AB
# ' ABsinA \kc)* mA tang C =
AB
m sin A
AC— ABcosA /A B\ " 1 — m cos A*
1 VAC/°
Celte équation est de même forme que celle de la page 64 j
us DE LA DÉTERMINATION
elle n'en diffère que par le signe de cos A. En la traitant de
même, on obtiendra la formule qu'il s'agit de démontrer,
c'est-à-dire
C = (*» )«. A +i (g)'*» A + sin 3 A + *e.
Si A B est plus petit que A C , la série sera convergente } elle divergeroit si A B étoit plus grand que A C.
Si AB = AC , le triangle sera isocèle , et l'on aura C = 9 o a — i A = sin A + ± sin a A + y sin3 A + &c.
Si A = go° , on aura
Ces deux dernières séries , qui sont bien connues , ne sont donc que des cas particuliers de la série nouvelle.
Cette expression peut servir à calculer la parallaxe annuelle d'une planète fort éloignée du soleil , de la planète d'Herschel par exemple. AB seroit le rayon vecteur de la terre, AC la distance accourcie de la planète au soleil , et A l'angle au soleil dans le plan de l'écliptique.
Si AB est le rayon du globe terrestre, et AC la dislance
d'une planète à la terre , sera le*inus de la parallaxe horizontale ; alors , si l'on fait A = 180" moins la distance vraie au zénith , C sera la parallaxe de hauteur , exprimée en parties du rayon. Pour l'avoir en secondes , on divisera le second membre de l'équation par sin 1". Il suffira toujours de deux termes , même pour la lune. On sait que la formule dont les astronomes se servent pour calculer la parallaxe de hauteur , est indirecte quand on ne connoît que la distance vraie au zénith , et qu'on est obligé de faire une règle de fausse position. Si l'on met dans ma formule D = 180" — A , D étant la distance vraie au zénith , et sin * = sin parallaxe horizontale , on aura
C = sin*sinD — j sin* «sin a D + \ sin* x sin 3 D — &c. Si D = po*
C = sin x — y sin 1 * + y sin 5 * — &c.
Application*
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. n3
Applications des Formules précédentes.
Après avoir exposé en détail toutes les formules nécessaires pour résoudre les problêmes qui se rencontrent dans la mesure d'une méridienne et dans toutes les opérations géodésiques du même genre, il ne sera pas inutile d'en expliquer l'usage par quelques exemples, en faveur de ceux qui , étant appelés particulièrement à opérer sur le terrein, seroient moins familiarisé* avec les formules analytiques.
Je supposerai l'observateur muni d'un cercle de Borda ; c'est l'instrument le plus commode, le plus portatif, et celui de tous qui permet d'aspirer à une plus grande précision. Il ne seroit plus permis aujourd'hui , dans une opération de quelque importance , d'employer ni quarts de cercle ni théodolites ordinaires , encore moins les graphomètres ; un cercle de Borda de deux décimètres de rayon suffira pour les opérations les plus délicates : moins grand de moitié, il seroit encore d'une exactitude suffisante pour toutes les opérations géographiques ou géodésiques ordinaires. On l'amène avec la plus grande facilité dans le plan des objets dont on a à mesurer les distances angulaires; on le fait passer en un instant de la situation horizontale à la situation verticale : enfin il est le seul avec lequel on puisse éluder les erreurs de la division j il suffit pour cela de multiplier les observations d'un même angle , assez pour ne plus trouver de différence sensible entre plusieurs mesures consécutives faites sur différentes parties du limbe.
Mon dessein n'est point de donner ici la description ni la manœuvre de cet instrument ; on la trouvera dans l'Exposition des Opérations faites en 1787 pour la /onction des Observatoires de Paris et de Greenwich , et dans la Connoissance des Temps de Van J^I. D'ailleurs la seule inspection en dit plus que les plus longs discours, et c'est sur le cercle même que l'on peut , avec plus de fruit et de facilité , en étudier l'usage. Je me contenterai d'un petit nombre de remarques.
n4 DE LA DÉTERMINATION
Les cercles dont je me suis servi portoient quatre alidades $ il est assez indifférent en général de mettre l'une ou l'autre sur le xéro en commençant une série d'angles : il suffit de se rappeler celle qu'on y a mise , afin de connoître le chemin qu'elle aura fait , l'arc qu'elle aura parcouru , entraînée par la lunette dans le cours des opérations. 11 est bon pourtant de se faire une habitude constante. La mienne a été invariablement de mettre sur zéro l'alidade qui est à i oo" à droite de l'oculaire. Il est inutile de lire à chaque observation conjuguée les quatre alidades } il suffit le plus souvent de les lire au commencement et à la fin de chaque série. Dans les observations intermédiaires , on se consterne de lire l'alilade qui est partie de- o° j et quand cette alidade , que je nommerai première t est à angles droits avec la, lunette , elle offre plus de facilité r parce qu'elle est mieux éclairée , et qu'elle n'est pas exposée à se trouver dans l'ombre du tube , comme celles qui sont vers l'oculaire ou ver» l'objectif.
Si les alidades étoient exactement à angles droits , quand la première marquerait séro , la seconde marquerait 100" , la troisième 20o b , et la quatrième 3oo° j et en rejetant les centaines , les quatre alidades dans toutes les positions montreraient lesmêmes nombres pour les dix aines , les unités , les dixièmes, les centièmes et millièmes de grade. Il n'en étoit pas ainsi dans les instrumens qui m'ont été confiés ; chaque alidade montrait des nombres différens. Sur l'un de mes deux cercles on lisoit les quantités suivantes:
Alidades i" a' 3' 4 e
o,ooo 99,9,65 199,940 399,943. Supposons qu'au bout de 10 angles elles aient marqué les nombres auivans , en tenant compte des circonférences entières parcourues durant la série
£n faisant les quatre soustractions par ordre , on aurait
arc parcouru 467,862 ±67,860 467,861 46 7 ,86o, •t par un milieu entre les quatre 467,86075
Digitizsd by
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. ti5 ou divisant par 10 , parce qu'il y a 10 observation* , on auroit pour l'angle simple 4ti,78fio 7 5.
Cette manière de faire l'opération qui se présente la première à l'esprit n'est pas la plus simple ; il m'a paru plus commode de noter les observations comme il suit.
En commençant , je notois les complémens arithmétiques des quatre alidades; ce qui se fait tout naturellement en lisant le V ernier à contre-sens , et mettant par la pensée 10 à la place de zéro , et réciproquement. Ainsi , dans l'exemple précédent , je lisois 0,000 o,o35 0,060 0,067
Au dernier angle qui est ici le dixième, j'écrivois ainsi en ■abrégé
46 7 ,8Gà }
8?5+35 f mettant à côté de chaque alidade le complément 80 1 +60 ( arithmétique qui lui appartient.
8o3+5 7 ) En effectuant les additions , j'avois 467,862 ï
86 1 1 ^7,860 4 = ^7,86075 ^ un milieu.
On voit que l'opération est plus courte , et conduit au même résultat.
Pour trouver la valeur moyenne entre celles des quatre alidades, on voit qu'il suffit de faire la somme des chiffres qui ne leur sont pas communs , et d'en prendre le quart.
A la rigueur , il sufEroit de lire les alidades en commençant et en finissant , pourvu qu'on notât exactement le nombre des observations. On épargneroit du temps, et je l'ai fait dans des circonstances pressées j mais il est très-bon de lire au moins la première alidade après chaque observation paire. En divisant chacun des arcs partiels par le nombre d'observations qui le compose , on voit si la série marche bien j si l'on appercevoit quelques irrégularités , on pourroit rejeter les observations dans lesquelles on les remarqueroit.
116 DE LA DÉTERMINATION Je suppose qu'on ait observé la série suivante:
