A-[ ,+ ^ AC - BC >J

= BCsinB AC

sinA ' v '

BC sin B — , , —»

«= — r-r — + £ AC — ^AC.BC

AC-ÉÂC^^J-S-iAC.BC!

, BClsin B (BC — j BC 1 ) sin B

6 sin A sin A '

sin A B C sin B

sin A

, . ,. . . ~ sinBCsinB „, . , c'est-a-dire sin AC = .— r , on l'équation que donn»

le triangle sphérique.

Dans les transformations successives que nous avons fait subir à notre équation primitive » nous n'avons négligé que des termes, comme ^ (AB. AC. sin A)*, et d'autres pareils ou plus petits encore : ainsi le théorème a toute l'exactitude qu'on peut désirer dans la pratique.

On peut donc remarquer , d'après ce qu'on vient de lire , qu'on peut , dans la résolution des triangles , suivre en tout la méthode vulgaire , toutes les fois qu'il s'agit simplement de calculer la longueur des côtés. En effet , l'excès sphérique n'est plus alors qu'un objet de curiosité qui peut faire juger de l'exactitude des observations. Mais l'excès sphérique étant renfermé dans des limites assez étroites , ou peut avoir une idée exacte de la précision obtenue , sans faire ce petit calcul. Dans notre

9 o DELA DÉ TERMINATION méridienne , par exemple , l'excès sphérique n'a jamais été au-dessous de o",3 ni au-dessus de 4",i. Ainsi , en considérant la carte des triangles , on estiraeroit à 1" près l'excès sphérique , et l'on sauroit par conséquent avec la même précision quelle est l'erreur des observations sur la somme des trois angles.

On pourroit donc se dispenser de connoître l'excès sphérique pour les triangles principaux , s'ils étoient les seuls qu'on eût à calculer. Mais il n'en est pas de même des triangles , dans lesquels les premiers sont décomposés par la méridienne qui les traverse. Dans ces triangles partiels , on connoît ordinairement un côté et deux angles j d'où l'on conclut le troisième en complétant les 180 0 . Aucun des angles ainsi formés n'est à sa valeur véritable. C'est alors que le théorème du cit. Legendre devient indispensable, si l'on veut calculer avec exactitude ces triangles partiels , et la partie de la méridienne renfermée dans chacun d'eux. Quand les triangles partiels ont très - peu de surface , l'excès sphérique est insensible ; et c'est encore ce qu'on avoit pressenti dans l'ancienne méthode. Par exemple , dans la Méridienne vérifiée , on voit que , pour déterminer 1-arc du méridien , on choisissoit de préférence les côtés les plus voisins de la méridienne , et ceux qui formoient avec elle des angles fort aigus. Dans ce cas , les triangles rectangles formés par les côtés «les triangles primitifs et les perpendiculaires abaissées de chaque signal sur la méridienne , avoient fort peu de surface , et l'on pouvoit , sans erreur sensible , les traiter comme rectilignes , en négligeant même l'excès sphérique. Cependant , comme il étoit impossible dans la pratique que tous les côtés nécessaires eussent , par rapport au méridien , une position aussi favorable , il en résultoit des erreurs qu'on évite sûrement en employant la méthode du cit. Legendre , ou celle que j'ai donnée cidessus.

H seroit très-embarrassant de déterminer ces erreurs à priori ; . pour les connoître par expérience , j'ai calculé l'arc entre Dunkcrque et Barcelonne par ma formule et par l'ancienne méthode. L'erreur de celle-ci étoit de 8 mètres sur nooooo,

D'U N ARC DU MÉRIDIEN. t)i

ou de-— ^ — j entre Duukerque et Bourges , l'erreur éloit

à-peu-près dans la même proportion avec la longueur de l'arc. J'avouerai que je m'attendois à des erreurs plus graves.

Hauteurs des Sommets des Triangles au-dessus du niveau de la Mer, et moyens pour déterminer la Réfraction terrestre.

Soit (Jîg. a5.) C le centre delà terre , A et B deux signaux, FIG. 25. ZAB l'angle entre le zénith du signal A et le sommet du signal B, VBA l'angle entre le zénith du signal B et le sommet du signal A

ZAB = 180° — BAC VB A = 180 0 — ABC ZAB + VBA=36o* — (BAC + ABC)=36o°— ( 1 8o*—C)= i 8o° + C.

Ainsi la somme des deux distances au zénith , observées réciproquement aux deux signaux, devroit surpasser î&V d'une quantité égale à l'angle C , c'est-à-dire à l'arc de grand cercle mené d'un signal à l'autre sur la surface de la terre réputée sphérique.

Pour que cette équation fût vraie , il faudroit dans les deux observations placer le centre du cercle au sommet même du signal où l'on observe ; et c'est ce qui n'a jamais Keu dans la pratique. Le cercle est toujours au-dessous des sommets A et B d'une quantité que j'ai nommée rfH, et qui se trouve parmi les observations dans la préface de chacune des stations.

Le cercle étant donc placé ena, au lieu d'être en A , on a réellement observé Z a B , au heu de ZAB. La distance observée est plus petite que celle qu'on auroit observée au sommet A; et pour la réduire au sommet , il faut y ajouter l'angle

ABo = ZAB — ZaE.

Or , suivant la formule donnée ci - dessus , page 3a , le triangle AaB donne

A / A a \ sin A a B , / A a \' sîn a A a B

ABo = ^TbV "sbT 7 " + t V7bV -

./Aov' sin 3 AaB .

Soit a = A a B = dist. zén. observée , A a = rfH , oB = D , ABa = d à ,

, /^H\ sin a f /c?H\*sinaA

Cette série est extrêmement convergente , à cause de U peti-

tesse de la fraction » et l'on peut toujours s'en tenir

au premier terme , d'autant plus que le second a pour facteur sin 2 a, qui diffère très-peu de sin i8o°, lequel = o. On fera donc

, tf H sin a Dsini"

Cette formule suppose que l'on connoît D = aB , c'est-à-dire la distance rectiligne du cercle a au sommet du signal B ; au lieu que le calcnl des triangles donne la corde de l'angle C pour une sphère dont le rayon est la distance de l'horizon de la mer au centre de la terre ; et cette corde est pins courte que la distance a B. Pour évaluer l'erreur , soit K la corde connue , et D — K + x } on a donc

rfHsinA /dU\ sin a </HsinA

/«H\ sin a tf H «m a / x x* B \ 1 + K

Soit R le rayon de la terre au niveau de la mer , R + dR la ligne menée du centre de la terre au sommet du signal ,

R + dR : R : : D : K j

d'où

D'UN ARC DU MÉRIDIEN. g3 Donc ~ = ; donc

rf4 =TûnrF('— ir + (-R-)- &c )

Dans le cas le plus défavorable que j'aie rencontré , le second ternie ne passoit pas o",oi5} on peut donc le négliger.

Les distances au zénith , corrigées de cette manière , satisferoient à la règle ci- dessus , et l'on auroit

A + dA + &'+ d^~ i8o°+ C.

Soit pour abréger / = a + c? a et <f / = a' + d à' j on auroit donc

Mais la réfraction terrestre élève tous les objets. L'objet A se voit en A' , et B en B'. Nous avons par l'observation corrigée , oomme il vient d'être dit , Z A B' = <P et VBA'= t'. Soient r et r' les réfractions terrestres

ZAB = ZAB' + BAB'=H r

VBA = VBA' + ABA'=/ + /*

donc

ZAB + VBA = /+ r + «T + r '= i8o°+ Cî

d'où

r + r' = i8o° — (*+/') + Cj

et si l'on supposé r = r' , comme on est encore obligé de le faire

r = 9 o--K^+^) + îC=iC-H^ + «^-i8o-).

Il existe un rapport à-peu-près constant entre r et C. Pour le trouver par les observations , on aura

ZAB = X+r = / + 9 o'-K-i^+îC=9o e + iC+KJ > -n VBA==^+r'=/'+ 9 o'-^-^ + iC = 9o' + iC-j^~/), Pour trouver la différence de niveau entre deux signaux , c'est-à-dire la différence des distances AC, BC,des signaux

94 DE LA DÉTERMINATION * FIG. u6. A et B au centre de la terre réputée sphérique , soit {fig. 26) CB'= CAj BB' sera la différence de niveau. Menons la corde A B'. Nous savons que Z A B = + r , et B AC = 90"— ' C ; donc

B AB = 1 8o° — ZAB— B'AC= 1 80* — l — r — 90* + { C=go" + [C — (/+ r) ABB'=AB'C — BAB'= 90 0 — 7C — 90 0 — ïC+(f+r) = î+r — C. ' Or le triangle B AB' donne

, AB' sin BAB' K sin ( 90' -f j C - / — r ) aiS ~ sinABB' ~ sin ( ^ + r — C )

Ksin(i8o°— 90"— jC + Z+r) K sin (90° — 7 C + + r) ~~ ain(/+r — C) ~~ sin + r — C)

Kcos ( T C — ï— r) Kcos(.r + r — 7 C) ~~ sin^+r — C) ~~ sin (/• + r — C) 9

Kcos (<r+r— 7 C) Kcps^-f r — T C)

sin(^+r-iC-iC) ~~ sin(i l +r-iC)cosiC-cos(/+r-^C)sin;C Kcot(X+ r — jCJsec jC — 1 — tang 7 Ccot(J*+ r T C)

g= KC '"co.Tc" ~ ) f ' + taa ^ C - COt C* + «— IC> + I»] Le premier terme suffira le plus souvent.

On aura une expression plus commode en éliminant r ZAB= 9 o' + iC + *(JW)

BAC = 180* — ZAB = 90 0 — 7 C— 7 (JW) = 90'— ; C + ï (J"— /) B'AC = 90 0 — \C BAB' =BAC — B'AC= 7 (/W) B'B A=p 180 0 — VBA= 90 0 — 7 C — f (/'— <r) ;

d OU 11 y = û IN — -—777? — TTr-T — — \v .

CO s ; (<fW+C) CM ^ + . C ^

= Ksin 7 (^—

cos i (f— /) cos 7 C — sin T (/"— sin 7 C Kta ng T (J / — »ec 7 C x — tang T Ctang7(r— /)

- Kta ^ c ^^ ['+tan 8 7CtangK^+&cJ

série dont le premier terme suffira le plus souvent, et dans laquelle on pourroit même supposer cos ; C = i . De la formule exacte on tire

rfN— dNtangiCtangK*'—*) - K * an g î / ) sec t c rfN = K sec C tang ( — /) + dN tang ± C tang \ (f— /) ,

et enfin

rfN rfN cosj C

tangK<r— /) - Ksec i C + < J N t an S ^C ~ K + dtilinfC