EO OD
donc
OD + EO : OD — EO : : sin EO A + sin DOB : sin EOA— sin DOB
: : tang - t (EO A + DOB) : tang { (EO A-DOB) ;
donc enfin
tang: (EOA-DOB) = ( ( ^-=|^tang;(EOA +DOB) = j22^tang-;DOE.
Nommons la distance O D à droite , /' la dislance E O à gauche , y l'angle F O D , y" l'angle F O E , a l'angle DOE=/ — y' , et d la différence des angles EOA et DOB, nous aurons
On connoîtra par observation DO , r"=EO, a — (y"— y); alors on auraEOA = ia + {det DOB = ia-irf, et j, = FOC = FOD + ^-^ = ^Cy'+y')-irf.
A présent , C A = CE cos C = CD cos C = CB j donc OC=HOB + OA) = j{ODcosDOB + OEcosEOA);
onr = ^ (r'cos DOB + S cos EOA) (a)
r = i(r'cos (> — r"cosH« + d))
= ± (r'coSîacoSïrf+r'sinïasin^+r'cosTacoSïrf— r"sinxasinirf) — 1 ( r ' + /') cos I a cos f + t (✓— r") sin ± a sin { d = i (r'+ r'>osia--M(/ + r'')sin^rf+Kr'-r')siniasin^ = i (r' + r") cos i a - ^ (r' + O sin' ±d+ i (r'-r") sin { a sin ±d.
D'U N ARC DU MÉRIDIEN. a;
Il est évident qu'il n'y a dans les formules (i) et (a) rien qui dépende de la ligure de la poutre. Ainsi elle pourroit être quarrée , rectangulaire , hexagone , octogone ; mais il faut toujours que la figure soit régulière , afin que D E , ligne qui joint les deux rayons visuels tangens O D , O E , passe toujours par le centre , que je suppose toujours placé sur le milieu de DE.
Si elle étoit circulaire , on auroit
r'= r" , d = o , etr=r'sec> = r" sec \ a.
Il peut arriver quelquefois qu'on ne puisse voir à la fois les FIG. 6. deux angles opposés , mais seulement les deux extrémités de la même ligne E D. Dans ce cas ,
/OD-OEn tangKDEO -ED O) = (ô^tôë) cet i D O E,
ou
tan g ^ = (^^l)cotia.
On connoîtra donc
OED = 90° — ia + iÉ?=go« — (£a — £<*) = »" EDO = go' — fa — irf= 9 o°— \\a + \d) =u'.
Nommons b l'angle CDE = CED,
ODC=ODE + 6 =90'— (io+i</) + «=«' + b OEC = OED + A = go° — — + b = u" + b O D + DC.OD — DC:: cot £ O D C : tang î (O C D — DOC) OD— DC . r' — m , , , . , v - >
= OdTdc co ' * 0DC = cot *) = taBg ; t.
De même
tangKOCE-EOC) = Ô£ + CE cot £OEC = cot * ( w " + *)=langK'.
Enfin
O DsinCD O EOsinCEO /amÇu'+ b) r*si n (u" + b)
~ sinOCÏT"~ sinECOT~" r— sin p' sin p" • *
Si la poutre est quarrée ,
6=M5*, ECD = go°, DCO = go' — ECO.
Autre Solution.
DOsinEOD r'sina
ED : sinEOD :: DO : sinDEO
:: OE: sinODE =
ED c OE sinEOD r' sina
ED
t a D gi (DCO-DOC)=(^£5) cot i (ODE+CDE)
= (ttI) cot ^ ODE + CDE > = (^) cot *' /+ b)
lan 6 ;CECO-EOC) = cotKOED+DEC)
=(^ cot ^ OED+DEC 5=(^D coi:(M '' + ^
• -r^^^ * n . OD sinCDO
smDCO : OD : : sinCDO : OC = — .
sin DCO
r' sin (O DE - H DEC) r' fin («'+*)
~~ sin DCO ~ sin DCO — p'
•in ECO : EO : : sin COE: OC s= E P $] " ^ E ^ -
sin ECO
r*sin(OED + DEC) r' sin (//+ £)
sin ECO ~~ sinECO=/>*'
Troisième Solution.
FIG. 6. CD:sinCOD::CO:sinCDO;sinCOE:CE::sinCEO:COi mais CD = CE et CO = CO: donc
sin COE: sin C O D : : sin C E O : sin C D O j donc sinCOD + sinCOE: sinCOD — sinC OE
:: sinCDO + sin CE O : sin C D O — sin C E O 5 donc tang i (CO D + C O E) : tang j(COD — COE)
:: tangï(CDO + CEO) : tang 7 (CD O — CEO) , COD + COE = a, CDO + C E O = 36o° — O — C = (56o* — C — o ).
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. ug (J'appelle C l'angle an centre ) ; donc
tangua: tang £ (COD — COE) :: tang(i8o°
:tangi(CDO — CEO)j
donc
tangi(COD— COE) = — tang^ a cot{ (C + a) tang^ (CDO— CEO) = — tangj a col± (C + a) lang'- (EDO— DEO) = + tangf a cotf (C + a) tangi (DEO— ODE).
Or le triangle ODE donne
OD: OE :: sinDEO:sin ODE OD + OE: OD — OE : : sin DEO + sin ODE : sin DEO — sin ODE
:: tangf (DEO+ODE):tangKDEO— ODE)j
donc
tangi(DEO-ODE) = tang i (DEO+ODE)
== ^ZZ r tang( 9 o--» ....(I)
donc
tangKCOD— COE) = y-j— - tang (go'— \ a) tangl a cot ^C + a)
te -^£coti(C +a ) (II).
La formule ( I ) donnera les trois angles du triangle EDO, La formule (II) donnera les angles COD et COE j alors
y=y' + COD = /' — COE=/ + P '=y> — p "
O D sin ODC OD sin ( O DE + E DC) 0L ~ sinOCD ~~ sin(ODC + DÔC)
OD sin (O.DE + b) 4=5 sin (ODE + *+/>')
/sin («' + 6) r'Uin (*/' +&)
OC r "" sin(«'+*+/>') ~ sin(u"+* + /j ) J
5o DE LA DÉTERMINATION
et si Ton fait-^- = tang x (i)
on aura tang jd~ tang (x — 45' ) tang ( 90 0 — j a) (3)
w' = 90°-to +îd. (3)
**=cjo*-*a-i* (4)
tang i cf = + tang (* — 45°) cot f (C + a) (5)
C O D = p' = i a — i if (6)
COE=/= - x a + Î<T (7)
r' sin (u' + b) ? sin (u" + b) T ~ sin ( «' +T ~ s~Û7(i/'+ 6 + />")' " ( '
Si la poutre est quarrée , C = 90° et b = 45'.
tang j <f = tang ( * — 45° ) cot (45" + ± a ) ( V>
' r'«n(«' + 45') r%in (//' + 45»)
sin ( u' + 4ô a + p' ) ~~ «in ( «"> 4^ + p" ) 1 ; *
Cette formule n'emploie pas les côtés de la ponlre quarrée.
Si le rectangle H G D E étoit l'intérieur d'un clocher, ou d'un belvédère, ou d'une chambre quelconque dont rien ne marquât la centre , ou dont le centre fût embarrassé , et qu'on eût observé d'un point O dans le rectangle HGD E; en sorte que / et r" fussent les distances de l'observateur aux angles D et E,y et y les angles entre l'objet à gauche et les mêmes points D et E j les mêmes formules serviraient encore en faisant attention aux signes. Toute la différence est que l'angle a serait plus grand que 180 0 au lieu d'être moindre; mais, dans ce cas, on peut employer des méthodes plus simples. On en verra des exemples ci-après.
Si l'on suppose C = iSV dans les formules ci-dessus, il est visible que b = o j car b = 90* — ^ C : alors les formules serviraient pour le cas où la ligne E D passerait par le centre. Mais j'ai donné pour ce cas une solution particulière qui est plus simple. Voyez ci-dessus, page 5.
FIG. fa L'instrument étoit quelquefois placé de manière qu'il étoit impossible d'observer z' et z". Supposons , par exemple , qu'où
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. 5i n'ait pu observer que x". Pour suppléer à z\ on mesuroit le côté de la poutre.
Dans le triangle ODE on connoît les trois côtés. Ainsi on peut FIG. G. calculer l'angle DOE, que nous appelons ordinairement a. Soit donc ÔD = r', OE = r", DE^c,
«nia- ,
connaissant a , on aura s' = z" — a , et l'on calculera r et y par la méthode ordinaire. On peut encore faire le calcul de la manière suivante
D7OED = sin v= 1/ 3 JK 2 J .
en faisant q = 90 0 — £ «" ,
tangGED> ££=il 0 DE c
GED = 45° lorsque la poutre est quarrée. Dans ce même
cas , on a
EC=m=4EDsec/ED =
' 2 cos (
cos GED 2 cos 45°
" 2 r" cos 45" 2 r" sin 45°
Soit tang x = — =
tang f d = tang — 45 e ) tang ( 9 o'~ | i = tang(*— 45°) tang (y— i ô) = tang (x— 45°) tang (y— 22^) ECO = n" = S r-^ + irf, EOC=/ = y-.ii-i rff ^=y-.p« . r"sinÇp"+» ")
sin n"
Les mêmes formules serviroient pour le cas où l'on n'auroit mesuré que js'j alors il suffiroit de changer r", p" 7 n" f z" et y" en r', p' , n', et y, et l'on aurait .y =y + j>\
Voyons maintenant ce qu'on peut faire lorsque le centre de la station est invisible , ou qu'il est impossible d'en approcher.
A Cassel , par exemple , on observoit dans une gouttière ou
3a DE LA DÉTERMINATION galerie extérieure à la pyramide quadrangulaire qui termine la FIG. ïo: tou *- Soit AB K D (Jîg. 10) la base de la pyramide. Le point C, intersection des diagonales, est le centre auquel il falloit réduire les angles observés dans la gouttière. J'avois placé le cercle dans une ligne verticale , dont le pied étoit en D. Au moyen d'un fil àplomb, dont la pointe tomboit en A, j'ovois mesuré l'angle entre le côté D A et la ligne D E , direction à la tour de Watten. Je
A n AB
connoissois l'angle ADC = ADB par la formule tang ADB = -— =r- .
Je connoissois donc EDCj et par conséquent .y = (36o°— JÊDC).
Il reste à déterminer r ou la distance au centre. Or T
jDA DA r -DC- cosADC*" a cos ADB*
Celte position à l'un des angles étoit la plus favorable à la simplicité des calculs } mais , pour faciliter l'observation , on a été obligé, dans un cas particulier , de repousser l'instrument en d. Avec D d , DC , et l'angle compris , il étoit aisé de calculer Cd et l'angle AdC- t on pouvoit aussi déterminer, si on le jugeoit à propos , la petite différence opérée dans l'angle A D E' J* par ce déplacement. Voici pour cela une formule générale qui peut servir à calculer le plus petit des deux angles inconnus dans un triangle ABC dont on connoît les côtés A B , A C , avec l'angle compris. Je suppose A C > A B
+ ■ (4§) 4 8in 4 A + &c '
J'ai donné ce théorème sans démonstration dans la Connoissance des Temps de 179,3, page 347. On la trouvera à la fin de ce Mémoire. C est ici exprimé en parties du rayon j pour l'avoir en secondes, il faut en multiplier la valeur par l'arc égal au rayon , ou, ce qui revient au même , la diviser par le sinus de 1". FIG. 10. A Rieupeiroux, dans une circonstance semblable à quelques égards , j'ai pris un parti beaucoup plus simple. Ayant élevé la perpendiculaire P O sur le milieu de D K , je plaçai l'instrument
en
en O. La distance au centre C éloit = P O + ^ AD j et pour mesurer l'angle de direction y , je visois en P qui se trou voit dans l'alignement de O C. é
A Dunkerque , j'ayois à réduire au point E un angle pris FIG. 10. en O. E étoit le support de la girouette qui est au-dessus de la porte de la cabane du guetteur. Le triangle rectangle PKE, dans lequel j'avois mesuré PK et KE, me donnoit PE et l'angle EPK. Dans le triangle OPE, je connoissois OP, PE et OPE = 90 0 + EPK; je pouvois calculer OE et POE. O E est la distance au centre j et au moyen dc^O^E, je pouvois réduire au point E les angles de direction observés par rapport au point P.
Dans la réalité , le point E étoit sur le côté AD j mais , pour ne point embrouiller la figure, je l'ai supposé sur BK; ce qui n'est ici d'aucune conséquence , puisqu'il ne s'agit que de donner une idée des méthodes.
Dans la flèche d' Amiens , j'étois placé comme en d; mais AD étoit le côté d'un octogone inscrit au cercle ; et c'étoit au centre de ce cercle qu'il falloit réduire les angles, A cela près, le calcul étoit le même qu'à Cassel.
A Vignacourt , Vouzon et Chaumont , j'observois dans l'intérieur de clochers embarrassés de charpente. Après avoir mesuré les dimensions intérieures du périmètre AB K D , j'abaissois des perpendiculaires sur deux faces voisines, telles que AD elDK, et l'on conçoit facilement de quelle manière je pouvois déterminer ma position par rapport au centre , c'est-â dire la distance r à ce centre , et l'angle y qu'elle faisoît , avec les signaux que j'avois à observer. Dans ces cas , à la vérité , il étoit assez difficile de répondre du centre à deux pouces près ; mais il doit arriver bien rarement que celte erreur , déjà si légère , se porte en entier sur la longueur de notre méridienne.
Quand nous observions Cassel des signaux voisins , nous avions à nous garantir d'une petite erreur qui faisoit que le point observé n'étoit pas exactement dans l'axe de la tour. On ne yoyoit pas toujours la pointe de la pyramide qui la termine j
alors nous étions réduits à observer la tour elle-même en la plaçant entre les fils inclinés à 45° de notre réticule , ainsi qu'on FIC. o: ]e voit dans la fig. g. La pointe de la pyramide étant bien an milieu de la tour, il ne seroit résulté aucune erreur de cette manière d'observer , si les quatre murs qui font le périmètre de
la tour eussent été d'égale hauteur; mais l'un des quatre a o,S4 d'élévation de plus que les trois autres. Soit FI le mur plus élevé , G H l'un des trois autres murs. L'observation donnoit l'angle par rapport à la ligne Cam y mais l'axe de la tour est dans P b n parallèle à C a m. L'erreur est donc proportionnelle à la ligne a b. Or
o4=U — Ia=jIK— ^Id = HIK — Irf) = ic/K = ^HK J car HrfK = rfHK= 45".
L'erreur étoit donc de -^-A — -, D étant la distance à Cassel:
D sin 1"
et la correction étoit additive toutes les fois que le mur le plus élevé étoit en même temps le plus voisin de l'objet qu'on observoit avec Cassel ; elle étoit soustractive dans le cas contraire. Elle étoit d'environ 1"
Réduction au centre du signal observé.
FIG. 7. Quand les signaux sont éclairés obliquement , ils ont besoin
d'une correction , parce que le point observé n'est pas dans
l'axe du signal. Soit, par exemple, le signal a bvd. Si l'on n'a
pu voir que la face éclairée a b , on a observé le point A au lieu
du point M , centre du signal , et l'angle observé a besoin d'une
correction égale à l'angle A O M.
^ . A M sin A M O . R A M sin AMO
Or anAOM= tfï etAOM= - ■ . r . . — — .
AO AOsini'
Si l'on n'avoit vu que la face bc , la correction seroit __ M MB si n B M O B O M = "r7^ — — ,
et elle seroit de signe contraire à la première.
Pour être en état de calculer cette correction quand elle se trouveroit nécessaire , j'ai toujours mesuré le côté du quarré
abc cl et l'angle oMO d'une des diagonales Ma du signal avec la direction M O à l'un des signaux environnans.
Si le signal est une tour ronde , la correction est un peu plus FIG. 8. longue à calculer. En voici la méthode.
Un observateur placé en O, à une distance considérable de la tour A DBS, ne peut voir cette tour qae quand elle est éclairée du soleil , et alors même il n'en voit que la partie éclairée j et s'il prend le milieu de la partie éclairée pour le centre de la tour , il se trompe d'une quantité qu'il s'agit de déterminer.
Soit CS la direction du soleil au temps de l'observation; M S sera l'azimuth du soleil compté depuis midi. Je fais M S = z ; le demi-cercle ASB sera éclairé du soleil. Soit maintenant OC le rayon visuel de l'observateur. Je fais MCO = MQ = arj je mène D E perpendiculaire à O C.
Le demi-cercle D AQE est celui qui se présente à l'observateur ; mais, comme la partie AD n'est pas éclairée du soleil , l'observateur ne verra que la partie A Q S ME. J'abaisse A F sur DE; E F sera la projection orthographique de l'arc visible , et cet arc paroîtra par conséquent comme la droite FE. Celte ligne est plus petite que le diamètre de la quantité
DF=CD.3sin^AD=2CDsiu i KQS)=2CDsin^(MQ-MS)=aCDsin , K*--s).
L'erreur de l'observation sera donc CD sin* f (x — z). Pour exprimer cette erreur en secondés, on la divisera par OC sin i". Ainsi , faisant O Ç = D , CD = r, on aura pour la correction
cherchée — ' * 5 — 7, — D sin 1
Si le soleil et l'objet auquel on compare la tour sont du même côté , la correction est additive j s'ils sont de difTérens côtés , la correction sera négative.
Si x > z , le soleil sera à droite de l'observateur.
11 ne reste plus qu'à chercher x et z.
Soient M et P les distances de la tour C au méridien et à la FIG. 1 1. perpendiculaire de l'observatoire , M' et P' les distances de l'ob-
«ervateur O , vous aurez tang x — ^ .
Pour trouver z , il faut connoitre la latitude du lieu et la déclinai-
36 DE LA DÉTERMINATION FIG. 1 1 . son du soleil à l'heure de l'observation. Alors , dans le triangle P2S, on connoîtra P, PZetPS, et l'on cherchera tang PZS ou
tang SZM = - tang PZS. Ainsi cot x = cot P sin L - l il g - D ^--.
sin P
Réduction à l'Horizon.
Quand on a observé les trois angles d'un triangle dont le plan est incliné , il faut réduire ces angles à l'horizon. On a , par ce moyen , les angles d'un triangle sphérique céleste qui joindrait les zéniths des trois points , ou d'un triangle sphérique terrestre qui joindront les pieds des trois signaux. La somme de ces trois angles doit par conséquent excéder i8o° d'une quantité que l'on trouve aisément par le théorème de WalHs , sur l'aire du triangle sphérique , et dont on verra ci -après une expression exacte. Cet excès est ordinairement peu de chose j mais lorsqu'il est un peu considérable , et qu'on aspire à beaucoup de précision , on ne sait comment le répartir entre les trois angles, pour être en état de résoudre le triangle rectiligne formé par les cordes des trois côtés du triangle sphérique.
On n'a donné jusqu'ici , pour ces doubles rédactions , que des formules très-pénibles , si l'on considère la petitesse des corrections cherchées. Je vais donner le moyen de les trouver plus facilement et plus exactement.
L'angle observé entre deux signaux n'est un angle sphérique que dans le cas où chacun des deux signaux est exactement éloigné de 90" du zénith de l'observateur.
Si les distances au zénith ne sont pas toutes deux de 90° , on imagine un triangle sphérique formé par les deux distances au zénith , et par l'arc qui a pour mesure l'angle observé. Alors, si l'on nomme A l'angle observé , a l'angle réduit à l'horizon , H et /* les hauteurs des deux signaux sur l'horizon de l'observateur, on a
cos A = cos a cos H cos h + sin H sin h (1)
cos A — sin II sin h
ou cos a ss — (2)
cos H cos h
et ./^A + H-^A-H+j)
v cos H cos h
D'U N ARC DU MÉRIDIEN. 3 7 Ces deux dernières formules donnent directement l'anglo réduit, qui est toujours considérable. On est obligé de les calculer avec une précision fatigante ; il vaut donc mieux chercher la réduction , qui est toujours fort petite.
Soit A + x z= a , nous aurons cos A = cos A cosx cosH cos h — sin A sin x cosH cos // + sin H sin//, ou
sin A sin x cos H cos h — cos A cos x cos H cos h = sin II sin /* — cos A j d'où
sin H sin h — cos A
sin x — cot A cos x =
sin.r-cotA+2sin i j#cotA= -7
sin A cos II cos h sin H sin h cot A
sin A cos H cos h cos H cos h
... » (cosHcos/* — Ocot A + sin H sin AcosecA
sin x + 1 sin* T x cot A = - — -z
cos H cos h
cosecAsin'4(H + /i)— cosecAsin^H— //)— cotAsin' ;(H+/i)~ •cotAs'm'f (H— //)
cos H cos h
tang T A sin* T (H + h) — cot T A sin* T (H — h)
cos H cos h
Soit pour abréger
n = tang ' z A sin* i (H + h) — cot ; A sin' { (H — A) , nous aurons
sin x + 1 sin' \ x cot A = n sec H sec h a sin 7 x cos 7 x = n sec H sec h — 2 sin* - x cot A $ d'où élevant au quarré
4 sin' i x ( 1 — sin' = sec' H sec' h
+ 4 sin 1 ï x cot* A — 4 sin* ~ x cot A . n . sec H sec h î
4 sin* - x — 4 sin 1 7 x — 4 sin 4 7 x cot' A
+ 4 sin* ^ x cot A . n . sec H sec h = /»* sec» II sec* /*
. ., /1 + n cot A sec H sec h \ . n % sec* H sec' /*
sin* — r ) sin* x — — —
\ cosec' A / 4cosec*A
sin^ x— sin'A(i +ncot AsccII sec//) sin 1 \x — —\n % sin* A sec* H sec' /' ,
38 DE LA DÉTERMINATION et pour abréger , sin 4 { x — p sin" { x — — i q %
«a* ï * — P 8»n â î* + îpp = \pp — ± qg- 9
dou
6 in« i x = {p^p |/, - 11- ={p^p(t - ?£f S in»i* = ^±ï/;(i-^-.M^-f^.i| ; -&c.)
et 2smj* = - i -r + — . = corde. rj mais
- corde x + ^(corde*)' = + ^ +
Pz Pi P *
= + ïi>)
n sin A sec H sec A t j rC sin' A sec 3 H sec 1 A
sin
«nA(i+recotAsecHsec/<) r sin s A (i +/icot AsecHsecA)'
^/i 3 sin\Asec : 'Hsec 3 A.sin'A(i + ncoiAsecHsecA)
sin 5 A ( î + n cot A sec H 6ec A )'
n sec H sec A { ri 1 sec' H sec 3 A tj/j 3 sec* II sec' A
(î + wcotAsecIIsec/r) 1 sin*A(i + ncotAsecHsecA) 1 (i + ncot AsecHsecA)»
5= n sec H sec A (i— 7 n cot A sec H sec A -f j. £ /l'cot'Asec' H sec» A — î«w &c.)
+ £n 3 sec 1 H8ec 3 Acosec*A(i — |/icotAsecHsecA) + ; ij/j s sec 3 Hsec 3 A(i — 7/icotAsecHsecA)
= n sec H sec A — '- n* cot A sec 1 H sec' A + { . f n s cot* A sec 3 H sec* A — &c.
+ jn 3 sec 3 Hsec 5 A(i +cot\A)(i — 5/zcotAsecHsecA)+7j/» 3 sec 3 Hsec 3 A(i^ , r /îcotAsecHsecA)
^ n sec H sec A — £ /l'cotAsec'Hsec* A + j /z'cot'Asec'Hsec 3 A
+ ^ ^cofAsec H sec 3 A + i n'sec'H sec'A
+^« 3 sec*Hsec*A
-en négligeant n*.
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. 3o,
* = n sec H sec A — £ n % sec'Hsec" Acot A + 7 w 3 sec' H sec 1 A cot* A
+ jn 3 sec 3 H sec 3 A = n sec H sec A — £ (/» sec H sec A) 'cot A + £ (n sec H sec A) ' co t'A
+ £(tz secHsecA)
= n sec H sec A - 1 (» sec H sec A)' ^ + K*secHsec A)'(î±^),
Le plus souvent on peut s'en tenir au premier terme , et toujours il suffit du second. En tout cas , on voit combien il est facile de réunir les deux derniers termes en une table à double entrée.
En supprimant les deux derniers termes , et supposant sec H sec A = i , et mettant enfin dans la valeur de n les arcs au lieu des sinus , on auroit la formule du cit. Legendre. Cette approximation est en effet presque toujours suffisante ; cependant il se trouve quelques cas où le facteur sec H sec A diffère sensiblement de l'unité : alors la formule du cit. Legendre ne peut plus servir. Ainsi dans un cas , extraordinaire à la vérité , mais arrivé au cit. Prony , l'erreur alloit à ia".
La quantité n se calcule au moyen de deux tables d'un usage commode. La première donne pour chaque valeur de (H + A) et de (H — A), de minute en minute, la quantité 10000 sin*7(H±A). La seconde donne pour chaque valeur de A , de 10 minutes en 10 minutes, les quantités o",ooor tang { A et o",oooi cot 7 A* La table III e donne le facteur sec H sec A. La table IV donne la somme des deux termes suivans. Les argumens en sont («sec H sec A) et A.
On aura donc ainsi , avec autant de facilité que d'exactitude , les trois angles du triangle sphérique qui passe par le pied ou 1© zénith des trois signaux observés ; mais ces angles ne sont pas encore ceux dont on doit se servir. A moins qu'on ne veuille résoudre le triangle sphérique , et considérer les côtés comme autant d'arcs de grands cercles terrestres , ainsi que l'a pratiqué Boscowich, liv. IV, art. 274. Mais si l'on réduit les distances rectilignes des objets à des cordes d'une même sphère , à l'exemple deBouguer , Figure de la Terre y p. 127 et 128 , il faut
4o DE LA DÉTERMINATION
encore réduire les angles sphériques à ceux qui sont formés par les cordes des dislances , considérées comme arcs de grands cercles. Quand j'ai trouvé ces formules, je n'avois pas encore lu les méthodes que le cit. Legendre a publiées dans les Mémoires de l'Académie des Sciences pour 1787.
Nous avons donc à résoudre ce problême : connoissant les angles d'un triangle sphérique , trouver les angles d'un triangle rectiligne formé par les trois cordes. Ce problême est l'inverse du précédent ; car il est évident que si l'on considère deux points de la surface d'une sphère , l'un se trouve au-dessous de l'horizon de l'autre d'un angle qui a pour mesure la moitié de l'arc du grand cercle , mené de l'un à l'autre point. Car on sait que l'angle formé par la corde et par la tangente a pour mesure la moilié de l'arc.
Nommons a II l'arc de grand cercle mené du premier signal au second, 2 h l'arc de grand. cercle mené du premier signal au troisième , a l'angle sphérique formé par les arcs 2 H et a h , A l'angle des cordes. Nous aurons la relation des arcs A et a par la formule (1)
cos A = cos a cos H cos h + sin H sin h.
Soit A = ( a -f y ) , on aura cos a cos y «— sin a sin y = cos a cos H cos h + sin II sin h
— sin a siny + cos a ( 1 — 2 sin* \y) = cos a cos H cos h + si n H si n A siny — cot a + a sin'j^cot a = — ? cot a cosH cos A — cosec a sinHsin h &my+ a sin* j y cola = cot a(i cos H cos h) — cosec a sinH&în h
asin^cos^y + a siu'î^cot a = cot a [sin* \ ( H+ h ) + sin* ; (II— /<)]
—coseca[sin';(H+A)-si 11^(11-//)]
— — (cosec a — r cot a) sin' \ ( H + h ) -f (cosec a + cot a) sin* - (H — h)
— iang ; a sin» 7 ( II + //) + cot a &hi* — h) — m.
a sin
D'il N ARC DU MÉRIDIEN: 4<
a sin \y y/ 1 __ s i n *iy = m — a sin'^ cot a 4sin*7jK — 4 sin 4 7 y — m* — 4*/n sin* \y cot a + 4 sin 4 \y col' a 4sin*^y 4- 4 sin 4 ^ y cot* 0 — 4 sin* Tt y (1 — m cot a) = — ra' 4sin 4 ^ (i+cot*o) — 4 (i + mcota)sin*7y = — m*
sin 4 ^ — ( 1 + m cot a) sin* a sin* 7 .y = — 7 >»* sin' a
sin 4 ^ — /> sin* { y = — t y *
sin 4 ^— P8in*^ + ip*=ip*— ,?*
— * ' ^ J • > « ^ J • « • J ^ l Arm
— T'T-~ T T- Ï'T ^5 1 T'7* 4 *I ^5 T otc *
m»in a jm a sin'q(i + T +ymcoto)
sin a (1 + m cot a)' sin* a m cot a)*
*» >'(y+ymcoto) = . — 7 + i
(i + mcoto)* sin*a(i + racota)* y = m(i — cot a + 7.7*1»* cot* a — &c.) +;
,y = m — 7 /»* cot a + } m' cot" a
+ £ m s cosec* a = m — T m* cot a + { i» s cot* a + \ m 9 + £m s cot* a =s m — i m* cot a + 77 "»* cot* a + £ ro*.
La différence entre les angles à l'horizon et les angles formés par les cordes étant toujours fort petite , on pourra sans erreur sensible faire
y = m — — sin* k (H + h) tang k a + sin'i (H— A) cot fa.
Cette valeur de^ étant de même forme que celle de * cidessus, on les prendra toutes deux dans les mêmes tables , en observant de prendre pour argument l'angle observé lorsqu'on voudra avoir x , et l'angle réduit à l'horizon lorsqu'on calculera^; mais la différence est assez petite pour être négligée ordinairement dans la pratique. On fera de plus attention que pour y , il faut changer les signes des tables.
Boscowich , liv. 2 , art. s3 de sa Mesure du Degré , dit que , pour trouver une base par l'autre , on n'a besoin que des angles observes , sans autre correction que celle qui réduit l'angle au centre de la station. Cela seroit vrai si dans chaque station le point de centre et le point de mire éloient le même. Mais comme le point de mire est ordinairement plus élevé que le point de centre , il s'ensuit que les trois angles observés sont dans des plans différens , et que leur somme différera le plus souvent de 180 0 . D'ailleurs la réfraction terrestre sufliroit seule pour produire cet effet. Il est donc indispensable de réduire à l'horizon tous les angles observés , en employant dans le calcul les hauteurs apparentes des signaux.
Nommons /H et <TA les différences de hauteur entre les centres des stations et les sommets des signaux > la différence entre les angles observés et les angles réduits au plan qui passe par les sommets des trois signaux , a pour expression la quantité suivante
~ ( <T H + A ) sin(H — j H + h — 7 / A ) tang i A i(/H — /A)«n[H — i/H— (A — £f A)]cot£À.
Cette formule pourra servir à évaluer aussi l'effet de la réfraction terrestre sur l'angle observé , en mettant pour / H et / A la valeur de la réfraction terrestre. Cette formule se déduit facilement des deux précédentes.
Diqitized t?y GooqIc
Différence entre le côté d'an triangle et la somme des
deux autres côtés.
II est souvent impossible de mesurer directement la distance rectiligoe entre les deux extrémités d'une base : on est réduit à mesurer deux lignes droites qui font entr'clles un angle trèsapprochant de i8o°. C'est ce qui est arrivé à la mesure des bases de Melun et Perpignan. La même chose avoit eu lieu en 17*0 , à la base mesurée sur le bord de la mer , près l'étang de Leucate. Il faut donc chercher la différence entre la base brisée et la base véritable.
Soient b et c les deux lignes inclinées dont on veut connoître l'excès sur la droite d qui joint leurs extrémités , et A l'angle formé par les lignes b et c , on a
</'= b*+ c* — 1 b c cos A , eu supposant aigu l'angle A , = — .2 bc—zb ccos A= (6 + c)* — a b c (1 + cos A) = (b+c) % — ibc cos* 7 A
. / Abc cos* ; As
donc
rf = (*+c)(. - iiiLoo.-*A) f = <*+') Ci-*)*
= (6 + c )( l - i x i.X-î-M^-î-ï-l-ï^-&c-) = (6+c)-(A + c)a* + ^i*- + ^.J* ï +i.i.î4«*+&c.) donc
(Hc)- ( /=(Hc)(lx+i.y+M.{ Jf J +M.l^&c.).
On fera donc x = - -7^— — — , et 1 on aura par un calcul
fort simple les différens termes de la série qui exprime l'excè* de la somme des deux côtés sur le troisième.
Si l'angle A approche fort de 180 0 , la série sera fort convergente , et il suffira d'un petit nombre de termes. J'ai reconnu
que, pour nos deux bases , on peut se contenter des deux premiers , et que le second est même presque insensible. Si l'on s'arrêtoit au premier , l'on anroit
fL . \ i aéccos'^A
La route de Lieusaint à Melun est si large, qu'on a pu , sana gêner la voie publique , établir des massifs de maçonnerie aux deux termes de la base , et y placer d'énormes signaux qui y sont restés plus d'un an. Il n'en étoit pas de même pour la base de Perpignan. La route est beaucoup plus étroite ; on ne pouvoit ôter à la voie publique l'espace nécessaire aux massifs destinés à conserver les deux termes. On vouloit cependant que ces termes fussent à l'abri de toute insulte et de toute dégradation , pour qu'on pût recommencer la mesure si on venoit à le trouver utile. Dans cette vue , on a placé les deux termes à côté de la roule , et par-delà le fossé qui la borde à l'est. Par-là , il devenoit impossible de conduire la mesure de la base directement aux deux termes , parce que la ligne menée de l'un à l'autre passoit dans les terres cultivées , dans le fossé et dans la rivière de l'Agly. On a mesuré sur la route même une ligne brisée qui passoit à quelque distance des deux termes. Il en résulte qu'il faut appliquer plusieurs corrections à la ligne mesurée , pour connoitre la distance rectiligne des deux termes , qui est la véritable base. Je vais exposer les moyens dont je me suis servi , soit dans l'observation , soit dans les calculs. J'ai choisi ceux qui m'ont paru les plus simples et les plus sûrs.
FIG. 17. Soient (Jig. 17.) S et V les signaux de Salces et de Vernet, c'est-à-dire les deux térmes de la base véritable. On a mesuré eur la route la.ligne brisée A C B , qui forme en C un angle peu différent de 180°. Voici comme j'ai déterminé les points A et B.
J'ai placé la première des règles qui ont servi à sa mesure , en n m , sur la direction n C , de manière que la distance S n fût égale à la distance S m; ce dont je me suis assuré à plusieurs reprises avec un cordeau fixé en S, et amené successivement en n et en m. Il n'y a pas un millimètre d'incertitude sur l'éga-
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. 45 lité de ces deux lignes. Cela fait , j'ai imaginé la perpendiculaire S A dans le triangle isocèle n S m. Ainsi , pour rapporter au point A la mesure de la ligne nC , commencée en n , il suffisoit de retrancher de nC la quantité »A, c'est-à-dire la moitié de la règle n m. J'ai de plus pour connoître S A mesuré avec soin le cordeau S n. Mais quand il se seroit glissé une petite erreur dans cette mesure , elle n'affecteroit que S A , et il n'en résulteroit aucune erreur sensible sur la longueur de la véritable base S V. On voit que
SA= y/~S~n—nT — y/{Sn + nk) (Sn- nk).
Vers l'autre terme , c'eût été un grand hasard si la dernière règle avoit été posée sur le terrein , de manière à former avec les deux distances au signal V un triangle isocèle. La perpendiculaire VB, au lieude tomber sur le milieu de la règle, tomboit vers l'extrémité. Pour me procurer un triangle isocèle , j'ai placé une règle de plus sur le prolongement de CB. Cette règle étoit trop longue. Le cordeau V p , amené vers l'extrémité de cette règle , y marquoit un point q , distant de quelques centimètres du point extrême u. J'ai mesuré uq avec une petite règle exactement divisée j j'ai mesuré de même le cordeau V p = V q , et j'ai pu calculer p q — a règles — q u. J'avois aussi
V B = = ViVp+iq) (Vp-{q)i
et pour rapporter au point B la mesure terminée en «, il suffisoit de retrancher de C u la quantité uq + \pq.
uq n'étoit que de quelques centimètres j on pou voit le déterminer avec précision : on avoit donc exactement p q. Quant à V p , une petite erreur n'étoit d'aucune conséquence ; mais il n'y a pas un millimètre de différence entre Y p et V q.
On connoît donc maintenant les lignes droites AC et CB. Par la série ci-dessus, il est facile de déterminer AB. Voyons comment on peut en conclure la base S V.
Sur les prolongemens de AB (fig. 18. ) j'abaisse les perpen-FIG. diculaires S a , V b. Dans le triangle A CB , je calcule les angles
A et B. Les angles CAS et C B V sont droits tous les deux.
Ainsi
SAa = Qo'— CAB et V B b = go'— CBA, Sa — S AsinS Aa, VA = VBsinVB*, Aa=SAcosSAa, B b = VBcosVB b.
On connoit donc la droite a b ; elle seroit égale à la base véritable , si les perpendiculaires S a et V 6 é (.oient de même longueur. Je prends sur la plus grande a a' — bV , et je mène V af égale et parallèle à a b. Il s'agit de trouver l'excès de V S sur V a'. Si nous prenons V a' pour rayon , VS sera la sécante de S V a'. Ainsi
VS-Va'=Va'tangSVa'tang}SVa'=V 0 '.^^.^=i.^
sans erreur sensible.
Il ne reste plus qu'à réduire la base au niveau de la mer. Soit R le rayon terrestre pour le niveau de la mer ; R + d R le rayon pour le sol de la base , d R étant l'élévation du sol au-dessus de la mer. Soit B la hase mesurée, et b la base réduite. Nous aurons R + dR:R ::B : b t d'où
R + dR — R : R + c/R :: B — b:B.
Ainsi
Bf/K BdR
R+rfLl
. B dR , dR ,dR V . x B — * = — R - 0 + ( r-) - &C )
C'est ce qu'il faut retrancher de B pour avoir la base réduite au niveau de la mer. On verra ci-après les méthodes par lesquelles j'ai calculé les différences du niveau de tous les signaux par rapport à l'horizon de la mer.
Les bases réduites à l'horizon sont véritablement des arcs qu'on peut supposer sphériques. En réduisant à l'horizon l'angle qne forme la ligne brisée qui a été mesurée , on auroit , pour trouver la baie sphcrique véritable , à résoudre un triangle sphérique
dont on connoîtroit deux côtes , et l'angle compris. Le calcul d'un triangle sphérique est moins commode en général que celui d'un triangle rectiligne; j'ai donc retranché des deux parties de chaque base l'excès presque insensible de l'arc sur la corde. J'ai réduit aux cordes l'angle horizontal , et j'ai pris pour base véritable la corde qui joint les pieds des deux signaux ou les deux termes , et celte corde m'étoit donnée par la résolution d'un triangle rectiligne.
Les formules précédentes suffisent à la réduction des opérations géodésiques j passons aux corrections qu'il faut faire aux observations astronomiques.
Corrections des Distances au Zénith , observées près
du Méridien.
Soit P le pôle {fig. i4.), Z le zénith, E l'étoile, PE sa dis- FIG. t4. tance au pôle, ZE la dislance au zénith observée j prenons P e — P E , Z e sera la distance an zénith dans le méridien
Z<? = ZP — PE = (go° — L) — (90° — D) = (D — L). Il est visible que Z e est moindre que Z E.
Soit x la différence , ZE = Z<? + *= (D — L + x).
Le triangle sphérique Z P E donne
cos Z E — cos P E cos P Z + sin P E sin P Z cos P ,
ou
cos (D — L + x) = sin D sin L + cos D cos Lcos P = sin D sin L + cos D cos L — 2 cos D cos L sin» ; P,
ou
cos (D — L) cos x — sin (D— L) sinx= cos (D — L) — 2 sin'^P cos Dcos L cos(D — L) — 1 cos (D — L) sin* \ x — sin ( D — L) sin x = cos (D — L ) — 3 sin* 7 P cos D cos L ,
. . . . a sin* P cos D cos L
et sin* + a cot (D — L) sin' .
v sin ( D — L )
Il y a trois manières rigoureuses de résoudre celle équation. L'une doaneroit la valeur exacte de sin x , l'autre celle de sin * .r ,
et la troisième celle de tang j x j mais les formules seraient trop compliquées pour la pratique.
sin x (
sin ^ x = — j
a cos ï x
donc a sin* -; x = ^ = r sin* x + î sin** tang* r x,
en négligeant £ sin* x tang* £ x, qui est du quatrième ordre» nons aurons
«in x + 7 cot (D— L) sm* x = sin(D L) »
ou pour abréger sinx + t * «in* x = a j
d'où
sin*x + ^ sin x = —
«n*x + 7«n*+r7 = rT + -r-
b™*^ bb~b b^^b — bb #inx = -^ i i=fc|v / »TTâ = i[i + (i + 2fli)*J
ou
ou sans erreur sensible
(Qsin'jPcosDcosLx , /asin*rPcosDcosL\* , . — : — TT^-— )— î(-r-7k ÏT- COt(D-X)«ai - .
sin(D — L)sini / \sin(D — L)smi / N
, /a sin*l PcosDcosL\ s , , +*( .in(D-L)si»," ) co1 ' t°- L ) "«' 1 •
Le troisième terme est toujours insensible j le second se calcule facilement , à l'aide du premier. Mais il est plus commode
de
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. 4g
de calculer une table pour chacune des étoiles qu'on observe j et nous allons en faciliter les moyens. Auparavant , remarquons que la valeur de x trouvée par la formule précédente , se retranche de la distance observée quand l'étoile passe entre le pôle et le zénith, suivant la figure. Ainsi, dans ce cas, nommant x la réduction au méridien , on a
/asin^PcosDcosLx ✓2sin , |PcosDcosL\* .
«=*-( sin (D — L) sin ^ ) + A^^^) cot ( D - L ) 8mI , a sm^PcosDcosLy coit ^ *\ sin(D— L)sini" / v '
Si l'étoile passe au - dessous du pôle , il faut changer les signes de tous les termes , et celui de Tare L j en sorte qu'au lieu de ( D — L) , il faut mettre ( D + L ) , ou plus exactement [ i8o° — (D + L)]. En effet, on a dans ce cas Z« = PZ + PE = oo° — L + $o° — D = 180' — (D + L). On aura donc
/asin'îPcosDcosLx , /asin'xPcosDcosLx* „ % . „
*= + (- • ,n , r \ ■ rl-H • /nirr » ) cot(D+L)suu*
\ sin (D + L) sin V / \ sm (D + L) sin 1 /
, / 1 sin" 7 P cos D cos L \ s . . „
+ î ( • , t x . — 7, — J cof (D + L) sin* \°.
* V sin (D + L) sin 1 ' / v '
Le second terme qui est au quarré ne devroit pas changer Je signe ; la raison pour laquelle il en change est la substitution de cot (D + L) à cot [ î&V — (D + L) ]. Mais ce terme, malgré l'apparence , est positif comme les autres , parce que (D + L) > 90 0 . En effet , Z e < 90 0 j donc 180 0 — (D + L) < t)o'j donc 180° < 90 0 + (D+L) ; donc 90' < (D+L).
Si l'étoile passe au midi du zénith
Z * = P E — PL = go* — D — 90' + L = L — D j
à ce changement près , la formule est semblable à celle du premier cas, et Ton a
/asin'ïPcosDcosL\ , /2sin*ïPcosDcosL\' „ ^ % . . . *=-( ^-77 — ^ . „ ) + H -t— 7 — wr-— ) cot (L— D) sin i*&c. v sin (L — D) sin 1 / \ sm (L — D) sin 1 ' / v '
Cette dernière formule peut servir pour le soleil comme
fio DELA DÉTERMINATION
pour une étoile , en observant pour Pan comme poar l'antre
de changer le signe de D, si la déclinaison de l'astre est
australe.
Pour faciliter le calcul des tables, on remarquera que le premier terme n'a de variable que sin* 7 P , et le second que sin 4 T P , ainsi de suite. Les logarithmes de deux nombres consécutifs de la table ne varieront donc qu'à raison de la variation de log. sin' 7 P et log. sin* T P. Ainsi , quand on aura le logarithme du premier nombre de la table , on aura ceux de tous les autres , en ajoutant successivement les différences des logarithmes de sin* T P, sin 4 j P. J'ai formé une table de ces différences pour chaque angle horaire en temps de 10" en 10".
Il suffît de calculer le second terme de minute en minute de temps j on en conclut les termes intermédiaires par une interpolation facile. Le troisième est toujours inutile } le quatrième , à plus forte raison , est insensible ; ce qui prouve que nous avons . pu négliger au commencement 7 sin* x tang 1 jt ( qui est du même ordre.
Si l'on se contentoit du premier terme , qui suffit presque toujours , on pourrait écrire ainsi la formule
sin vers. P ( tang D =F tang L ) sin 1" ' et cette formule servirent à calculer des tables générales. L'argument seroit (tang D q= tang L).
Pour construire les tables particulières de chaque étoile , on
est obligé de supposer la déclinaison constante , et elle a une
petite variation ; la latitude bien connue , et il y a toujours à
cet égard au moins une petite incertitude, ainsi que sur le temps
du passage au méridien , ou sur la marche de la pendule. Il est
donc à propos d'évaluer ces diverses erreurs.
¥> , 1 sin' \ P cos D cos L , , «
L'équation x — - — rp: — ï-t donne d abord
sm(D^=L)
dx asinrPcosrPcosDcosL asin^PcotîPcosDcosL d?" sin (DspL) ~ mu(D=fL) 1
Ainsi l'on a généralement pour tous les cas dx = aTsin.vcotjP.
D'U N ARC DU MÉRIDIEN. 5i On élude cette erreur en prenant avant et après le passage un même nombre de distances au zénith } car après le passage coti P change de signe , et par conséquent aussi dx\ et s'il n'y a qu'une légère différence entre les P positifs et les P négatifs , l'erreur disparoîlra.
La même équation donne encore entre le pôle et le zénith d * — asin'^PsinDcosL 3 sin' j P cos D cos L cos (D — L) dD sin (D — L) sTn'(D — L)
— 2sin'~PainD cos L sïn (D— L) — a sin'jPcosD cos Lcos (D—L)
sin* (D — L)
d x asin'jPcosL
d~D = — sin* (D — L) ( s,nl ^ cosL, — sinDcosDsinL-j- cos'DcosL+ cosDsinD
2 sin* | P co s L a sin' f P co s* L
- 8 in'(D-L) {C0SL > sln^D-L)
sin» ^ P cos D cos L cos L x cos L
cos D sin' (D — L) cos D sin (D — L) '
Le signe ( — ) montre que x diminue si D augmente. Pour le« passages au-dessous du pôle , on trouvera par ua
calcul semblable d x = J D ™*™ L ,
cosDsin (D + L)
Pour les passages au midi , on aura pareillement
, rfDsinxcosL
*~ + cosD sinfL-TD)*
* augmente avec la déclinaison.
La même équation donne encore
in'^I
~ " sin* ( D — L)
d x __ asin'^PcosDs inL 2 sin* £ P cos D cos L cos (D—L) dL ~~ sin (D — L) +
, asin'iPcosD. . „ . .
= + lûT*(D"^tr t cosLc08 ( D — L )~ smLsin(D-L)]
2sin*^P cosD r . ... asin'^Pcos'D :rrr [cos(D— L+L)] =
«n* (D — L) u ^ JJ sin* (D—L)
, d L sin x cos D Ct dx = C^U^CD-L) enlre le * emth et Ie P° le
5s DE LA DÉTERMINATION
, . a. - . , rf L «in * cos D
Au-dessous du pôle on auroit d x = . . , . . , et au
r cosLsiu (D+L)
... . </LsinxcosD
midi dx = , — —
cos Lsin (L — D)
dD et dh sont ordinairement de peu de secondes, et x de 3' au plus. Ainsi dD&mx et </Lsin x seront le plus souvent des quantités absolument insensibles. Pendant le cours de l'observation d'une même étoile , D varie parla précession , l'aberration et la nutation , mais c'est d'une quantité si petite , qu'on peut regarder la déclinaison comme constante dans l'intervalle ; mais après quelques années , il faut refaire la table , ou la corriger par les formules ci-dessus.
Examen de l'Erreur qui peut résulter d'une petite inclinaison dans le cercle , lorsqu'on observe les distances au zénith.
Il est difficile de répondre de deux à trois minutes dans la verticalité de l'instrument avec lequel on a pris toutes les distances au zénith. Examinons l'erreur qui peut en provenir. FIG. i5. Soit HO (fig. i5. ) la direction du diamètre horizontal de l'instrument quand on observe l'étoile E. Le plan HEO sera le plan de l'instrument ; et si lé plan du cercle est vertical , le plan HEO sera perpendiculaire à l'horizon, et Z'E, distance de l'étoile au milieu de l'arc HEO , sera la distance de l'étoile au zénith j il n'y aura point d'erreur : mais si le plan du cercle est incliné, le plan HEO sera pareillement incliné à l'horizon. Alors soit H Z O le vertical , et Z le zénith. L'arc ZZ', dont les deux extrémités sont à 90° de distance des points H et O , aura pour pôles ces deux mêmes points , et ZZ' mesurera l'angle Z O Z', inclinaison du plan du cercle. Z sera le vrai zénith, l'angle Z' sera droit , et la distance observée Z'E sera la base d'un triangle sphérique rectangle ZZ'E, dont ZE ou la vraie distance au zénith sera l'hypoténuse. Il est évident que Z'E sera plus petit que ZE.
Ditttsc*
linitb.
Correction p»ur 10 d'iDtlin*i>oa.
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. 53 L'erreur ne se détruira pas par le retournement j le cercle penchera du côté opposé, mais toujours on observera la base au lieu de l'hypoténuse.
Or le triangle ZZ'E donne
cos Z Z' cos Z' E = cos Z E.
Soit Z Z' = I = inclinaison , Z' E = D , ZE=(D+*D, nous aurons cos I cos D = cos (D +#) = cos D cos x — sin D sin x , sin D sin x = — cos I cos D + cos D cos x sin D sin x = cos D (cos x — cos I ) = cos D ( 1 — a sin" 7 * — i -f 2 sin* £ I ) = a cos D ( sin» £ I — sin* j * ) , et sin x — 2 cot D sin* \ I — 2 cot D sin* \ x , ou sin x + a cot D sin* 7* = 2 sin* T IcotD, ou sin* + T cot D sin** = 2 sin» £ I cot D, ou sin* x + a tang D sin * = 4 sin* \ I j d'où
sin* — — tang D -f tangD 1/ » + 4sin4lcot'D = tangD [—1 + (1 + 4 sin'v I cot* D ) r J ^(^in'-IcofD-î . 7 1 6sin 4 iIcot 4 D +&c.) = a sin*i I cot D — 2 sin 4 £ I cot s D+&c.
Le premier terme de cette série est toujours suffisant, même à un degré de distance au zénith } c'est d'après cette formule que j'ai construit la table ci-jointe.
En divisant tous les nombres par 100 , on aura la correction pour une minute d'inclinaison ; et multipliant celle-ci par le quarré du nombre des minutes de l'inclinaison , on aura la correction convenable. Ainsi à 4" de distance au zénith, la correction pour 10' est de i2",48. Pour une minute elle se réduit à o",i248} pour deux minutes elle est quadruple, ou ©",4992 3 noncuple pour 3',.ainsi des autres.
ai
i.itf a, 06
O.OJ
Pour 1 étoile polaire à 3j" du zénith , la correction pour 10' est 1,1 6; pour 5' elle est o",20,.
Pour £ de la petite ourse à ?4M a correction est i",g6 pour io', et o",49 pour 5'.
Pour { de la grande ourse et la chèvre , à 4° environ , la correction seroit de 3 ' pour 5' d'inclinaison : il ne seroit donc pas sûr de faire usage de ces étoiles ; il vaut mieux en prendre de plus voisines du pôle , l'erreur de la réfraction n'égalera pas celle qu'entraineroit l'inclinaison, et l'observation sera beaucoup plus facile.
Latitude r= go° — dist. z ± dist. au pôle ( au nord du zénith). Ainsi dans toutes les observations au nord , l'inclinaison augmente la latitude.
Latitude = dist. * q= déclin, de l'étoile (au midi).
Ainsi par les observations au midi , la latitude seroit diminuée par l'inclinaison , qui diminue toujours les distances au zénith , du moins quand elles ne passent pas 90 e .
On pourroit donc observer des étoiles au nord et an midi à égales hauteurs , et on détruiroit l'effet de l'inclinaison ; mais U faudroit être sûr de la déclinaison , ce qui est difficile , et que l'inclinaison fut à très-peu près la même, ce dont on ne peut répondre.
La latitude ne peut être affectée que de la moitié de l'erreur produite par l'inclinaison , parce que celte erreur est insensible dans les passages inférieurs : il n'est question ici que des étoiles circompolaires.
Il nous reste une question à examiner, A moins qu'une étoile ne soit très-brillante , comme celles de première grandeur, il est presque impossible de l'observer à la croisée des deux fils. On l'observe donc à quelque distance. Voyons l'erreur qui peut eo résulter. '
TIC. 16. Soit ZMH le vertical (fig. 16.), HOR l'horizon j an lieu d'observer au point M , l'intersection des fils , on observe an poiut N. Par les points M et N menez le grand cercle M N R. Ce cercle est celui du plan qui passe par l'œil , et le fil horizontal
de la lunette. La différence de ZN à ZM est l'erreur de l'obserration , et cette erreur augmente toujours la dislance au zénith
cos Z M cos M N = cos Z N = cos ( Z M + x ).
Cette équation est absolument la même que celle que nous avons eue ci -dessus pour l'inclinaison ; on aura donc pareillement
* = a sîn* ^ MN cot ZM.
La même table qui donne l'erreur produite par l'inclinaison , donnera aussi l'erreur commise en observant à quelque distance du fil i mais ces deux erreurs sont de signes contraires pour les étoiles observées au nord : elles sont de mêmes signes pour les étoiles au midi. Comme il est presque impossible que le cercle n'ait une ou deux minutes d'inclinaison , on ne risque pas beaucoup d'observer à i' ou a' de l'intersection , quand l'étoile est au nord. Si elle* étoit au midi , il faudroit observer au plus près.
Ceci suppose que le fil soit bien horizontal > et il n'est pas aisé de le placer ainsi bien exactement.
Si le fil avoit une inclinaison , et qu'on observât à quelque F(G, distance de l'intersection I (fig. 19) , par exemple en a , l'erreur seroit ab = IasinLI /. Soit I a = a' = iao"Ll/= i°, ab = 2"ioj ainsi i° d'inclinaison et l' de distance donneroient 1" d'erreur.
Mais si l'on observe constamment au même point a , il n'y aura point d'erreur, car la lunette se renversant dans la deuxième observation , si la première distance observée est trop grande d'une seconde , la deuxième sera trop petite d'une même quantité , et il y aura compensation. U n'y a donc qu'à mettre toujours à même distance du fil , et toujours du même côté ; ce qui se fera de la manière suivante.
Supposons que dans l'observation impaire qui se fait à droite , j'aie mis l'étoile à quelque distance du fil , à ma droite , en apparence , dans la lunette qui renverse , il est clair que l'étoile sera placée entre le fil et le limbe du cercle j pour l'observation paire , qui se fait à gauche , je placerai l'étoile à même distance
56 DE LA DÉTERMINATION du fil , mais à ma gauche , afin qu'elle se retrouve encore entré le fil et le limbe. Par ce moyen , l'on observera toujours au même point physique, et l'on détruira, l'effet de l'inclinaison du fil j ce qui n'empêche pas qu'il ne Caille mettre le fil horizontalement , autant qu'il est possible.
Calcul des Observations azimuthales.
Les observations azimuthales se font en prenant l'angle entre un astre et uu objet terrestre. Quand on n'observe pas au centre de la station , ces observations ont besoin d'une réduction , comme les angles pris entre deux objets terrestres. On se sert de la même formule ; mais il est à remarquer qu'elle se réduit toujours à un terme , parce que la distance à l'astre, qui est au dénominateur de l'autre terme, est comme infinie par rapport à la distance au centre de la station. Si l'astre est à gauche de . l'objet terrestre , la formule se réduit au
terme + r * m (°+ . ( 0 + y ) est ici l'angle entre l'objet
à droite et le centre de la station.
Si ,1'astre est à droite de l'objet terrestre , la formule se
réduit au terme * ' ^ ette réduction s'applique à la
différence d'azimuth entre l'astre et l'objet terrestre , comptée sur l'horizon.
FIG. 20. Soit maintenant NPZ le méridien (fig. 20.), N le point nord de l'horizon , P le pôle , Z le zénith , S le lieu vrai du soleil , S' le lieu apparent } dans le triangle P Z S , nous connoissons
P Z = hauteur de l'équateur = H , P S = go w — - décl. de l'astre = C ,
et l'angle horaire ZPS = P; nous aurons ainsi cos ZS,
ou
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. 5 7 ou cos B = cos P sin H sin C + cos H cos C (1)
• • n ,e • „ sin P sin C , .
puis sm PZS. ou sin Z = (a)
• smB
Soit r la réfraction et p la parallaxe de hauteur
ZS' = B'=B— r + f. (3)
Alors dans le triangle GZS', nous aurons
S'G = distance observée = D , Z S' = B' , Z G = A.
Faite. R = A + B ' + D -A, et R' = A + B ' + D -B- FIG
. . . « r.n, sin R sin R . '
em* i GZS' = = sxn' ï Z (4)
sin A sin a
C'est à cet angle GZS' qu'il faut appliquer la réduction au centre. Enfin NZG = azimuth du signal observé — Z — Z'....(5)
Les cercles dont on s'est servi ne donnent pas les distances simples de l'astre à l'objet terrestre ; on ne peut les connoître tout au plus que 4e deux en deux : mais comme le mouvement de l'astre par rapport au signal est sensiblement uniforme pendant de petits intervalles de temps , on peut diviser l'arc parcouru , par le nombre des observations } et l'arc moyen qui en résultera sera sensiblement la distance du soleil au signal pour l'instant moyen entre ceux de toutes les observations. Les calculs ont été faits en assemblant ces observations quatre à quatre, six à six , huit à huit , dix à dix , sans qu'on ait trouvé de différence sensible entre les résultats. Cependant , si l'on vouloit un procédé plus rigoureux , on pourroit faire le calcul de la manière suivante.
Le triangle Z P S donne
cot C si n ïî
«otMZS — cotZ=cotPcosH r- 5 (0
sinP
. „ o . D " sin P sin C ,
sin Z S = sjn B = — = ( i)
sin Z
Z S' = B' = B + parallaxe — réfraction. ....... (3)
jSoit A 5= MZC =e azimuth du signal à-peu- près connu
68 DE LA DÉTERMINATION et compté du sud, le triangle GZS donne
cos G S' = cos G Z S' sin Z G sin Z S' + cos ZG cos ZS',
ou
cos a = cos ( A — Z ) sin F sin B' 4- cos F cos B' (4)
Différenlions celte formule par rapport à A seulement , nou» aurons
d a sin a — d (A — z) sin (A — x) sin F sin B' . </(A— z) sin (A^-*) sin F sin B' o*Asin(A— z^sinFsînB'
sin a sin a
Soit a = »»(A-*)sinFsinB'
sin a
tous aurez du = ad A.
Calculons ces cinq formules pour chacune des observations.
Nommez s a la somme de tous les a , x a la somme de tous les a , G l'arc parcouru sur le limbe , ou la somme de toutes les distances observées , vous aurez G = îa + d A s a ; d'où
dA = — — (6)
is
On pourroit employer un procédé pareil pour déterminer le
temps vrai par les hauteurs absolues d'un astre. Calculez pour
chaque observation de hauteur la formule
cos Z S — cos B = cos P sin H sin C + cos H cos C. ... (î)
B' B + parallaxe — réfraction (a)
Faites la somme de tous les B', que je nomme x.B'.
Je suppose que l'on connoisse à î ou a" près le temps vrai , et
par conséquent P.
dB 6in B =s dV sin P sin H sin C,
, „ d P sin B sin H sin C
an — : — — aar .
sinB 1
sin P sin H sin C
vous aurez a = 7—=. (3)
sinB v '
Soit S. a la sommme des a, G l'arc parcouru
G=x.B'+ dP.s.Aj
d > ou d P = ÇZL±21 ou T = .(4)
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. 5g
Calcul de toutes les parties de la Méridienne, en supposant la Terre sphérique.
Quand on a déterminé par observation la latitude du point extrême d'un arc terrestre , et l'inclinaison du premier côté des triangles par rapport à la méridienne , on peut en conclure par le calcul la latitude de tous les signaux , leurs aiimulhs vrais sur l'horizon l'un de l'antre, leur différence en longitude d'avec le point de départ , et enfin l'arc du méridien intercepté entre les parallèles des deux signaux extrêmes.
Nous allons d'abord résoudre tous ces problèmes en supposant la terre sphérique, et nous y appliquerons ensuite les légères corrections quo nécessite la figure applatie de la terre.
Suit donc P le pôle , À le point de départ dont on a observé FIG. i3. la latitude , P A M le méridien de ce lieu , P N le méridien qui passe par le signal le plus voisin B , A B Q l'arc sphérique terrestre qui passe par les deux signaux : on connoît par observation PA, complément de latitude, et l'angle PAB, supplément de BAM, azimuth observé du point B. On demande la latitude du point B , lea angles B et P. Au lieu de chercher directement P B , il sera plus commode de déterminer la différence entre P A et PB, qui n'est jamais que de quelques minutes.
Le triangle PAB donne
cosPB = cosAsinPAsin AB + cosPAcosAB, on siu L' = cos A cos L sin / + sin L co's / tin L — • sin L' = ain L sin L cos ^— »• sin / cos A cos L = a sin» 7 1 sin L — sin / cos A cos L.
Ou bien si Ton compte A extérienrement au triangle, c'ést-
6o DE LA DÉtËRMIKATIOK FIG. i3. à-dire qu'on mette, au lieu de cos A , sa valeur tirée de l'équation A = 180 0 — *
sinL— sinL' = sin / cos zxos L + a sin* 7 / sin L sin / cos z cos L + a sin* 7 /sin L
asin^L— LO *sinK<*L) =
cos 7 (L + L) sin / cos * cos L + a sin 1 7 / sin L cos (L — 7 L) sin / cos x cos L + 2 sin* £ / sin L cosLcoafdL + sin L sin
sin / cos z cos L + û sin' 7 / sin L cos j / L (cos L + tang^rfL sinL)
. „ sin /coszcosL -f a sin* 7 /sinL
*in</L = r— — , . T
cosL+ tang ^aL sinL
sin / cos * 4- a sin* 7 / tang L
1 + tang v d L tangL
•arfL=s(#in/ co«*+a«a'J / taogL) (1 -tangi rfLtgL+tg» * rfLtg«L-fg* i<f Ltg»L+&c)
On pent supprimer les tang 3 £ dL , qui multipliées par sin /cos* , ne donnerûient que des quantités du quatrième ordre.
sinjrfL asin-rfLcos^cfL sin dL
tangïrfL:
cos^dL flcos'^rfL a cos* 7 dL
a= 7 sin rfL ( 1 + tang* x d L )
t . , . 7 sm d L sin* t d L = 7 sin d L + —
cos' r dL
= 7 sm rfL + î sin d L sin* T rfL ( 1 + tang* 7 </L) = ^ sin d L , en négligeant les sin' d L par la même raison que ci- dessus.
tangi d L= ( 5 sin/cos z + sin* T /tgL) (1 — tg £ L tgL + tg* r rfL tg'L) = 7 sin /cos z + sin'j /tang L — £ sin / cos z tang T </L tg L = 7 sin /cos * + sin* T <f tangL— £ sin' / cos* * tang L = 7 sin /cos z + ^ sin* / sin* * tang L
tang*; dL=~ sin* / cos* z
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. 6"i
ûndL fc=(sîn/co6*+ asin'^tgL) (1— ^sin/cosztgL— ï»inVsin , xtg , L+isiii , /c08 t xtg*L)
= sin /cos x + a sin* 7/tgL — 7 sin* /cos* x tgL— sin* 7 /sin /coss tg 1 L
*— y sin 3 / cos z sin* « tang* L + 7 sin 3 / cos 3 * tang° L
=*sin /cosx+ 7sin*/tangL-~ i sin*/cos*ziangL — 7sin 3 /cosztang*L
•f 7 sin 3 / cos 3 z tang* L — 7 sin 3 f cos * sin* * tang* L
«in c?L = sin / cos z + 7 sin* «f sin* z tang L — T sin' / cos z sin* z tang* L
tf L = (sin <fcos z + T sin* / sin* z tang L — l - sin 3 / cos z sin* z tg*L) cosec i"+(</L— sinc?L)
= cosec i"(sin/cosz + ^ain'/sin'z tangL— \ sin^cosz sin*z tang* L + \ sinVcos 3 z).
Les deux derniers termes sont fort petits, et toujours de
signes contraires. On peut les négliger quand on calcule dh en
secondes : on les conserverait pour calculer dLen toises. Noua
aurons donc en secondes
</L = cosec t" ( sin / cos z + ; sin* / sin* z tang L)
L'= L-<*L = L, /sinJcosz- KsinVsin*ztgL \
\ sin i" / ,
En mettant z = i8o° — A dans la formule du cit. Legendre , elle devient
L'=L — /cos z— { S *sin*z tgL+ \ / 3 sin*z cosz tg*L + £ /Wzcosz. Nous différons sur le dernier terme { Z 1 &c.
Cherchons maintenant la différence d'azimnth. Nous compterons les atimuths de o° à 36o° , en allant du midi à l'occident.
Le triangle PAB donne
fn«r'-mi \\ COtjPcosi(PB-PA) COt 7 P COS 7 ( L V)
*~ d + ; ~ cos ? (BP + PA) - coii(i8o--L+I') cotfPcosHL-^L')
sin r (L+L') » v'.„ t .
etcotXCB^ ^^^^ ^tangCso^KB + A)] 90 0 — 7 (B+ A) est toujours un angle de quelques minutes j ainsi
M--TBM A*. rPsinf(L + L-)
„ . „ Psin^L + L')
B + A = i8o°— ,V -rr^ ,
