : « une baguette ». Tous les élèves répètent : « une baguette ». Un élève est au tableau noir; il écrit i. — A cette première baguette qu'il tient à la main, le maître en réunit, en ajoute une deuxième. Il les montre aux élèves en leur disant : « deux baguettes ». Les élèves répètent : u deux baguettes». L'élève qui est au tableau écrit le chiffre 2, etc. On procède de même jusqu'à neuf baguettes.

Le maître montre ensuite aux élèves 3, 5, 8 baguettes, etc., et les élèves sont exercés à dire chaque fois le nombre de baguettes qu'il tient à la main ; et toujours le nombre est formé, puis nommé, puis écrit.

Dans la 6' leçon, le maître va de là 9, puis redescend de 9 à i, en ajoutant ou en retianchant toujours une baguette. C'est-à-dire qu'il exerce les élèves à compter de 1 à 9 en montant et de 9 à 1 en descendant.

La 7* et la 8* leçons sont consacrées à des additions fort simples, puisqu'on n'ajoute jamais qu'une unité au nomlire précédemment formé. La 9' propose de véritables additions dans leur forme écrite.

CONSEILS AUX MAITRES POUR L'EMl'LOI DES LIVRETS. 121

La 10* propose également des additions, mais dans une forme nouvelle, qui prépare la soustraction.

La 11' et la 12° sont consacrées à des exercices de soustraction, gradués comme ceux d'addition. — La i3% à des additions et des soustractions mélangées. On engage le maître à multiplier ce dernier exercice : il faut que ses élèves arrivent à donner le résultat de chaque addition ou de chaque soustraction partielle aussi vite presque qu'il pose lui-même la question. Ex. : d -f- 3 + 5 — 4 -f 2 — 5 + 6—7, etc., etc.

La 14' et la 15« leçons traitent de la multiplication, qui sera toujours considérée comme une addition abrégée, et la 16% de la division, qu'on présentera comme un partage d'objets divers et de même espèce entre un plus ou moins grand nombre d'élèves.

La 17* est une récapitulation des 4 règles. L'exercice proposé pour la 18' est très important. Il s'agit de passer des unités à la dizaine. Le maître réunit dix baguettes, dix unités; il les lie et en fait une botte, à laquelle il donne le nom de dizaine. Tous les élèves répètent : « dix baguettes ou une dizaine ». — Il rapproche ensuite de la botte qu'il vient de former un bâtonnet, qui est sensiblement aussi gros à lui seul que les dix baguettes, et il l'appelle également « une dizaine ». Puis il montre, en alternant, tantôt la botte de dix baguettes, tantôt le bâtonnet, et toujours les élèves répètent: « une dizaine ». Ils arriveront vite à comprendre que le bâtonnet ou la botte représentent la même chose, ont la même valeur, et qu'on peut par suite les substituer l'un à l'autre. Il faut qu'ils saisissent cela parfaitement, si l'on veut qu'ils comprennent les reports qui viendront plus loin.

La 19' leçon est consacrée à la formation des dizaines suivantes, qui ne présente aucune difficulté. On remarquera seulement, pour l'écriture, que les chiffres étudiés précédemment doivent être suivis d'un zéro, quand ils expriment des bâtonnets-dizaines, et non plus des baguettes-unités. Au fond les opérations à faire sur les dizaines ne sont que la répétition de celles qui ont été faites sur les unités. Les élèves ont seulement neuf mots nouveaux à retenir.

MÉTHODE DE LANGAGE (Maître). 6

122 MÉTHODK PRATIQUE DE lANGAGK.

11 est à noler encore qu'on fera bien de se servir, au début, des mois septante^ oclante et nonante, pour ne pas embrouiller les élèves. C'est plus lard seulement qu'on leur apprendra que l'usage a prévalu de les remplacer par soixanlc-dix, quatre-vingts et quatre-ving^t-dix, qui sont bien moins rationnels. Peut-être obtiendra-l-on de la sorte qu'ils n'écriront pas plus tard 614 au lieu de 74, et 810 au lieu de 06.

La 20* leçon est consacrée aux opérations sur des nombres ronds de dizaines. Aucune difficulté.

Dans la 21% on forme lous les nombres compris entre dix et vingt. Le maître tient de la main gauche un bâtonnet ; tous les élèves disent en chœur : « dix ». — Il prend une baguette de la main droite et la leur montre; ils disent de même en chœur : « un ». — Il rapproche la baguette du bâtonnet; il réunit, il ajoute la baguette au bâtonnet, de manière que les deux objets n'en fassent plus qu'un pour ainsi dire, et tous les élèves disent en chœur : « dix et un ou dix-un ». On procède de la même manière pour former successivement les nombres dix-deux, dix-trois, dix-quatre, dix-cinq, dix-six, dix-sept, etc. — Gomme pour septante, octante et nouante, c'est plus tard seulement qu'on leur apprendra que l'usage a prévalu de dire onzCy douze, treize, etc.

La 22* leçon donne des spécimens d'additions dont le total ne dépasse pas 20, et de soustractions dont le plus grand nombre n'est pas non plus supérieur à 20. On conseille au maître de multiplier ces exercices.

Les reports dans l'addition se comprendront facilement, si le maître, chaque fois qu'il a réuni dix baguettes, les remplace par un bâtonnet. Il en sera de même pour la soustraction : si l'on a 17, soit un bâtonnet et sept baguettes, il est impossible d'en retirer 9 baguettes, par exemple. Mais si l'on remplace le bâtonnet par 10 baguettes, la soustraction devient possible. C'est-à-dire qu'on fera bien tout d'abord de recourir à la méthode de l'emprunt, qui est beaucoup plus facile à comprendre pour les élèves, puisque l'opération peut être exécutée matériellement sous leurs yeux. C'est plus tard seulement qu'on leur apprendra la méthode de compensation, qui est beaucoup plus

commode, quand le nombre supérieur renferme des zéros; mais qui, précisément parce qu'elle repose sur un principe général, est par cela même plus abstraite.

Aucune remarque n'est à faire sur les leçons qui suiveut jusqu'à la 30* inclusivement. C'est cbaque fois la répétition des 21' et 22' leçons, sur une dizaine immédiatement supérieure.

La 31* leçon est consacrée à des mulliplicatious et à des divisions sur des nombres ronds de dizaines. Ce sont les mêmes opérations que celles qui ont été faites précédemment sur les unités, avec cette ditt'érence que les noms sont autres et que cbaque chiffre est suivi d'un zéro. La 32^ leçon renferme des exercices de récapitulation.

Les trois leçons qui suivent ont pour objet la table de multiplication, que les élèves doivent apprendre par cœur et savoir imperturbablement.

La 36* leçon indique un moyen commode pour additionner deux nombres quelconques, supérieurs ou inférieurs d'une, de deux, de trois unités à un nombre rond de dizaines. On demande à un enfant combien font 17 et 23; il ne peut pas répondre. Mais qu'on lui dise: (( Combien font 20 et 20 »? Il répondra : « Quarante. » On lui fait alors remarquer que 21 et 19, c'est la même chose que 20 et 20, puisqu'il suffit, pour avoir 20 et 20, d'ôter 1 à 21 et de l'ajouter à 19; que 22 et 18, c'est encore 20 et 20; que 23 et il, c'est toujours 20 et 20. Il est tout étonné, quand on lui montre qu'il sait additionner de tête 47 et 53, par exemple. — On commence par doubler la dizaine la plus élevée, et l'on rectifie ensuite, s'il y a lieu. Ainsi 37 et 44, c'est 40 plus 40, plus 1, soit 81; 48 et 51, c'est 50 plus 50, mais moins i, ou 99.

La 37" leçon présente de nouveaux exercices de calcul mental. — 32 et 25, c'est d'abord 30 et 20 ou 50; c'est ensuite 2 et 5 ou 7 : soit, en somme, 50 plus 7, ou 57. On pourrait encore dire : 32 et 20 font 52; 52 et 5 font 57.

Mêmes exercices dans la 38« leçon auxquels viennent s'ajouter quelques soustractions qu'on effectue d'après des principes analo^-ues

La 39' leçon est consacrée à des multiplications qui se font égalemeut de tète, et toujours selon la méthode du

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calcul mental. — Soit 17 à multiplier par 5. On a d'abord 0 fois 10 ou 50 ; puis 5 fois 7 ou 35 ; enfin 50 plus 30, plus 5, ou 85. Il va de soi que ces opérations, faites d'abord de tôte, seront ensuite exécutées au tableau noir selon la méthode du calcul écrit : 5 fois 7 font 35; on pose 5 et l'on relienl 3 ; 5 fois 1 font 5, et 3 font 8. On pose 8. Soit, au produit, 85.

La dernière leçon a pour objet quelques divisions dont l'usaj^^e est très fréquent. On sy servira des expressions : la moitié, le tiers, le 12% le 25°, etc.

La méthode s'arrête là. Des élèves qui auront été rompus à exécuter de tête et par écrit, d'après la marche qui vient d'être exposée, toutes les opérations possibles dans lesquelles n'intervient aucun nombre supérieur à 100, seront parfaitement préparés à entrer dans le cours élémentaire et à y suivre un enseignement raisonné de l'arithmétique.