La langue des calculs, ch. IV

2. Dans d'autres régions philosophiques, lout le monde n'a pas non plus les mêmes idées que nous sur la nature des concepts math'-matiques : M. Stuart Mill entre autres. Pom'lui, ce ne sont que «des résultats d'induction » (Logique, t.l^r, p. 295). Son hut est de tout ramener à l'expérience; et dans son désir d'établir que <( les sciences déduclives ou démonstratives sont toutes, sans exception, des sciences inductives » (p. 289), voici ce qu'il nous dit des nombres : « Tous les nombres doivent être les nombres de quelque chose; il n'y a pas de nombres abstraits. Dix doit signifier dix corps, ou dix sons, ou dix battements de pouls » (p. 291). Il y a là, selon nous, une erreur absolue, et il nous semble très-facile d'en donner, en quelques mots, par la réduction à l'absurde, une preuve sans réplique. Dans les conceptions de l'Algébriste, c'est chose connue, tous les nombres sont de même nature, le nombre réel a n'étant qu'un cas particulier du nombre imaginaire a-|-bV—l, celui

sommes donc en droit de maintenir absolument notre précédente conclusion, à savoir que c'est le

où le coefficient b de \J — 1 est mil. Or,quel sens cela auraitil, nous le demandons à M. MiU, de faire suivre le nombre imaginaire 10-|-3 V — 1, par ex., des mots corps, ou sons, ou hattements de pouls 1 W esi clair qu'un tel rapprochement serait un parfait non-sens. M. Mill ne nous semble pas plus heureux dans son mode de concevoir les figures de la géométrie. D'après lui, cette science c a pour objet les hgnes, les angles et les figures tels qu'ils existent; » et « les définitions doivent être considérées comme nos premières et nos plus évidentes généralisations relatives à ces objets naturels » (p. 256, 257). Nous montrerons bientôt que la dé finition d'une figure géométrique est tout autre chose qu'une simple généralisation; pour le moment, bornonsnous à observer qu'il ne doit pas se rencontrer beaucoup de mathématiciens disposés à contresigner ce prétendu tableau des opérations de l'esprit dans l'étude des concepts de la géométrie: «Nous pensons toujours aux objets mêmes, tels que nous les avons vus et touchés, et avec toutes les propriétés qui leur appartiennent naturellement; mais pour ia convenance scientifique, nous les feignons dépouillés de toutes propriétés, excepté celles qui sont essentielles à notre recherche, et en vue desquelles nous voulons leâ considérer » (p. 257). Où donc préalablement à toute recherche géométrique, avons-nous vu et /oMc/ié une parabole ou une hyperbole à branches infinies? Où donc avons-nous vu et touché une quelconque de ces courbes ou de ces surfaces en nombre illimité qui n'ont de nom dans aucune langue, bien que servant d'exercice quotidien à nos élèves, et dont la définition consiste tout entière dans une équatioti

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mathématicien lui-même qui crée l'objet des mathématiques. De là résulte, au point de vue de la certitude de ses déductions, une conséquence déjà formulée, mais sur laquelle nous ne saurions trop insister, vu son extrême importance.

Etant le créateur des concepts mêmes qu'il étudie,le mathématicien connaît donc dans toute sa plénitude l'essence de chacun d'eux;etla définition qu'il en donne, n'étant que cette essence formulée dans son intégrité, se trouve être absolument adéquate à l'objet défmi. Aussi, dans la série de déductions que plus tard poursuit le géomètre, il peut faire et il fait à chaque instant ce qu'a si bien vu Pascal : il remplace mentalement le défini jmr sa définition (en y joignant les conséquences déjà obtenues), et par là sa pensée, mise constamment et sans équivoque possible en présence même de l'essence parfaitement connue de l'objet, peut toujours s'assurer pleinement si la propriété attribuée par l'hypothèse à l'objet lui convient ou non d'une manière absolue.

de degré supérieur au deuxième, entre deux ou trois variables ? Le lecteur comprendra sans peine que nous ne puissions ici entreprendre incidemment la rétutation complète de la théorie de M. Mill; les quelques réflexions précédentes nous semblent pour le moment suffire, d'autant plus que plus tard nous aurons Foccasion de revenir sur sgo doctrines pour les examiner plus à fond.

LA DÉDUGTIOxN EN MÉTAPHYSIQUE.

Telle est la véritable origine de la certitude en mathématiques : elle tient à ce fait capital que rhomme est l'auteur même de ce monde dont il poursuit l'analyse, que par suite il possède à fond l'essence même de chaque objet ainsi créé par sa pensée, et peut constamment confronter l'essence de l'objet avec la propriété que lui attribue l'hypothèse, jugeant par là dans des conditions parfaites de certitude, si l'attribut convient au sujet.

Dans de telles circonstances, il est clair que la méthode déductive, mise en pratique par un esprit sérieux, n'ofTre aucune prise à l'erreur, et devient irrésistible. Mais si l'on change cet état de choses oii elle s'exerce avec pleine sécurité, il est aussi parfaitement évident qu'alors toutes ses garanties peuvent s'évanouir, ne laissant subsister à leur place qu'une trompeuse apparence, un vain fan • tome de certitude.

C'est ce qui devra fatalement arriver toutes les

METHODïf SPfNÔSfSrÉ

fois qu'on voudra l'employer à l'édification d'une théorie de l'univers, car alors la condition fondamentale, nécessaire à son application, n'est pas remplie.

Pour assurer le succès, que vous faudrait-il, en effet? Il vous serait indispensable d'avoir une définition rigoureuse, absolue, de l'univers ou de chacun de ses éléments, comme vous en avez une du triangle ou du cercle ; pour être en mesure de formuler une telle définition, il vous faudrait donc connaître l'essence même de l'Univers ; or, comment pourriez-vous posséder une telle connaissance? Est-ce ici le cas des figures et des nombres ? Et le monde serait-il donc votre œuvre? Mais si, bien loin que l'Univers soit le produit de vos énergies intellectuelles, vous n'êtes vous-même qu'un des éléments infinitésimaux, qu'une des énigmes de cet immense ensemble dont vous cherchez à sonder le mystère, d'où pourra donc bien vous venir cette connaissance absolue de son essence, connaissance rigoureusement indispensable au but que vous poursuivez ?

Cette question fondamentale de la définition des choses naturelles, Spinosa se l'est nécessairement posée ; et l'on doit reconnaître qu'il en a fort bien compris la suprême importance; mais sagrande erreur, c'est de s'être cru de force à la résoudre: son

génie même devait fatalement s'y perdre, et cela par la raison bien simple que c'est un problème insoluble. Néanmoins, il est intéressant de le voir à l'œuvre, et d'apprendre de lui-même comment il a cru pouvoir atteindre au but. Suivons-le donc un moment dans l'examen de la solution qu'il nous offre ; cette étude est d'autant plus utile à faire que, reprise en entier dans un sens tout contraire par un philosophe contemporain, M. Stuart Mill, la question générale de la définition se trouve être encore une question du Jour.

Dans sa reforme de V entendement^ ouvrage inachevé, bien que commencé avant son Ethique, à laquelle il devait sans doute servir d'introduction, Spinosa pose une distinction capitale, rangeant avec une vue profonde les choses à définir en deux groupes nettement tranchés : ce les choses créées ; » et « les choses incréées. » Seulement, il ne faut point, se tromper sur le sens de ces expressions: notre philosophe, on le sait de reste, n'admet rien qui de près ou de loin ressemble à la création du monde, et pour lui l'Univers est chose incréée. Conséquemment, dans son langage, créé signifie simplement construit^ ce dernier mot étant pris dans le sens même que nous lui avons précédem-' ment donné : « les choses créées, » ce sont les choses construites par la pensée humaine ; il n'y

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a pas d'ailleurs de doute possible sur la signification de cette expression, car l'exemple de chose créée qu'il nous présente, c'est précisément le cercle, ce concept formé de toutes pièces par l'esprit de l'homme. Par suite, la seconde catégorie, celle des (( choses incréées », embrasse tous les objets placés en dehors de notre sphère d'activité créatrice, et comprend ainsi les essences de tous les êtres de la nature, essences <.< fixes et éternelles. »

Cette classification, nous le répétons, est d'une extrême importance. Seulement, il faut bien le dire, Spinosa n'en a réellement pas saisi la vraie raison ; il a cru qu'en présence de ces deux groupes de nature si différente, il n'avait qu'à chercher deux méthodes particulières pour parvenir à leur définition ; il n'a pas soupçonné que si la définition des objets de la première catégorie est chose relativement facile, il n'en est nullement de même de ceux de la seconde, leur définition étant toujours, comme nous le yerrons bientôt, d'une impossibilité complète.

Pour le premier groupe, comprenant tous les objets des sciences rationnelles, le fond de la pensée de Spinosa nous semble exact ; seulement les deux règles qu'il formule (1) n'ont pas, selon