COS 7 (L — L
Psin 7 (L + L') Psinj (L + L') CO87 (L — L') cosf (L— L') '
DE LA DÉTERMINATION FiG. ï5. Celte formule donnerait la direction BA, comptée du point nord j pour la compter du point sud , on y ajoutera i8o\
Ainsi x' = i&>- + m - P 8in \lk±Ul.
■r co«i(L— L)
Le même triangle donne
. i • « • * t> • « sin / sin *
«m A ; co* h :: sin PîiraAB, ou sin P = pr- j
1 cos L
d'où
'— a • sm/ sir igpmî( L4-L / ) sin /sin * sin (L— jrfL)
s-iHo + l8o + c08 ^/Lco8(L-rfL) 0 # , /sinxsinHL'+L'+tfL) cos L cosjtfL
/sin * / sin L' cos ' L + sin j rfL cos V \
— i8o*+* rjr ( ■ )
cos^aL \ cos L /
= i8o°+* — /sin s tang I/— -/sin « tang 7 L t
formule très-simple , à laquelle il n'y a rien à ajouter pour l'applatissement , dont l'effet est insensible sur l'aiimulh , comme on le verra par la suite.
z— 1 80" + x — /sin x tang L'— » /sin * sin /cos * + 7 «w'/sin** tg L) = i8a 0 -M— /ein*tg L'— ? /sin /«in a * — » f /ain'/sin 1 * tgL* .(A) mais
tangL'=tg(L-rfL)= t -^=^ = (tgL-tgrfL) (i^tgrfLtgL+tg\*Ltg»L-«çc.)
= tgL— tgrfLtg'L+tg'rfLtg'L — tgrfL+tg'rfLtgL-^&c, = tgL— tgrfL(i + tg'L) + ig'rfLtgL(i+tg'L)
tangrfL tang' dL tang L ^ tg ~" cos'L cos* L
siff/cosx-Hîsin* /sin'z tangL sin'/cos'xtangi.
= tgL—
cos 1 L cos* L
sin /cos 9 ysin*/sin*<tang L sin* /cos* «fane: L
cos'L cos* L cos'L
sin /cos* sin'/ tang L,, . , .
= tgL — : — — (1 sin* r — cos*
cos * cos'L w
sin /cos* sin'/tangL .
+ l « L c^ûT* cos'L ('-»n'*-i*m'«)
. . sin / cos * sin* / tang L , , .
donc
/ ' M . . . «Tsin/sin*cos* / sin* / sin z tang L
i'=i8o'+s— /sm*tgL+ — n
° nos* L cos* L
, } /sin'/ sin 3 * tang L „ .a-, «s.- s.»
+ - ^Tsin/sina*— j/sin'/surxtgL
cos* L 4
=i8o°+« — /sin * tang L + £ /sin /sin 2 * + £ /sin /sina * + { / sin /sin a * tg 1 L — /sin* / sin * tg L — «Tain 3 /sin* tg*L + 1 /sin' / sin s *tg L + \ W/sin' * tg 3 L— / sin* / sin 3 « tg L
= 180* + *— /sin* tang L + £ / sin / sin 2 * ( f + tang" t) — /sin'/ sin * tg L (1 + tg'L) + /sin* /sin 5 * tgL (}+ 1 tg 4 L).
Cette formule est trop compliquée pour la pratique , il vaut mieux s'en tenir à la formule (A) , dans laquelle on peut négliger le dernier terme , qui sera toujours insensible dans notre opération. On aura donc
z' = 180' + * — / sin* tang L' — { / sin /sin a *. . . .(B) Le dernier terme se réduira facilement en une table à double entrée.
La formule fi est commode , et d'une exactitude suffisante pour trouver la différence d'azimulh. Je yais en donner une qui est une série infinie , dont la loi est très- simple. Soient A, A' et A" les trois angles d'un triangle sphériqae quelconque, C , C et C* les côtés opposés j supposons une quantité x telle que A + A' + A" = 180 0 + * , ou
A' + A"= 180 e — A + .t = 180* — (Att* )
HA'+A") = 90 ."-HA-*)j Mais suivant une formule de Néper
tang r ( A + A ) =» —^—^
doue
1 + tang | A tang £ x cotj A cos f ( C — C") tang^A— tangi* cosHC'+C")
cosi(C'+C")+cosKC'+C")tgîAtg->=cotiAcosKC'— C')tg;-A — cot i A cos { (C — C") tang^ *
tang î x tang î A cos t (C'+C") + tang^cotjA co8±(C— C") = cos i (C — C") - cos KC + C'O = a sin 1 C'si n J C"
, i sin y C sin ~ C
angT * — tang 7 A cos-î (C' + C") + cot i A cos j (C — C")
2 sin | Ç sin } C* ■
~cosjC'cosiC''tgiA~siniC'sinIC'ïg;A+^
3 sin { C sin j C '
~ cosiC'cosiC'XtangïA+cot^A)— siniCsin^C^ngiA-cotjA)
asiniC'siniC"
' a cos i C cos ^ C'cosec A + 2 sin ± Ç' sin £ Ç'cot A
tang j C tang 7 C" sin A *i + tangiC'tangiCcosA
m sin A ,
ou pour abréger tang^y = , — } d'où
v 1 + m cos A
y ' m d A cos A m* sin* Ad A
cos'y 1 + m cos A (1 + m cos A)* d y m</ AcosA+mWAcos^A+m'rfAsin'A wrfAcosA-f mV A ccV/~ (i + mcosA)' (1 + m cos A)'
d y m cos A + m* m cos A + m*
ST = c+wo.Aj-d+t^) " (1+mcosA) .(-~^i5lA n
v 'V (i + mcosA)v
m cos A + m* m cos A + wi*
( 1 +m cosA)*+m*sin*A » +2 mcosA+m*co6*A+m*sin , A m cos A + m* ■*" 1 + 2 m cos A + m 1
Soit
<7 y in cos A + m' ■.**.•«
= — r 7-- ; = * m + 0 m' + > m 1 + + Sec,
JA 1 + amcos A + m*
= « m + H m* + y m 3 + ^ m* + &c, + 2 4COsAm'+2Tco8Aw'+ 2>cosAot 4 + &c.
ou 05= «TO + zam' + >m 3 +^ i7i*+&c.
— cosA m + 2 * cos A m'+a £ cos A m 3 + a > cos A n» 4 + & c » r- m* + « m 3 -h 0 m 4 +&c.
d'où
d'où
« = cos A , £ = 1 — a <t cos A = 1—2 cos* A = — cos 1 A > = — « — 2 j8 cos A = — cos A + 2 cos 2 A cos A = cos 3 A / = — 2 > cos A — 0 = — 2 cos 3 A + cos a A = — cos 4 A ainsi des autres ; donc d y
= m cos A — m' cos 2 A + m s cos 3 A — m 4 cos 4 A
ety — m sin A — £ m' sin a A + y m 3 sin 3 A — y m 4 sin 4 A.
H n'y a pas de constante à ajouter , parce que y et A deviennent zéro tous deux à la fois j donc
y*=tg ; C'tg;C"sinA— iCtg^C'tgiC'rsinaA+yCtgiC'tg^C'rsinSA— i&c.
î*= ( — + A * A — ) = î (surface du triangle sphérique.)
Soit { C = 5 C = 45* , on aura
La série se changera en celle-ci
y A == sin A — y sin 2 A + j sin 3 A — y sin 4 A , formule connue.
Soit A = 90'
45" =1 — y 4- 7 — f + &c. formule connue.
Soit à présent A l'azimuth connu , A 7 la différence en longitude , A" sera l'azimuth cherché ; nous aurons C = / et C' =90° — L , et par conséquent
i A + T A' + y A" — go' = tang y / tang (45° — 7 L) sin A ~ \ tang» y /tang* (45° — yL) sin 2 A + y &c.
A + A' + A"— 180 = 2 tangy /tang (45' — i L)sin A — tang* y / tang* ( 45' — y L ) sin a A + y &c.
ou en comptant les azimnths du point sud de l'horizon
( 1 80— z) +P + (—1 80 + z' )— 1 80 =x 2 tang y /tang (45 6 — ± L) sin «
+ tang* y / tang' (45" — y L) sin 2 z + \ &c. (—180 + x') =z-— P + 2 tang y /tang (45° — yL) sin* + &c. 6 — ( i8o°— P) + « + 2 tang y / tang (45° — y L ) sin z + tang* y / tang* ( 45° — y L ) sin2*+ 7 &c.
Celte formule est moins commode que celle (B) trouvée cidessus ; mais on peut pousser l'approximation aussi loin qu'on veut. A l'ordinaire , il suffirait de deux termes de la série.
La formule (C) pourroit servir à calculer l'excès des trois angles sur i8o° dans les petits triangles sphériques que nous formons à la surface de la terre. Dans ce cas , on peut l'écrire
x — C tang T C" sin A — &c.
Je suppose C et C" exprimé en secondes.
Cherchons maintenant une formule pour évaluer en toises la différence des parallèles de deux signaux.
Nous avons trouvé ci-dessus
«in d L = sin <T cos* + t «in* /sin'* tg L— £ sin* / cos z siu'ztg 4 L , ou
sin (IL = a sin \ l cos 7 <P cos « + a sin* % / sin* x tang L
— sin j / sin' / cos « sin* * tang' L
= (corde /) cos 7 <f cosz + (corde /) sin ; / sin* z tang L
— ( corde / ) T sin* / cos z sin* x tang* L.
La résolution des triangles nous a donné (corde /)j je l'appelle K.
sin dh = Kcos;/cos* + Ksin;/sin**tgL— i Ksin»ï /cos«sin**tg*L
= (K cos-; /) cos* + (Kcos 7 /) tang 7 / sin* z tang L
— a K sin* 7 / cos z sin" * tang' L
— (K cos 7 /cos *) + (K.cos 7 /cos*)tang7/sin*tg*tgL
— 3 ( K cos 7 / cos * ) sin 7 / tang { /sin» z tang* L.
K étant donné en toises , ou autres mesures équivalentes , on aura sin d L» , ou le 6inus de la différence des parallèles , exprimé en pareilles mesures. Pour avoir d L lui-même , ou la différence des parallèles , il suffit d'ajouter à celte expression l'excès de l'arc sur le sinus, c'est-à-dire
R étant le rayon de la terre exprimé en mêmes mesures que K.
On peut aussi faire £ sîn' d L — j (Ksin* i «T co&' ; J cos* « ). Ainsi nous aurons
c? L = (K cos j / cos z) + (K cos f / cos z) tang 4 sin * tg s tg L
— a(Kcos^ cosz) sin^tgr/sin*x tg'L + } (K.cos^cos *)rin*î/c.os"i 'co
On calculera par cette formule la différence en toises entre chacun des signaux; et ajoutant ensuite ces différences les unes aux antres, on aura la différence entre les parallèles extrêmes , c'est-à-dire l'arc du méridien.
Cette méthode me paroît la plus simple et la plu6 commode que comporte la nature du problême j elle ne demande aucune figure , aucune attention particulière , si ce n'est aux signes algébriques des sinus , tangentes , &c. elle porte avec elle sa vérification. En effet , soient A BCD {Jig. ai. ) quatre signaux F1G. voisins quelconques. La différence des parallèles entre A et D peut se trouver de deux manières j car elle est également la somme des différences entre A et B et entre B et D d'une part , et à la somme des différences entre A et C et entre C et D de l'autre part. C'est ainsi que le calcul a été fait double depuis Dunkerque jusqu'à Montjouy.
Si l'on veut savoir l'effet que produira sur l'arc du méridien , en mètres , une erreur commise sur l'azimuth , il suffira de différentier le premier terme de la formule , et l'on aura
d(K. cos j / cos x) = — (Kcos^ «f sin z de) = — (Kcos ± / cos z) tgz dz.
En déterminant pour chaque partie de la méridienne le coefficient de dz dans la formule précédente , on aura l'erreur produite dans la longueur de cet arc partiel , par une erreur d scommise surl'aiimuth du point de départ. En additionnant tous ces coefficiens , on aura l'erreur de l'arc entier , en supposant dz constant pour toute la suite des triangles. Ainsi, en supposant 1 5" d'erreur sur l'azimuth de Dunkerque , l'erreur de l'arc entier du méridien entre les parallèles de Dunkerque et Barce- Jonne , sera d'un mètre environ , c'est-à-dire de — isr;*
Formules pour exprimer en fonction de la latitude toutes les parties de l'ellipse du Méridien terrestre.
Arant de donner les corrections dues aux formules précédentes à raison de l'applatissement de la terre , nous allons rassembler plusieurs expressions qui serviront à les démontrer. Par occasion , nous en donnerons quelques autres qui peuvent avoir leur utilité dans les calculs astronomiques.
F1G. sa. Soit D E (fig. 22) le diamètre de l'équateur j C E = { D E = 1 , D P E la moitié du méridien elliptique , C P le demi - petit axe = b , D P'E le demi-cercle circonscrit j a F l'ordonnée au cercle j sa partie A F sera l'ordonnée à l'ellipse , a T la tangente au point o du cercle , A T sera la tangente au point A de l'ellipse. Menez le rayon C a, il sera perpendiculaire à oT; menez A M perpendiculaire à AT, l'angle ALT = FAT = latitude du point A, a Q x = FaT = latitude du point a dans la sphère circonscrite. Soit FAT = L , FaT = A,
AF a F
tang AT F = |njr > tangaTF = w ;
donc
tang AT F: tang aTF :: AF : a F :: * : 1.
ou
cot L : cot * :: b : 1 :: tang * : tang L;
d'où
tang a = b tang L. « (1)
ùlane*. 5 tans a AF=3.flF=&sinA=6cosMangA= " a ;
(i + tang'A)b* tangL (1 — g') tang L (î- e ')tangL
(i+^tang'L)^ [i + O-Otg'LJ" (1 -Hg'L— «Mg'L)» ( 1 - g* ) tang L ( ir- e') cosU g L ( 1 — e*) sin L
Vcos'L cos'L/
1 1 L cos L m
CF=cosa— - — : = — r — : — .■ w
* ec * (i+lg'*) T O+AW (t-fiin'L)*
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. 6g CF est l'abscisse ou le rayon du parallèle, et A F l'ordonnée.
AT = AF sec L = ^-^^— nS ^ = tangente à l'ellipse (4)
(i— .c'sin'L)»
FT = AFtang L« (' — LtangL (5)
(i — <?'sin*L) T
, (1— e')sinLcotL (i— e*)cosL
L F = A F cot L = î- - — = -i J - (6)
LT^ATcosecL= (l - g ' )tgLc ° s e -^^ '> —..(?)
(î— eWL) r cosL(i— e'sin'L)»
CT=«c>=^ = ^ = <^^! m
cosa CF cosL « KJ
AL=*LF 8 ecL = -^— ( 9 )
(i — « , sin , L)*
CL^CF~LF^ C ° sI - (, ^ g '^ ^ g ' COsL -,...(.0)
(i—Csin'L)' (i — eVm*L) T
CM = CLtangL = g ' smL , (,,)
(î — eWL)'
LM = CL sec L = • (ia)
(i — eWL) r
AM = AL+LM= « — * , + ^ aa 1 ((3)
(i — c'sin'L)* (i — e»sin'L/ c °t L
A/=AMcotL = r (w)
(i-^'sin'L)»
C t = CT-cot L = ï-*^lfco*J} = *«W u tmt{iS>
cosL tinL ^ '
o A = aF — A F = sin a — & sin a = ( i — & ) sin a = ■ 1 ~ b h
cosecx
(i+cofA)ï ^, + r J^iry (£M-cot*L)*" (i-g'+cot'L)'
(& — &*) (*-£*) sin L ^
(cosec* L — g*) 7 ( i — e* sin* L)*
câ= ïf'+ cf = (, - g 7.f; L +
cos* L
i — e* sin* L 1 — g* sin* L
( i — a g* -F g*) sin'L 4- cos* L sîn*L— (a g 1 — .g*)sin*L-f cos'L i — g* sin* L i — g* sin* L
i — (ae* — g 4 ) sin* L i — g* sin* L — (g* — g') sin* L
i — g* sin* L î — c* sin* L
( g* — g' ) sin* L ,
= i * ^ î d'où
i — g* sm* L
. / g* ( i — g») sin* L \f / CA= l— ^ r J r- r z ) (17)
\ 1 — g* sin L /
Or ,f formule^ &*sin*A=il "" g '>'. sin ' L . donc
1 — g* sin* L
(1 — g*) sin* L 1 — g* sin* L 7
donc C A = ( 1 — g' sin' a)*. Soit donc sin u — e sin a , et l'on
aura C A = cos u (18)
Soit un angle B, tel que cosB= 6, on aura tangA= cosBtangL; d'où , suivant une formule du cit. Lagrange , L — A^tang'iBsinaL— itang^Bsiu4L+itg'iBsin6L— &c. mais puisque cos B — b , on a i — b = t — cos B = a sin* { B ,
etsin'iB=^iA,co & *iB-i-sin*iB = i-i+^=r+^i donc tang-iB=-î-^-î-y = -j-j/J" i aono
()=f) sin , (|=^)"«n4 L + j (J=|)V,n6 L-&C. . . . (, 9 )
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. n Soient en général m et n les deux nombres qui expriment le rap •
port des axes de l'ellipse } b = ,
i -fô n m + n ~ m +
car ordinairement on prend pour m et n deux nombres qui no diffèrent que de l'unité.
Donc L — a = ( — - — sin i L — { ( — - — ^ sin 4 L \m + n/ \m + n/
+ i( ^ sin 6 L — &c (20)
Cette expression est très-convergente , rarement on a besoin du second terme , et jamais du troisième. Duséjour a fait un grand usage de a, et il a donné une table de L— aj mais la manière dont il l'a calculée est moins commode que la série précédente.
tang ACF = = O--)*» ^ O^WL)^
CF , . • ,t\r cosL (1 — e* sin'L)»
= ( 1 — e* ) tang L = b* tang L (21)
Soit 1 — e* = cos B' , et ACF = /, nous aurons tang / = cos B' tang L , e t L — /= tang'i B'sin 2L — £ tang^ B'sin 4L+ j tg^B'sin 6 L— &c.
Orasin^B^i— cosB'=^, sin^B'=ie*, co$*^B'=i— ^c'
j* DE LA DÉTERMINATION
L — / est l'angle de la verticale avec le demi-diamètre. On en fait usage dans le calcul des parallaxes } il est le complément de l'angle que fait la courbe avec le rayon C A.
Les séries (20) et (2a) donnent l'arc en parties du rayon. Pour l'avoir en secondes , on divisera chaque terme par sin 1".
Soit AA' l'élément de la courbe EA ou AA'= dA , A'u = dA sinLj mais . • .t \
A'u=—dCV=—df ( 1 7T 2 /
(i-e'sin'L)* (1— e'auVL)» (1 — e'sin'L)*
(1 — e*) sin Lrf L
(1— e* sin'L)»
donc
— f - = (1— e*sin*L) '=rayonde courbure du méridien. .(aS)
d , où dA (i-g-sin'L)' = t = Myon de 1 , équatenr (a4)
Cette formule suppose dA et dL exprimés en parties du rayon. Mais si d A est exprimé en mètres , toises ou autres mesures pareilles, lerayon de l'équateursera exprimé en mesures semblables.
Développons la formule (a3) , nous aurons
(l 3 a ,,3.5 4.3 , , 3.5.? 6.5.4 , J S^ ± 9 JL?- 6 : 5 . «tj.& 0 .
=sl + T"T7- + î^Ta^** + aT4T6 i. a .3a«' + a.4.6.8' 1 .3.3. 4. a»
Va* a + a 4' a s T a.i6 i.a.a* T a.4.6.8 i.a.3.a' /
+ Va.4'a» + a.4.Ç i.a» + a.4.6.8 1.2. a' T V
La loi de celte série est évidente , on peut la continuer tant qu'on voudra. En intégrant , on aura
nrK 1 + âT7.' 1+ a T4- ^' 4+ ^-7ir37a^ B +2^-7^^
Va a a. 4 a 3 a. 4. 6 î.a.a* a. 4. 6. 8 i.a.3.2' J . ,/3.5 1 3.5.7 6 « , 3 -5-7-9 8.7 . . . \ . , T ^ 4 \a.4 a 3 ^3.4.6 î.a 5 ^a.4.6.8 ia.2' T /
Il n'y a pas de constante à ajouter, parce que A et L deviennent zéro en même temps. Cette série donnera la valeur d'un arc quelconque commençant à l'équateur , et terminé au point dont la latitude est L; elle se réduira au premier terme si L = 90°.
Soit pour abréger
- — — = *L — j8 sinaL + >sin 4L — /sin6L + • sin8L — &c.
Soit un autre arc A' dont la latitude extrême soit L' , on aura de même
— - = * L' — jS sin a L'+ y sin 4 L'- /sin 6 L' + « sin 8 L'— &o. , 1 — e
d'où
= « (L - LO — f (sin a L— sin a L') + y (sin 4 L— sin 4 U)
— «r (sin 6L — sin 6 L') + &c.
= « (L— L')— 2i8sin(L—L')cos(L+L') + a > sina(L-L / )cosa(L+L')
— 2 / sin 3 (L — LO cos 3 (L + LO + &c.
Soit Q le quart du méridien 1 = « • 9°° î
donc f Q >>
A- A' ^ A— A' ^~«t(L-L')- 2 g»in(L~L'Jco5(L-hL')-ha>ain2(L-L')co»a(L^L')-&.c.
(L-L')— î-«n(L - L>m(L+L'}+ ^ «na(L-L')co«i(L+L')- ^«Ji3(I^L0cctf (L+L')+fi"(a6)
•fit A
En nous bornant aux e % , qui suffiront toujours ,
'=8« + 3a^ + 7olT4«
>= ^6 C ïoa4
318 5 5 ut e « 4 8 01a
On peut même négliger les , qui ne font pas une toise ou deux mètres sur le quart du méridien 5 nous aurons donc (A-AQgoV , fV , y sjn(L-LQco S (L4-LQ , t sin a (L-LOcos 2 (L + LQ x
Dans cette formule , Q sera exprimé en toises , comme (A — A'); pour l'aYoir en lignes il faudra multiplier le second membre par 864.
Soit m le mètre exprimé en lignes o. 0000864 (A — A') ( 1.570796326795) m ~~ (L — L')
X^i+fc# (L L , ; m* 4 (T-TÏ7) >) C ' 8 >
o . 000 1 357 1 68oa655 ( A — A' )
Si l'on a deux arcs différens pour calculer la valeur du mètre, on pourra dans le calcul laisser indéterminées les valeurs de e % et «*, et Ton en tirera la valeur de e* , en résolvant une équation du second degré.
Si l'applatissement étoit nul , la valeur du mètre se réduiroit au premier terme. Les deux termes suivans sont donc la correction due au mètre , calculé dans l'hypothèse sphérique , à raison de L'applatissement.
Si l'on a voit L + L' = 90° , le premier des deux termes s'évanouirait } et la correction d'applatissement seroit
0.0001357168 (A — A') ^ , sma(L — I/) + (L — L') * (L — L') '
quantité presque insensible.
Or la latitude de Montjouy est 4 1° 3 1' 45" = L'
Celle de mon observatoire de Bruyères 48 55 4 7 =L
La somme des latitudes. 8g by 3a = L + L',
ce qui difière très- peu de 90°. Ainsi l'arc entre Montjouy et Bruyères donneroit le mètre indépendamment de l'applatissement , en supposant toutefois que le méridien est elliptique.
Q = a(i-O90- = (i-Ofco*) (1 + X + H* 4 + ïà'*) -^•(i.-^-A'-.-TiO (5o)
donc
îVC^^i'Ci-^'-i^-îhO (30
degré moyen =^.Q= 1' (1 — «•) (1 + 1 e»+ if« c «)...(3a)
L'expression générale d'un degré est
1 9 (1— 0 0 — e'sin'L)"'.
Egalant ces deux valeurs , on en tire
i-**sin'L= (1 + K + £e< + H-Xf
d'où
ou
sin'L=;+ £e* : (33)
On voit donc que la latitude du degré moyen surpasse de bien peu 46° j car sin* 45°— 7
sin* L — sin' 45" = £ e % + £ e* = sin (L — 45") sin (L + 45°) Soit (L — 45°) =x; donc
L = 45° + x , L + 45 9 = 90 0 + * j donc sin # sin (90 0 + *) , ou
sin * cos * = i sin 1 x = £ e % + £ e< = yV e' (1 + 7 e')
et sin 2 x r = 77 <?' ( 1 + T «•) (34)
Si dans la formule (a4) on suppose L= o , on aura pour la valeur
du degré de latitude à l'équateur (1 — e*) arc de i° (35)
Si Ton veut le degré égal à celui de la sphère circonscrite , la formule (a4) deviendra
( 1 — ( ! — e % sin* L)~ r = t,
d'où
«in- L = - "^r 0, = ï (1 + ï * + M «'+ &c.). . . (36)
d'où l'on voit que L diffère très-peu de l'arc , dont le sinus est j/ 7. Soit G cet arc , et L — G —y y on aura
8m ' ih7(7G + y) ~ sin (toQ*a8'i6''+J) WJ
Le degré de la sphère inscrite sera ( » — e*)* arc de i° j d'où (1 — «•)»"= (1 — e'sin'L)*
et am'L==i T^7 g,), = y+T .X4-T^.i^...(58) Soit G' l'arc dont le sinus = y/ y » et^y' = L — G'
^ sin( 7 o 0 Si'44"+/) WJ;
On remarquera que G' = 90 3 — G.
D'après ces notions générales , passons à la solution des problêmes qui se présentent dans la mesure d'un arc du méridien.
Calcul d'un Arc du Méridien dans le sphéroïde
elliptique.
Soit PC (fig. 23) le demi-petit axe de la terre , PA et PB deux méridiens elliptiques , AB un arc terrestre dont on connoît la corde par la mesure des triangles, A M la normale au point A.
On connoît par observation
P M A = 90' — latitude de A = 90' — L.
On connoît encore par observation l'angle P A B , ou l'azimuth du point B sur l'horizon de A.
Il faut en conclure l'azimuth du point A sur l'horizon de B , la latitude du point B , la différence de longitude entre A et B , et enfin la différence des parallèles en toises , ou l'arc du méridien compris entre les parallèles de A et de B.
Menez B O normale au point B , joignez B M , et du point M comme centre avec un rayon arbitraire , MB par exemple , décrivez les trois arcs ba, ap y bp\ ces trois arcs formeront un triangle sphérique , dans lequel vous connoîtrez ap = 90* — L etpab = 180° — BAN - 180 0 — z.
Supposons que l'on puisse exprimer a b en fonction de la corde mesurée A B (nous en donnerons bientôt" le moyen), et nous aurons tout ce qui est nécessaire pour résoudre le triangle pab. Nous calculerons ap b — différence de longitude. p£=PMB=POB — OBM=go° — L' — OBM=9o° — V — jr=rgo e — (L'+x). Nous calculerons aussi p ba, angle des plans P B M et A B M, lequel différera très-peu de l'angle des plans PB O et AB O,
c'est-à-dire de l'azimuth cherché. Ainsi nous aurons/? 3 a =B y
B étant l'azimuth cherché , et y une petite correction , dont nous chercherons la valeur avec celle de *.
Nous connoissons A M et B O , du moins en supposant l'applatissement connu. Cherchons B M , et alors dans le triangle rectiligne AB M , nous aurons les trois côtés , et par conséquent aussi les trois angles , et l'arc a b qui mesure A MB.
Jusqu'ici cette méthode est à très-peu près celle que le cit. Legendre a donnée dans les Mémoires de l'Académie , pour 1787 j j'aurois même profité" du travail de ce savant géomètre , sans y rien changer , si , en supprimant les démonstrations , il ne m'avoit mis dans la nécessité d'examiner moi-même pour me garantir des fautes d'impression , et si la manière dont j'avois fait mes premiers calculs n'eût exigé des formules plus adaptée» à ce qui précède.
Nous avons trouvé ci-dessus AM=(i-«' sin' L)~ 7 ; d'où de même
BO = i + — G** + -^« , )cos<»L'+ j-^co»4L' Ainsi
AM-BO = (•«•+ ty) (cos a L'— cos 2 L) + £e* (cos 4 V— cos 4L)
-(!«• + f t e*)asin(L-L')sin(L+L')+^2Stn2(L-L')cos7 (L+L') = + ' » e *) sin(L— U)sin(L + L') +£e<8ina(L— L^cosaCL + L') et
BO=AM— (^*+ i^smCL— L0sm(L+L')— A« 4 «n2 (L— LOcosaÇL+L')
BM: BO :: sin BO M : sin B MO :: sin POB : sin PMB :: sin (go*— L') : sin (go°— L'— x) ::cosU:co»(L'+xy,
donc
B 0 cos V BOcosL' BO
cos ~~ cosL'cos* — sinL'sin* - cosx— tgL'sin*
= BO + BOsin*tangL'
BM =
1 — tang L sin * — 2 tin* ±x + BOsin'*xU+tang'L')
x est un angle si petit , que les quantités négligées sont insensibles.
• MO sin MOB (MC — OC)cosL'
Or(n)MC=e»sinL (i — e'sin*L)~"* = e* sin L + T e 4 sin' L
0C= ^sinL'+ieWL'
MO-0C=e* (sin L — sin L') + j c* (sin'L — sin 3 L')
= a tf'sin^L-LOcosKL+LO + 7 e«($sinL— jsinL'— \ sin3L + « sin 3L') = a^sinKL-L>osKL+L , ) + ï^sinHL— L')cost(L+L')
— i^sini(L-L')cos{(L + L') = ( ac » + I c <) 8 i n i i /Lcos(L— irfL)— ^VmîrfLcos3(L— ^rfL) = (a e' + ï <? 4 ) sin 7 d L cos L cos '-dh + (a e* + \ e^sin'îrfLsinL — ^ + sinlrfLcos3Lcos^L— i^sralrfLsinirfLsinSL =7 (2 e* + 1 e*)smd LcosL + 7 **sin'<* LsinL— J e 4 sin</Lcos3L = («' + 1 **) s»n d L cos L + ^ sin* </ L sin L en rejetant les quantités du cinquième ordre. (MC— OC)cosL'= (<?• + le 4 ) sin dL cosL cosL' + 7 ^sinV/LsinLcosL' = (e* + je 4 ) sin d L cos* L + 7 e* sin' (f L sin L cos L ,
x [(e'+le 4 ) sindLcos'L+je'sinVfLsinLcosL] (1 — igL'sin* — ^sin 1 *)
e* sin d L cos* L + 7 sin* cîL sin L cos L
(1— e*sin*L')^ = (e*8rarfLcœ*L+7e\8in'</LsinLco6L) (1 sin*L') «in * = e' sin rfL cos* L + ï«' sin* rfL «in L co« L En négligeant toujours les quantités du cinquième ordre , nous pourrons même faire
x = e % dh cos' L -f 7 <?* dh sin f/ LcosL sin L (4o)
En portant la valeur de sin x dans celle de B M , nous aurons B M =BO +BO (e*sin*rfL cos* L+ \ **sin*rfLsin Lços L) tang V = BO + BO . e*sin d L cos* L tangL' + BO. \ é*nn a dL sin'L
= BO + BO/^-^î^^y + BO.i < W < /Lsin-L 1 + tangL tang c?L
=B0+B0/ sindUnL ^ ^ g ' SiB ^!^ WL +BO.Vsin^*L
