Î(AB
AM.BM AM.BM :(AB)«
1 — e % sin'L cos* 7 rfL
6iu T AMB = iAB(i— «'sin*Lcos' r tfL) *
= jAB(i+;e' sin' L cos' \dL+'-.\e> sin 4 L cos* { dL) = ïAB(i+ie*5in'Lcos'^/L) >
et
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. 81 et même sin 7 À M B = £ AB (1 + i<?*sin'L), en rejetant les termes du cinquième ordre , on
/= AMB = AB (1 +^ 8 in*L) + £ (AB)' (4s)
ce qui ne diffère pas sensiblement de la formule du cit. Legendre ,
qui fait AMB =
AM
Nous voilà donc en état d'exprimer l'arc ab = AMB en fonction de la corde AB, connue par nos triangles j nous pouvons donc résoudre le triangle sphérique pab , qui nous donnera la latitude approchée ( L'+ *) du point B.
* est connu par la formule (4o) ; nous aurons donc V = ( L' + x ) — x.
Il nous reste maintenant à déterminer la correction {y) d'azimuth. La question se réduit à ceci.
Le plan b R (fig. 24 ) fait avec le plan b Mp un angle donné n. FIG. 24. Dans le plan bMp on tire une ligne bO, qui forme un angle connu ObM, et par bO on mène un plan abO , on demande la différence entre l'angle n et l'angle formé par les plans ab O et bMp.
Du rayon ab décrivez, i°. l'arc an dans le plan bK} 3*. l'arc nm dans le plan bp j 3*. l'arc a m dans le plan abO. Ces trois arcs formeront un triangle sphérique.
L'arc an est connu, ainsi que l'arc nm et l'angle compris n. Or
sin n
tang amn = ■ ■ •
sin m/2 cot na — cosmncosn
donc
tang (180 — amn) =
cos mncosn-anmncotna ou
tang B = ân(B-f)
cos x cos ( B — y) — sin x tang ± f car il est aisé de voir que 180 0 — amn est l'azimuth cherché , n l'azimuth approché , m n la correction x de latitude ,
et na l'angle que la corde a b fait avec le rayon de la sphère
qui nous a servi à calculer (B — y)
tnt (B -,) = un B co. x - ""^bI"' 8 ^
1«BgB- tt n g (B-^ = u n gB( l -oo«) + ^**J* £L
nny = i sin'7 * sin B coe (B — y) 4- sinB sin* tang 7 /.
y est donc d'un ordre inférieur à x, qui est déjà si petit \ donc •ans erreur sensible
siny = a sin* y * sin B cos B + sin* sin B tan g j ^
= sin x tang £ f sin B + sin* % x sin 2 B
= sin x tang 7 l sin B + 7 sin* x sin a B
= e* sin rfL cos* L tang - «f 1 sin B + ;« 4 sin*(/Lcos 4 Lsin a B y — 0* JLcos* L tang ; / sin * — 7 cTL sin c?L cos 4 L sin a je est l'aiimuth compté du point sud , ou * = (180' — B)
y=sjt*f tang / sio z cos z cos'L + 7 e* S* sin 1" cos 4 L sin a x cos* * # = -«*<Ttang/sin a «cos'L + ~ e 4 /* sin i"cos 4 Lsina*cos'*.
Le premier terme équivaut à la formule du cit. Legendre» y se peut toujours négliger.
La formule (4a) suppose AB exprimé en parties de l'unité ^ qui est le rayon de l'équateur. Pour avoir 1 en secondes , il faut diviser le second membre par R sin 1% R étant le rayon de l'équatenr en toises. Si dans la formule (2 4) on suppose dA connu en toises , elle donnera R. Ainsi tous les arcs du méridien mesurés jusqu'iei donnent autant de moyens de connoître R, Il faut seulement supposer l'applatissement connu. Pour mes^ calculs provisoires t j'ai employé à la détermination de R tous les degrés mesurés en France , et j'ai fait le calcul dans les trois hypothèses d'applatissement les plus ordinaires. Dans l'hypothèse de , j'ai trouvé R = 3274887 par un milieu entre onze arcs differens. Dans celle de 377 , R = 3273553 j enfin dans celle de 777 , R = 3273379.
Je vais rassembler ici toutes les formules que je viens de
•démontrer , et qui ont servi au calcul de la méridienne dans
le sphéroïde elliptique.
SoitR le rayon de l'équateur en toises ;
0 l'excentricité de l'elli pse, en su p posant le demi-gran d ax e«-i ;
K. la corde d'un arc terrestre , c'est-à dire un côté de triangle;
L la latitude connue d'une extrémité de K j
L'ia latitude cherchée de l'autre extrémité ;
M la longitude connue 1 , . . . #
M'ia longitude cherchée 1 com P 65 80 " ouest de o à 3oo ;
* l'azimuth connu 1 . , , Jaites f
L'rsL^^cosx + ï^sin/sin'xtangDCi + e?cos*L) z =i8o f + * — /sinrtangL' — ^sin /siua*
cosL
R sin M' cos L'
arc du parallèle , ou M en toises =
(i-e'sfc»L') T
d?=^ différence des parallèles en toises = ( K cos ? / cos z) + (Kcosi/cosx) (tg^in* tgstgL)— 5 (Kco*i f cos«)aiiii/tgi*Bra'x tg'L ( somme des trois premiers termes ) 3 ( i — e* sin* L )
— ( K cos j f cos z) tang z d z sin i".
Pour abréger le calcul , j'ai construit plusieurs table«. La
première me donnoit log (~^T^~^~~) » 1 u *^ suffisoit d'ajouter à log. K pour aroir log. la deuxième et la troisième donnoient le petit terme ; / sin / sin* z tang L ; la quatrième , la correction d'applatissement pour L ; la cinquième , le dernier terme de la valeur de z' j enfin la dernière serroit è trouver l'avant-dernier terme de la différence des parallèles en toises. J'ai appliqué successivement toutes ces formules à tous les
signaux de Dunkerque à Montjouy : tous les L', z' , M' et dP étoient déterminés par deux calculs , et d'après deux signaux différens 5 en sorte qu'à chaque pas on avoit une vérification , d'après laquelle on pou voit continuer avec sécurité. On pouvoit ainsi comparer entr'eux les azimuths observés à Watten , Bourges , Carcassonne et Montjouy } comparaison qui n'est guère moins importante que celle des deux bases.
Les latitudes observées à Paris , Evaux et Carcassonne , sans parler de celles de Dnnkerque et Montjouy , fournissent encore des vérifications du plus grand intérêt. On. voit en effet que si l'on ne fait pas pour l'applatissement une supposition exacte , on ne connoîtra bien ni e t ni R , ni J", ni L' , ni z . On verra donc , par le plus ou moins d'accord des L' calculés avec les latitudes observées , si l'on a bien supposé. Il est à remarquer que l'incertitude ne s'étend pas sur les d? , ou l'arc du méridien. En effet , le seul terme important de la valeur de d? est le premier : or il ne renferme que le cosinus de ~ «P; pour tous les autres termes , on n'a besoin , vu leur petitesse , que de connoître à-peu-près <T y z et L. 2 ne peut influer que sur le premier terme; mais si, par l'erreur de je, un </P est trop foible, le suivant sera trop fort ; en sorte qu'il s'établit une compensation nécessaire , et presque entière. Soient en effet z , z' , z" , z'", Stèles azimuths qui servent à calculer les d P successifs ; on a z' = 180" + z i z" = i&V + z 7 , z'" = 180* + z" &c. Ainsi les cosinus de z ont successivement les signes + et — .
J'aurois pu , dans les expressions de z' et de M' , éliminer lf, et n'employer que L j mais les formules seroient devenues moins simples , et même moins exactes.
L'avantage de toutes ces formules, est de n'exiger aucune figure , aucune attention , si ce n'est celle qu'on doit aux signes algébriques des sinus et tangentes. Cette seule règle conduit le calculateur d'une manière aussi sûre que facile et commode.
La formule par laquelle je détermine la différence des parallèles en toises, a pourtant un inconvénient que je ne prétends point dissimuler , et le voici. Elle suppose qu'on ait calculé d'avance
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. 85 les latitude» de tous les signaux , et leurs azimuths sur l'horizon l'un de l'autre. Ces calculs sont assez longs; mais ils ne sont pas sans intérêt. D'abord , pour les latitudes et les longitudes , elles sout un des résultats les plus intéressans de l'opération , et il ne seroit pas permis de les omettre pour les clochers ou signaux placés dans quelque ville ou sur quelque montagne célèbre. Quant aux azimuths , sans être tout-à-fait aussi importans , ils ne paroîtront pas non plus absolument inutiles , et les auteurs de la Méridienne vérifiée les ont rapportés dans leur ouvrage , quoique leur méthode de calcul ne pût leur donner ces angles qu'à plusieurs minutes près. Je ne me serois donc pas dispensé de ce travail , quand même il n'auroit pas été nécessaire dans ma méthode pour déterminer l'arc du méridien. Ainsi cette objection me paroît légère.
La méthode que le cit. Legendre a donnée dans les Mémoires de 1787 , et qu'il vient tout nouvellement de recommander encore aux géomètres , a l'avantage de n'exiger que la connoissance des côtés et des angles des triangles avec un seul azimuth. Cet avantage est précieux ; mais il est acheté par des inconvéniens assez graves.
Premièrement , les vérifications sont rares et difficiles , surtout dans les endroits où elles sont nécessaires; de sorte qu'une faute commise au commencement du calcul , et dont on ne se seroit pas apperçu faute de moyens de vérification , affecleroit toute la suite de l'opération. Eh ! qui peut s'assurer de ne pas se tromper dans le calcul de plus de cent triangles , tous enchaînés les uns aux autres?
Je suppose qu'on ait calculé la partie A M de la méridienne , voyez ci - dessus , pag. 3 du Mémoire du cit. Legendre , on pourra la vérifier en la décomposant , et en calculant d'abord la partie comprise dans le triangle ABC, et ensuite celle qui est comprise dans le triangle B CM. Mais quand on aura calculé la partie M O , la vérification sera- 1- elle bien commode ? Ne peut-il pas arriver que le triangle M F O soit très-obtus en F , et très-aigu en M , qu'une très-petite base opposée à un angle
86 DE LA DÉTERMINATION très- aigu serve à conclure un côté considérablement plus grand? Dans ce cas, pourra- 1- on espérer quelque précision? Qu'on ait , par exemple , un angle de 9* $ un dixième de seconde donnera 1 53 parties de variation dans le log. sinus. Il faudra donc tout calculer en centièmes de secondes : alors la méthode ne perdra-t-elle pas beaucoup de sa simplicité et de sa brièveté ? Autre inconvénient; après avoir calculé les lignes CM et CD, et trouvé leurs logarithmes , il faut passer aux nombres pour
conclure la différence D M , et chercher le logarithme de D M.
On ne peut répondre de 0,00 1 , ni sur C D ni sur C M : ainsi DM
pourroit être en erreur de 0,002.
Je ne nierai pas qu'avec un peu d'adresse , et en imaginant de nouvelles constructions à chaque cas embarrassant qui se présente , on ne puisse atténuer beaucoup les erreurs ; mais cette recherche même est pénible.
Dans ma méthode , au contraire , on n'emploie que les logarithmes des côtés j on n'a aucun besoin des nombres : presque jamais je n'emploie que des sinus d'angles au-dessus de 6o° , et ils varient peu. Je n'ai qu'un nombre à chercher , qui demande quelque soin , c'est celui du terme K cos j f cos z ; et quand je m'y tromperois de quelques millièmes de toises , l'erreur se bornerait à ce terme, et n'auroit aucune influence sur les calculs suivans.
Voilà les raisons qui m'ont engagé à chercher des méthodes . nouvelles. J'en avois trouvé plusieurs ; je n'ai donné ci-dessus que celle qui m'a paru la plus simple. J'en avois employé deux dans tous les calculs entre Dunkerque et Orléans ; mais les trouvant par-tout d'accord , je m'en suis tenu à la plus facile , d'autant plus qu'elle portoit avec elle sa vérification; et voici en quoi elle consiste. La différence des parallèles de A et D se FIG.jd.3. compose des distances entre A et B , B et D d'un côté j mais on peut la trouver également en prenant la somme des distances entre les parallèles de A et C , C et D j on peut aller directement de D en F , ou de D en E , et puis de E en F ; et c'est ainsi que j'en ai usé par-tout.
b'UN ARC DU MÉRIDIEN. 87
Au reste , malgré les objections auxquelles la méthode que je
riens d'examiner me paroît sujette en quelques circonstances ,
je n'ai pas laissé de remployer aussi pour confirmer les résultats
de mes autres calculs. De Dunkerque à Orléans , sur un arc
de 179,000 environ , la différence étoit à peine.de 0,1 , quoique
je n'eusse calculé qu'en dixièmes de secondes. Il est vrai que
jnsqnes-Ià je n'avois rencontré aucun de ces cas embarrassans j
mais ils se sont accumulés entre Orléans et Bourges; et alors
sur un arc de 225,5i5, la différence étoit de 0,55, c'est-à-dire
de ^* QQQ i cc «P» est > an re8le » aS8ez P eu important.
On a reproché à ma méthode la longueur du calcul que nécessite la réduction des angles sphériques aux angle» de» cordes } on a en effet trois calculs à faire pour chaque triangle. Dans l'autre méthode , on n'en a que deux j mais , dans la mienne , on est dispensé du soin de construire une figure , et cela fait au moins compensation j et l'on a en outre incomparablement moins de logarithmes à chercher péniblement dans les tables.
Dans ma méthode , il est beaucoup plus facile de déterminer et de corriger l'erreur produite sur la longueur de la méridienne , par une petite erreur sur l'azimuth primitif.
J'ai dit que la méthode anciennement employée pour comparer les azimuths observés aux deux extrémités d'une chaîne de triangles, étoit défectueuse. On supposoit tous les méridiens parallèles , et on ne calculoit la convergence que pour la dernière station. Aussi trouvoit-on des erreurs assez graves. Boscowich , dans son Poyoge astronomique , pag. 147 > trouvoit 83" de différence entre l'azimuth observé à Ri mini et l'azimuth calculé d'après celui de Rome , c'est-à-dire à l'autre extrémité d'un arc de a* 10'. En recommençant le calcul par ma méthode , j'ai réduit l'erreur à 34". A la page 3z3 du même ouvrage , Boscowich se donne beaucoup de peine pour expliquer par les observations l'erreur qui ne vient que du calcul. En vérifiant de même le»
azimuths de la Méridienne vérifiée depuis Dunkerque jusqu'à Perpignan , j'ai considérablement diminué les erreurs qu'on avoit trouvées en 1740» et il ne restoit plus guère que celles qu'on peut raisonnablement attribuer aux observations.
L'opération faite en 1787 pour la jonction des Observatoires de Paris et de Greenwich , est la première , que je sache , dans laquelle on ait fait attention à l'excès sphérique des trois angles sur 180 0 . Auparavant , cet excès restoit confondu avec les erreurs des observations ; et quand on répartissoit les erreurs également sur les trois angles , on se conformoit d'avance , et sans le savoir , au théorème du cit. Legendre. On sentoit bien que , dans des triangles dont les côtés ne sont que de quelques minutes , l'erreur ne pouvoit être bien considérable ; mais personne n'avoit donné de formule pour évaluer cette erreur. C'est en tâchant de le faire que j'ai vérifié de la manière suivante le théorème curieux du cit. Legendre, que je n'avois pu me démontrer directement.
L'excès sphérique a pour expression i AB.AC.sin A = £ BC.AC.sin C = |BC.AB.sin B. En répartissant cet excès par égale portion sur les trois angles ; on employoit, au^lieu de A, l'angle (A — ^AB.AC.sin A); an lieu de B , l'angle (B — ^ B A.BC.sin B). On faisoit donc
BCsin(B — ^B A.BC.sinB) BC sin B— BCcosB.^BA.BC.sinB sin (A— iAB.ACsinA) ~ sin A — cos A.^ AB.AC.sin A
5£^J? - i BC cos B.B A^BCsinBx si n A \ sin A /
~~ '. 1— ^AB.AC.cosÂ
= — -^r-(i — tBA.BC.cosBUi + £ AB.AC.co8 A) sin A
= BC . 8l ° B ( 1 — i AB.BC.cosB + i AB. AC.cosA) sinA • •
= ^X^C* +iAB(ACcosA-BCcosB)].
Or, dans le triangle ABC, imaginez la perpendiculaire CD
abaissée
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. «g abaissée sur le côté AD, AC cos A — B C cos B sera la différence des segmens de la base A B , et cette différence
(AC + BC) (AC — BC) , = — ~* ~ j donc on faisoit
AC = BC ."° B [i + -;(AC +BC) (AC-BC)] sin A L 6
