COS
Le premier terme suffira le plus souvent.
On aura une expression plus commode ea éliminant r ZAB = 9 o° + iC + 7('— /')
BAC= 180* — ZAB = 9 o°— T C— i (M') = 90 9 — ; C+ i (/'—/)
B'AC = 9 o°— T C
BAB'=BAC— B'AC=ï (J" — /)
B BA— 180 0 — VBA= 90' — 7 C — r Z) ;
d'où BSWN = K ^-') = KrinjC-Q co8^W + C) C08 ({±f + . c)
^ Kwn
cos f (f— /) cos 7 C — sin 7 (Z'— Z) sin 7 C
KtangjÇJ' — /) secjC 1 — tang 7 C tang 7 ( Z' — Z)
c Kt ^[c" /) c,+t " g ^ CtaggK ^ +&c - 3
série dont le premier terme suffira le plus souvent , et clan» laquelle on pourroit même supposer cos { C = i . De la formule exacte on tire
JN — dN tang T C tang K^'— - Ktang J- (J*— <r)sec T C rfN = K sec i C taog £ ( J" — /) + rfN tang i C tang i /) , et enfin
tang T ( <f) - Ksec , c + j- Nlang . c - K - + ^ Nsin ; r- c -jT- cos j C
i + -j^- sm 7 C
Si nous comparons terme à terme cette équation a celle qui nous a donné ci-dessus la surface du triangle sphérique , c'està-dire à
m sin A
nous en tirerons y — \ (£' — S) , m = ^-jv-) » cos ; C = sin A
sin 7 C = cos A ; d'où A = 90' — ^ C. Or nous avons vu que la valeur de>- pouvoit s'exprimer pour la série suivante
y = m sin A — J- m* sin aA + yW 1 sin 3 A — &c.
donc
; (j v *) =(nr) sin (90"- ; c >- K-xO* S in (.80°-} q
+ K"K") sin( a7 o 0 --:C)-&c.
^() cos , C -i(— )smî-C-i(— ) cos'C
+ ,(^)\ in ,C + |(-^i) 5 S inlC--&c.
série dont le premier terme suffira presque toujours. Dans ce cas
Ik ; ~ K.'sini* ~ 3 Rsin ï Csini''~~VR s i Q1 J col ï^»
g6 DE LA DÉTERMINATION
ou bien en conservant le second terme , qui suffira toujours,
-= (iffîÎA cot T C , / <*N Y sin r C cos{C
^ R / sin i 1 VaRsin^C/ sin 1"
/ j rfN ^ rot | C /jdNs* sinjCcos^ C
\ R / mui" \ R / sin^Csini'
/î</Nv cot|C / 7 tfNy cot : C
\ R / sin 1" v R / sin i"
— £ ( i^îL) — (* rfN y J cot 7 C
sin t"
Ainsi, connoissant c?M et K ou j C, on calculerait î — et si Ton observoit <T ou P , on en conclurait
/^Z+if/'—/), ou /=^— T (^~«^)î mais il est plus facile d'observer / et <T' que de mesurer rfN.
On voit donc commenW^n pourra trouver l'élévation de tous les signaux par rapport à un même horizon , par exemple , celui de la mer. Ainsi , dans l'opération de la méridienne , on connoissoit la hauteur de la tour de Dunkerque au-dessus de la mer. Le calcul fait sur l'une des formules précédentes , donnoit l'élévation des deux signaux voisins au-dessus de la tour de Dunkerque. Connoissant ainsi l'élévation des tours de Cassel et de Watlen au-dessus de celle de Dunkerque, on en avoit la hauteur au-dessus de la mer , en ajoutant à ces élévations celle de la tour de Dunkerque au-dessus du même niveau. Ainsi soit h la hauteur de la tour de Dunkerque au-dessus du niveau de la mer, «?N et rfN' les différences de niveau entre Dunkerque et Cassel , Dunkerque et "Watten.
La hauteur de Cassel au-dessus de la mer étoit h + <f N, et la hauteur de Watten h + JN'.
La hauteur du signal suivant, qui étoit celui de Fiefs, pou- Toit se déterminer par WatteM ou par Cassel j les deux calculs se vérifioient mutuellement , et s'il y avoit une différence , on pouvoit prendre le milieu,
C'est
C'est ainsi qu'en supposant la terre sphérique , on pourroit déterminer les différences de niveau pour les sommets d'une longue suite de triangles.
En retranchant de ces hauteurs la longueur du signal , on auroit l'élévation du sol au- dessus du niveau de la mer.
Remarquons que dans ces formules , J" est la distance observée au lieu dont on connoît l'élévation , et # la distance observée au lieu dont on cherche l'élévation. Si > J 1 , dN est additif; si # < ^, dN est soustractif.
Ilpeut arriver qu'on n'ait point observé ^, mais seulement P t et qu'on ait besoin de <*N. Dana ce cas , il faut éliminer l de la formule
rfN = Kcot(/+r-- |C) +u i C cot (<r + r i C) + &c j CO87V/
Or / = 180 0 -/' + C-2r; donc
/+ r — fC=i8o a — C — îr+r- = i8o s — ^+ ^C— r>
donc
m = Kc ° t (- 8 ^ ( :^ r > [l+ , 8 ;Cco 1 (.8 0 --^ + -;c-r) + M
= - KCOt oo 8 + ;7' C) t —t^K J C cot + r- 1 C) + &c]
Mais r=nC, n étant uu facteur constant dont nous allons bientôt nous occuper. Ainsi
<fN = - KCOt[ ^C~ — C' -"»6i W U„) C )] C'est par cette formule qu'à l'aide des signaux de Melun t Lieusaint et Mal voisine , dont je coanoissois les hauteurs au-dessus de la mer , j'ai déterminé l'élévation au-dessus de la mer f pour le point où la base de Melua faisait un coude.
Si l'on connoît * , alors en mettant n C pour r dans la formule , on a
rfN=*+ — ° tl ç^c n)C - [l +t«wSCcot(/-.(i-i,)C)].
Si l'on apperçoit l'horizon de la mer d'un lieu où l'on observe , on peut immédiatement en conclure la hauteur de ce lieu audessus de la mer i il suffit de mesurer l'angle entre le zénith et l'horizon de la mer.
F1G. 26. Soit A l'horizon de la mer, et B le point dont on cherche la hauteur; prenez CB'=CA, BB' sera la hauteur cherchée. L'angle A est droit ; ainsi
BB'=ACsecC— AC=AC(secC— i)=ACtgCtgi C=RtgCtgîC} mais
0=90° — B=ç)o 0 — (180 0 — VBA) =90° — 180° + 1=1— 90% donc
BB' = R tang (<f — 90 0 ) tang i ( <N- 90 8 ). Cette équation seroit exacte sans la réfraction qui élève l'horizon de la mer, ainsi que tous les objets terrestres. Ainsi, au lieu |de <T , il faut mettre dans la formule / + r, r étant la réfraction j donc
BB' = R tang (J+r— 90 e ) tang i (/+r— 90 8 ) :
mais
r=nC = n(tangC-itang 3 C)=«[tg(<r-90-)-ïtg s (^-go«)-]î donc
BB'= R tang 90° + (sLn^) 1 ^""^ 0 *^] ^ [^"9°° sïni* 1 ^ - "^ 0 ^ J = Rtang [/-9o'+ n (^-9o 0 )] tang^ [*-9<> 0 +/»('-9<> e )] = i R tang* 90° + n (J^— 90°) 1 = iR tang- [ (1 +»)(*- 90 e )]
élévation au-dessus de la mer = £ (1 +»)* R tang* 90 8 ). A présent
r iç -.i(;+ ^—180') *=c = C *
On voit donc que , pour déterminer n , il suffit d'avoir observé les distances au zénith réciproques f et f de deux lieux dont la distance soit connue , et que j'ai pu avoir autant de déterminations de n qu'il y a de côtés dans la suite de mes triangles , depuis Dunkerque jusqu'à Rodez.
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. 9g n varie suivant l'état de l'atmosphère. Mon dessein n'est point d'entrer ici dans le détail de mes observations , et je me contenterai de dire qu'en été n m'a paru d'environ 0,075 j en automne et au printemps , de 0,08 ; en hiver) de 0,09 à 0,10. On peut supposer 0,08 le plus souvent.
Différence de Niveau sur le Sphéroïde.
Si la terre étoit sphérique , deux objets seroient de niveau s'ils étoient dans une même surface sphérique qui anroit pour centre le centre même de la terre , quel que fût d'ailleurs le rayon de cette surface.
Si la terre est un ellipsoïde , deux objets seront de niveau quand ils seront à la surface de l'ellipsoïde aqueux , ou à la surface d'un ellipsoïde semblable et concentrique au premier , et d'un rayon quelconque.
Dans \a/ig. a3 , la distance de B au ténith de A est 180 0 — MABj FIG. a& mais la distance de A au zénith de B est 180* — O B A = 180 0 — (MBA — MBO) = 180' — (MBA — u). OBA a pour mesure l'arc a m , fig. 2 4. Or FIG. 2/.
cos a m =s= cos n sin a n sin m n cos a n cos m n j donc cos OBA ou cos (MBA — u) ou
cosMB A cos u + sin ME A sin u=cosBsin MBA sin*+ cosMB Aco&r; d'où
— » sin * sin MBA cos z + cos MBA cos x — cos MBA cos u
smu — •
sm M B A
= — sin x cos z + cotMBA(cos«— cosw), ou sans erreur sensible
u = —- sin x cos z — — e* dL cos* L cos * = + e* AMB cos' L cos» z — + «* M cos* L cos'*. Soient
/ — ,8o« — MAB, f = i8o # — OBA , r = 1 8o° — M B A = 1 8o° — (OB A + «) = 1 8o # — OBA — u = ^ — m =3 — e % M cos* L cos' z.
ioo DE LA DÉTERMINATION Pour éviter la confusion , j'appelle ici M l'angle AMB, que j'ai désigné par la lettre / dans les formules des pag. 81 , 8a et 83. On aura
f+ S"= 36o° — M AB — MBA = 36o° — ( 1 8o° — M ) = i8o'+M. Sans la réfraction terrestre , cette équation auroit toujours lieu sur l'ellipsoïde ; et elle ne diffère de l'équation dans la sphère que par la correction très-légère qu'il faut appliquer à la distance observée S* pour avoir ï" , et par la valeur de M , qui , pour une même corde A B , change de valeur suivant la latitude. Voyez la formule (42). Mais, à cause de la réfraction terrestre, on aura
+ + ar = 180'+ M
r = £M — + »*>") r T M — + 180') M ~~ M Ces trois équations , qui sont données par les angles formés extérieurement à la corde AB par le prolongement des côtés MA et MB , et qui ne supposent pas l'égalité* de ces côtés , sont analogues à celles que donne la sphère. On peut le vérifier sur la figure a5 , en lisant M dans celte figure au lieu de C. Avec ce changement , la figure a5 va nous servir dans ce qui nous reste à dire sur la différence de niveau.
Nous aurons encore , comme dans la sphère , Z AB =Hr=HïM- \i— 90°= o,o°+ 7 M — \ (*"— /) VBA=r + r~r +-;M— î ^"+90°=90° + iM + 7 (r— /).
Dans la sphère , quand deux objets sont de niveau , leurs distances au sommet de l'angle C , c'est-à-dire au centre de la sphère , sont égales j dans l'ellipsoïde , au contraire , l'angle M n'est pas au centre de la terre , et les distances au centre , ainsi que les distances au sommet M , sont inégales , à moins que les deux objets ne soient sur le même parallèle ; et cette inégalité rend moins simple et moins aisée la détermination des différences de niveau. Cette même inégalité entraine à sa suite celles des angles MAB et MBA lorsque les deux objets sont dans une même surface ellipsoïde.
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. 101 Soit .y = i (MBA — MAB), nous aurons
/ AM — BM\ , 0 , UW = ( am + Bm ) taI * ( 9°
» (AM-BM)cot;M mm emiir ^ f a AM
AM — BM AM— BM AM — BM
2AMtangiM~"*AM«niM " AB '
et
X=^^î, MAB= 9 o«-iM-j, MBA= 9 o°-tM+jK.
Supposons maintenant que le signal , au lieu d'être en B FIG. a5. (fig. a5 ) à la surface de l'ellipsoïde , et par conséquent de niveau avec A , soit en b' au-dessus de la surface , B b' sera la différence de niveau , ou Bô' = </N. On aura
BA*'=iSV— ZA*'— BAM=i8o°— (^+r) — go'+ïM+y
Aè'B = ABM— BA*' = 9 o'— iM+^— so 9 +(/+r)— iM— y = (*+ r — M).
* r . • i u a i> a u / AB sin BAb'
Le triangle aAb donne Bb = : — r-rrs — » ou
su Au D
K sin [90'— (t+ r) + i-M + K cos (/+ r - j M -.y) sin (/+r — M) ~" «n(f+r— M)
Kc o»(/+r— {U+y) Kcos(«r+ r — jM — y)
S in(/ +r — iM-j^— iM+j') ""«in [/ + r -ÏNL-y-<èM-y) ]
Kcos (cr-f r- jM-y)
~sin(/+r-iM- r )cos(iM-^)-cos(^+r— iM-7)sin(îM-^)
( „ , , M r-)cot(/ + r-iM-^)
n cos 7 (M — y) s
= 1 cot (Hr-iM-^) tangi {M— y)
ios DE LA DÉTERMINA T;i ON
Si l'on veut que la formule dépende de on substituera à ( sa valeur 180 0 + M — (/"+ ar),et l'on aura KcosQ go^M -r-a r+r— jM- y) Kco?(jM-r-r-y) ~~ sin(i8o* + M— ^"—2 r+r— M) sin( — S"— r)
K cos (J* + r— jM+y) ^ K cos (J* + r — 7M +>)
— "*~ «in (/"+ r) sin (/+r— îM+^+fM-y)
Kcos [r+r— ( T M— ^JJ
= ~~ [j+ r—(iM-.^)] cos (~M— >■) + cos [/+ r~( î M-7)]sin( î M--.y)
« .(^)col[^+r-GM^)] [i+tg( 7 M-^)]cot[r4r-(iM^)].
Eliminons r en mettant sa valeur r = £ M — £ / — r + 9©° ; nous aurons
= sin^+iM-^-ir+go'-M) "~ rinG*-*f-*M+90<)
Ksin(QQ <> -^+v^^-9o' ) = Ksin[-; ( r-/)+^1 ~ sin(i8o'-^+ï^"+iM-9o°) «■ faP'- + i M 3
K8in[l( r-/) + ,vi ^K^+O
- cosK'-r- M) c° 8 i ( r — * + M )
Ksin(j^i-r>) K sin(^+,) ~ cos (^=i + ÎM) cos + .y + (iM-oO)
( cosGM^)) taag ( £ V i ^^)
» — tang (î M —y) tang ( — — + .y)
uiguiz
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. io3 d'où l'on tire , en opérant comme page g5 ,
Si l'on suppose y — o dans tontes ces formules , on retrouyera toutes celles que nous a données ci-dessus l'hypothèse de la terre sphérique } et cela doit être. ,
On peut presque toujours sans erreur sensible faire
rfN = Ktang(l^f + ^) =
i — tang^ tang — - — J et même
dN = K tang (^^-) + K tang y
= KtaD «C— ) + K (-ÂB-) = K tang (— — ) + (AM — BM) j mais par la formule (4i) , page 79 ,
AM-BM=AM— BOfi+fl'sinc/LsinLcosL+e'sin^Ld— ]cos*L)] =AM— BO[i+e , sin<fLsinLcosL+e«sin*rfL(-fh|cos2L)] =AM— Bofi+c'sinrfLsinLcosL— ^sin\fL(i-3co82L)] = i + -;ff"sin*L+i.^sin 4 L — î—^sin'L'— \. ie*sin 4 L'
— e* sin dL sin L cos L— ; e 4 sin dL sinLcosLsin'L — -±e*sin % dL(i — 3 cos 2 L) rs^'Csin'L-sin'L'j+lc^sin^Llsin^')— ^sindLsin'LcosL
— e'sin dL sin L cos L— j e % sin* d L (1 — 3 cos 2 L) = ie*sin(L — L')sin(L + L') — e* sin (/LsinLcosL + \^d(fivo*L) — ^sin û?Lsin 3 LcosL — ^sin'tfL(i— 3 cos 2 L) = 7«*sin d L sin a L cos d L — ïC'sint/LcosaLsint/L— e'sindLsinLcosL+^sindLsû^LcosL -ï» 1 sin" dL ( 1 — 3 cos 2 L) — ^c 4 sinrfLsin 3 LcosL = j e'sin dL sin a L (cos c?L— 1 ) — {e*s\n*dL{{ — y cos 2 L)
+« 4 sinfl?Lsin 3 LcosL,
io4 DE LA DÉTERMINATION
ou A M — BM •
=R(— ; e'sin c? L cos'L— -<?*sin\/LsinL cosL+e<sin<f L sin'LcosL).
Le premier terme dans notre méridienne ne passe jamais o, 1 5 1
et il décroît comme le quarré de cîLj le dernier ne passe ja-
mais o,i5, et il décroît comme </L. Le second terme est ion-* jours insensible. On peut donc négliger y.
Quant à la correction de <P, son effet sur c?N est
ïKe* sin M cos* L cos* z ,
t. *• et cette valeur n'est que de 0,6, en supposant K = 3oooo et
cos* L cos m z = i . Or ce dernier facteur en France ne passe guère 7. On peut donc aussi négliger ce terme ; car il est fort au-dessous des erreurs de l'observation et des variations de la réfraction terrestre.
On peut donc calculer les différences de niveau comme sur la terre sphérique. Cependant l'applatissement n'est pas toutà-fait négligé tant qu'on emploiera l'angle
Mais comme ce terme influe lui-même très-peu sur le résultat r on peut dans ces calculs faire pour toute la France
C'est ainsi que j'ai calculé les différences de niveau pour tous mes signaux , depuis Donkerque jusqu'à Rodez j mais je me réserve de revenir sur cel objet quand j'aurai pu cooii parer aux résultats de mes observation* ceux que le cit. Méchain aura tirés des observations de même genre <ju'il a faites depuis Rodez jusqu'à Barcelonne.
Il me reste à parler de la manière dont j'ai calculé la réfraction dans les observations de latitude et 1
Formules
D'UN.ÀRC DU MÉRIDIEN. io5
Formules de réfraction pour les distances au Zénith , vraies et apparentes.
Pour vérifier la réfraction à l'horizon et à 45° t j'ai employé on nombre considérable d'observations de Bradley > de Piazzi , du cit. Méchain et de moi. Les unes paroissoient demander une petite augmentation dans la réfraction à 45* ; d'autres , une diminution. Je me suis fait quatre tables de réfraction , que j'ai employées successivement à réduire mes observations de latitude. La table de Bradley tenoit à très-peu près le milieu entre toutes j et comme elle est presque universellement adoptée par les astronomes , j'ai fini par lui donner aussi la préférence , d'autant plus qu'il n'en peut résulter aucune erreur sensible dans les différences de latitude entre Dunkerque , Paris , Evaux, Carcassonne et Montjouy. Mais , en adoptant l'hypothèse de Bradley , j'ai voulu donner à mes calculs toute la précision dont sa règle est susceptible. Dans les observations azimulhales , ou a besoin de la réfraction pour les hauteurs vraies et toutes les tables publiées jusqu'ici , dépendent de la distance apparente. J'ai donc cherché des formules pour ce cas aussi bien que pour l'autre. La table qui sert à corriger la réfraction selon les différentes hauteurs du baromètre et du thermomètre , est incommode et trop volumineuse. Sans rien changer au principe , j'ai tâché de rendre le calcul plus facile. Je vais exposer les moyens dont je me suis servi.
Soit z la distance apparente au zénith, R la réfraction horizontale , r la réfraction qui convient à la distance z,metn deux constantes j nous aurons , comme on sait ,
8in (« — nr) = m sin z (1)
£>i l'on suppose z — go" 5 cette formule devient m ~ cos n R j donc
sin {z — - n r) =* cos n R sin «, (?)
io6 DE LA DÉTERMINATION On en déduit
i : cos n R : : sin z : sin (:— nr)
1 +cos nR : i — cos n R:: sin z+ sin (x — nr) : sin z— sin (x— nr) a cos* 7 « R : 2 sin' jnR:: tang ; ( z + z — nr) : tang T n r
lang î n r = tang* ; « R tang (z — 7 n r) (3)
= tang* { nR tang z — tang* {nR tang >r î + tang z tang { nr~ t an g { n r + 1 ang z tang* T n r + t ang* ; n R t ang {n r == tang*7 n R I g x tang*ï a r+ sec* 7 n R cot z tang t n r = tang* 7 n R (tang n r + T sec* 7 n R cot z)* = - sec 4 {nR cot* z -f tang* 7 n R
tang { n r = — { sec* 7 nR cot z ± ( sec 4 s n R cot* r + tang* fnR) 7
= + îsec'jnRcotz^i +4sin* ; nRcos* î nRtang*z) ï ^i]
=. r sec' T n R cot* [(i + sin* nR tang' z) 1 "— i].
Soit
tang x — sin n R tang z , (i + sin'nRtang'z)* — i =secx — î = tang*tang 7 x ;
donc
tang ; nr = T sec'7 n R cot z tang * tang 7 x
= 7 sec* 7 n R cot x sin n R tang z tang 7 * = 7 sec' 7 /z R. a sin T nRcos 7 n Rtang7 *
= T tang T nR tang 7 * (4)
ou sans erreur sensible r = R tang ± x (5)
On aura donc par un calcul direct la réfraction r qui convient à la distance apparente z , en évaluant ces deux équations bien simples
tang x = sin n R tang x et r = R tang 7 x (6)
C'est ainsi que j'ai calculé la réfraction pour les observations de latitude avec plus de précision que les tables n'en peuvent donner. Or
tang 7 * = 1 — cot * + cot'ar — 7 . 7 cot 4 * + 7 . 7 . \ cot' * — &c.
, Rcotz , Rcofz Rcot 4 z
donc r = R — — : — + — — — =-
sinnR 3 sin n R a . 4 sin 4 n R
3 R cot g z 3. 5 R cot 1 * & .
+ a.4.6sin s nR" 2. 4.6.8 sin 1 nR + W
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. toy Cette série n'est suffisamment convergente que de 8g à 91 e de distance au zénith } elle donne à fa fois deux réfractions par le seul changement de signe du second terme. Soit , par exemple , * = 180' — z , r et r les deux réfractions j on aura
, 2 R cot *
Réduisons en série la valeur donnée ci-dessus pour tang j n r, et nous aurons
tgi/ I r=isin , nRsec^«Rtgz(i-isin , /iRtg , z+i. £sin < «Rtg<z-&c.) (9) — sin"; rcRtangs ( 1 — ; sin*/» R tg'z + 7 . \ sin 4 « R tang 4 z — &c.) Supposons avec Bradley n = 6 et R = 3a'53"8 pour 28'° du baromètre , et 10" du thermomètre de Réaumur ; et retranchons de cette série l'excès de la tangente sur l'arc , nous aurons
r= 56*,G*4775 tangz-o",o4664 . 6g38tang*z + o",oooo 7 » 78 1 2gtg*z — o",ooooo.oi58o tang'z (10)
Le second terme n de cette série vaut 0^1 à 4S' ?3' de distance au zénith , le troisième à 76° 55', et le quatrième à 8i 4 34'.
On peut donc employer très-commodément celte série au calcul d'une table depuis o' jusqu'à 8i° et même 84* j ensuite on continuerait par leî formules (6) ou par la série ( 7 ). L'équation (2) donne encore
cos n R sin z = cos n r sin z — sra n r cos z
cos nR = cos n r — sin n r cot *
cos n r=: cos nR + sin n r cot *
cos'a-ji =. coi'n R -4-asin nr co&n R coiz + sin'n r cot* z
1 — sin* nr=i — sin â «R+ 2 sin» r cos /j R cot z+sin* n r cot'z sin* n r (1 + cot' z) + 2 cos n R cot z sin n r = sin* /» R a cosnR cot^sinnr
d'où , , *
sin 7i r =- cos n R sin z cot z [<i + tang'TiR sec'z)' — 1] . (1 1)
io8 DE LA DÉTERMINATION
Soit tangj = -^~~^-,on aurasin/ir=«sinnR&inxtangiy# ou
r = R sin x tang^
ou bien
. f~V tang*/iR\f
sinnr = sinnRcotnRsinxcosx M i + CQ& , z ) — *J
= sin n R sin z [ (cof nR cos* * + » )" — cot n R cos x] ,
ou
r = Rsinx[(i+cot* nR cof x) 1 — cotnR cos z].
En comparant cette formule à la formule moyenne de Mayer, on voit qu'il a lait R = 33' et cot«R = i6,5 } par conséquent n — 6,3.
On voit donc que la formule que Mayer a donnée sans démonstration est un corollaire des formules de Simpson et de Bradley. Ce qui la distingue , c'est la manière dont il y^ fait entrer les variations de l'atmosphère , et la valeur des constantes } car , quoiqu'il fasse R = 33' , comme Bradley , c'est pour une autre température. f
Soit maintenant y la distance vraie au ténith , x = v — r j donc
tanginr^tg^nRtg^— r~>r)=tg*inRtg[V- (i3)
eu " * . « -.n - • ■
tang'^Rtang^— tang 4 ^nRtang(~^)r
tanginr— ' xn+IT 5
i+tangvtang^ — )r
d'où sans erreur sensible itaiig»r+in(^)tg«ngV+^
(-^) Ig^lg'r + Qn + (^- 2 )tg i inR^|tangr=tg*^Rtg f '}
a'où
tangr
»+(»i+a)tg'i nft, T/ 4(n' + 2rQtg^/iRtgW > -| (n'+a/Otangf L> (« + (»+ â)tg*^iiR)*/ J*
„ . q («■+ anV tang 7 nR tang t»
Sou tang u = 1/. „ p — t on aura
Soit n = 6
r== (7Tr) TRlans ' w '
(48) , tangSRtang</ tang« = 3 + 4tang-5R '
et r = ('•)*" R tang jW = R sin 6o° tang f u. .......( 14)
ou tang u = 0.0662437 tang et r = i7og",36 tang 1 1/.
Soit b la hauteur du baromètre pour l'instant de l'observation , t la hauteur du thermomètre au-dessus de 10° de Réaumur, r la réfraction moyenne , dr la correction de la réfraction, et m un coefficient constant ; on aura la réfraction actuelle par celle équation
br
r + dr - fl 8(i+m/)''
et
dr— br [b—*S(i+mt) ~\r__ (b — 38 — a8 mt)r
r "28(i+m/) r ~~ a8(i+m/) ~~ a8(i + m/) (ir— a8 )r (28m*) r (6 — 28) r (m<)r "~28(i + mî) 28(i + wÔ"~28(i + mO (1 + m*)
(6— 28) r (m/)r (b—i%)mtr {b —•}?,) m t r ""28(1+7/1/) (i + mO 28(i + m/) î8(i+ot0 (6 — a8)(\+mt)r mtr (b — 28)m/r
38 ( 1 + mt) " 1 + mt a8(i+/rar) {b — 28) r mtr ^ / b — 28 n ✓ m t \ ~ 38 1 +/nf \ 28 +
Le premier terme donnera une table qui ne dépendra que de b ou de la hauteur du baromètre.
Le second terme donnera une table qui ne dépendra que du thermomètre.
Le troisième terme a pour coefficient le produit des coefficient
uo DE LA DÉTERMINATION des deux premiers termes : on pourroit donc se dispenser de le réduire en table ; mais celte table , quoiqu'â double entrée , n'en sera guère plus embarrassante , parce que les nombres en seront très-petits , et souvent négligeables.
Les trois tables seront aussi commodes et beaucoup moins volumineuses que la table unique qu'on emploie ordinairement pour trouver la correction de la réfraction moyenne.
Les astronomes ne sont pas bien d'accord sur la valeur de m ; je l'ai supposée de o.oo55. Voyez \ Astronomie du cit. Lalande.
Je ne donnerai point ici la table de réfractions pour les distances apparentes , que j'ai calculée avec plus d'exactitude dans l'hypothèse de Bradley. Elle a été imprimée dans les derniers volumes de la Çonnoissance des Temps. Mais on trouvera à la suite de ce Mémoire la table pour les distances Traies , et les tables de correction pour les différentes hauteurs du baromètre et du thermomètre.
Hauteur des Signaux au-dessus de la Lunette.
J'ai dit ci-dessus , page 91 , qu'il falloit réduire au sommet des signaux les distances au zénith observées. La formule que j'ai donnée , page 92 , pour ces réductions , suppose que l'on connoisse rfH ou la partie du signal qui s'élevoit au-dessus de la lunette. Dans les signaux ordinaires , dH se mesuroit directement. Dans les flèches embarrassées de charpente , on mesuroit le diamètre à deux hauteurs différentes ave'c la différence des deux hauteurs. Soient D et D' les deux diamètres , A la différence des hauteurs , et * la partie du clocher qui s'élève audessus du diamètre D' , on a A + x — rçj~~fyj ~ jy^p>
AD x AP — A D*+ AD' AD' D— D' D — D' D — D
Ce moyen devenoit insuffisant quand la flèche étoit très-haute , comme celles d'Amiens et d'Orléans ; alors j'employois le procédé suivant.
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. m Soit B {fig. 26 ) la pointe de la flèche , B' la naissance de la FIG. 26. même flèche ou le toit du bâtiment. Je mesurois l'angle Z AB et l'angle Z A B'.
Dans le triangle B A B', j'avois AB' et l'angle BAB', différence des deux distances au zénith. Or
sin B : A B' :; sin A : B B' = hauteur de la flèche = AB ' sin A
sin B
A B sin u AB sin u
sin [180*— (J" + r ') — u] ~~ ûn(f + r' + u)
A B sin u ABsin u
* Mn[ 9 o'4-iC+K^)+"] ~~ sin[ 9 o«— ^C — K^— ï) + u] A B sin u A B sin m
"~ cos U ( * — + î C u] ~~ cosK^'-Z+gcos^+sin^/'-JH-OsinM
AB tang u s ec C) ~~ î + tang u tang 7 (J* — <f + C) K tang u
= cot :(^H" C) [l "' ta " 8 " tan ^^-' r + C ^ Je mesurois ainsi B B' de deux stations voisines , et je prenois le milieu entre les deux résultats dont la différence étoit légère.
Expression analytique d'un des angles d'un triangle rectiligne quelconque.
J'ai promis ci-dessus , page 3a , la démonstration de la série qui sert à trouver l'un des angles inconnus d'un triangle rectiligne , quand on connott deux côtés et l'angle compris. D'après ce qu'on a vu page 64 , cette démonstration sera bien facile.
Soit donc un triangle rectiligne quelconque ABC 5 on sait qu'on a
