première partie + 35,43g
réduction — 55,H8i
angle observé 46,7865 , 96
angle réduit au centre 46,7808,079
On commencera par chercher le log. de r, et l'on y ajoutera
le complément arithmétique du sinus de 0,0001 = une seconde décimale. La somme de ces deux logarithmes sert pour chacun des deux termes , avec cette différence que , pour le second terme , on la marque du signe — , pour indiquer que ce second terme est souslractif.
On cherche ensuite le logarithme du sinus de (O +y) — 1 ^4,5 16 ,. qui est égal à celui du cosinus de 84,5 1 6.
On cherche pareillement pour le second terme sin^ = 137,73,.
ou, ce qui revient au même, le cosinus de 37,73.
Ces deux sinus sont positifs, parce que (O+j*) et .y sont moindies que la demi-circonférence.
Si (O +y) eût été plus fort que 200, le sinus eût été néga~ tif, et le premier terme de la formule seroit devenu soustractif.
Le second terme changeront pareillement de signe , si l'angle .y
surpassoit aoo j et ce terme deviendrait additif.
On cherche ensuite les compléinens arithmétiques* des distances D el G , on les place comme on le voit dans l'exemple
ci -dessus j et faisantes deux sommes, on a les logarithmes des
deux termes.
Le premier terme se trouve^par-là de+a5*,*439,ou-f o,oo2543g. Le second terme , de — 8i,5ao,ou— 0,008 1520.
On retranche le pîtis petit du plus grand quand ils sont , comme ici , de signes différens, et l'on donne an reste le signe du plus grand. Ce reste est la correction cherchée.
S'ils avoient été de même signe , on auroit pris la somme , et Ton auroit donné à la correction le signe commun.
Dans cet exemple , je me suis serri des tables des sinus décimaux de Callet. Si Ton n'avoit que des tables sexagésimales ordinaires , on commencerait par réduire tous les angles décimaux en angles sexagésimaux, comme je l'ai expliqué page 17, et Ton feroit le calcul comme il suit.
4a, io 77 564 ia3, 957
r. . " . . . • 0,6260g C.6in 1". . . 5,3i443
ain(0+^)+ 9» 38 *7° y + 9>9 l8 79
compl. D 5,5g 382 compl. G 5,56i44
réduction — 18, 106
angle observé. . . 43,6,27,9*3
angle réduit. . . 42,5, y, Si?
Pour
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. ut Pour calculer la réduction par la seconde formule r si n O sin (A — y) ï) sin A sin i" ' on a besoin de l'angle A , qui est l'angle à l'objet à droite , c'està-dire, dans notre exemple, l'angle à Watten entre Dunkerque et Cassel.
sinO= 46,7863,96. . . . 9,82641
compl.sinA= 83,754 o,oi6i4
y = x3 7y7 3. . C.sin i*.. 5,8o588
CD =25479 5,5938a
réduction. . . — 55,878 1,747*4 angle réduit 46,7808,08a
Ce calcul n'a pas besoin d'explication. Te me contenterai de dire que , pour ne pas laisser de vide vis-à-visjK , qui ne donne aucun logarithme , j'y place le complément arithmétique de sin 1".
Quand.y surpasse l'angle A , comme ici , (A — y) est une quantité négative , et son sinus est également négatif, ainsi que la
réduction. Mais si ( A — y ) négatif surpassoit 200 , ou si A étoit plus grand que y , la correction seroit additive , parce que le sinus alors auroit le signe + .
On pourroit retrancher^ de A dans tous les cas, en ajoutant ,
s'il le falloit , 4oo à l'angle A ; alors la règle des signes seroit plus simple. La correction seroit additive ou soustractive , selon que A— y seroit plus petit ou plus grand que la demi-circonférence.
Dans notre exemple A — y, ou 4oo + A — y = 345,oa4 et la correction soustractive.
La correction calculée par cette seconde formule se trouve un peu plus petite que la première. Cela vient du petit terme négligé. Ce petit terme est égal au produit du premier par
r siny cos (A + O) »~
=r— . — t — , et il donneroit environ o,oo3 à
D sm A '
ajouter à la correction, parce que cos (A + O) est négatif.
Alors les deux formules donneroient le même résultat j mais la
différence est insensible.
Méthodes pour déterminer V Angle de direction y et la Distance au centre , quand le centre est invisible ou inaccessible.
J'ai supposé dans ce qui précède qu'on pût mesurer directement la distance au centre , et diriger la lunette vers ce centre. Il faut pour cela que l'intérieur du signal soit libre , et l'on y suspend alors un fil à-plomb , qui peut en être considéré comme l'axe , et chaque point de ce £1 représente le centre. Mais si le signal est une pyramide, une tour, un moulin, un bâtiment quelconque qui n'ait point d'ouverture , alors il faut , à l'aide du calcul et de mesures subsidiaires , suppléer aux mesures qu'on ne peut exécuter.
Supposons d'abord que le centre du signal soit au milieu de riG. f5. la diagonale DE (Jig. 5).
Placez l'instrument en O, d'où vous puissiez appercevoir les deux points extrêmes D et E de la diagonale.
Mesurez la distance O D = r 7 et la distance O E «= r" , l'angle FOD=y et l'angle F O E = y" ; les formules de la page a6 vous donneront
OC=r = distance au centre ,
et
F O C = y — angle direction.
Supposons , par exemple , que vous ayez trouvé
r'=3™ 7 3, r"= 2 "56, FOD = y' = 126*67, et FOE =/'= 17M7»
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. n3 vous aurez
y — / = 5 1,80 r' — r" = 1,16 log. o,o6446
y" + y' = 3o5,i4 r' -f r" = 6,28. . compl. log. 9,20204
îCy"-^0= a5,9° tangK/'-y) = 3^9° ••• 9> 6a455
ï(y+y) = 1 52,57 tan 8Î rf ~ 5,i46 8*89080
Log. r' o,57o54 log. r" 0,40824
cos u' 9,97650 cos u". ...... 9,94617
r cos u' — 5,52^0 o,547o4 r" cos u" — 3,2616 o,5544i
r' cos = 3,524o
somme = 5,7856
moitié = r= 2,8928
On a de cette manière les râleurs de r et de y, avec lesquelles on calculera la réduction au centre , comme ci-dessus. On peut encore trouver^ de deux manières.
y' + u! = y= i4 7 ,4a4 y" — u" = yz= 1*7,424
Il arrivera souvent que r" sera plus grand que dans ce cas, r — r" sera négatif, î d le sera pareillement , c'est-à-dire qu'il faudra le soustraire par-tout où on, l'a ajouté dans le calcul précédent , et réciproquement.
Supposons, par exemple , qu'on ait r* = a,56 et r" = 3,72 , tout demeurant d'ailleurs comme ci-dessus } on aura
~y + «' = 157,716 , ou y = y" — u' = 157,716}
îai DE LA DÉTERMINATION
de sorte que si r' > r" , on aura w'< u". Au contraire , si r'<.^\ on aura u > u".
Du reste , le procédé est invariable.
Si r = r", alors le calcul devient plus simple j car id=o , y = i (y*+/) , «W'=i (/'-/) et r=,W; (//) j on fera donc bien de se placer, s'il est possible, de manière à ce que l'on ait r' = r".
Les mêmes formules serviraient encore dans le cas où Ton auroit fait l'observation dans l'intérieur du signal.
Supposons , par exemple , que le rectangle DE soit l'intérieur d'une tour ou d'une chambre , et qu'on y ait fait l'observation par une fenêtre , le cercle étant en un point voisin de A sur le prolongement de C A , le calcul se fera comme ci-dessus : il arrivera seulement que l'angle D OE = y"— y' sera très-obtus.
Si le point O se confondoit avec A , l'angle EOC = u" seroit droit
r" cos u" — o et r = { r' cos u'.
Si le point O étoit sur la ligne CA, l'angle u" seroit obtus , r" cos u" seroit négalif, et r seroit f (r' cos u' — r" cos «").
Si le point O étoit sur la diagonale D , on s'en appercevroit aisément j car alors
(/'— /) = aoo, tangj</= 00, ï</=»oo, u'=o , «"=300,
r=^(r'-r") et y=y'.
L'instrument seroit en quelque point de la ligne CE.
Si d'ailleurs l'observation avoit donné r", on seroit au centre même.
Mais si l'on avoit r' > r", l'instrument seroit quelque part sur la ligne CDj on auroit
«'=200, «"=0, y*=y' + 200 et r=f(r*— /).
Si l'instrument étoit dj l'autre côté de la diagonale DE, on
s'en appercevroit à ce que (y" — /) surpasserait 200. Je suppose toujours que D est le point qu'on rencontre le premier en tournant la lunette à gauche du dernier objet observé F , et E celui qu'on voit le second en continuant de tourner la lunette dans le
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. i?5
même sens. Alors tang ; (/'—/) seroit négative , et par conséquent aussi tang ^ d ; T d seroit un angle obtus , et même plus grand que \ (y" — y') : mais il n'y aura jamais d'embarras réel pour trouver^ = T (y" — y') — ~d, ni pour trouver
r = T ( r' cos u' + { r" cos u" ) , si l'on se souvient que les cosinus sont négatifs dans le second et le troisième quarts de la circonférence.
Si l'on ne peut trouver/paxl'observation aucun point d'où l'on apperçoive les deux extrémités de la diagonale DE (fig. 5. ) , il FIG. 5. faudra se placer de manière à ce qu'on puisse voir les deux extrémités d'une même face DE (fig. 6.) j alors on aura recours FIG. 6.
aux formules de la page 3o , en y changeant 90 0 en 100 et 46*
en 5o , si l'on veut employer la division décimale , qui est plus commode.
Supposons à r",y,y les mêmes valeurs que dans l'exemple précédent , nous aurons
ï a = t (y" —y') = fl5, 9 o, 100 — 7 a = 74,100.
log. r"= a,5G 0,40824
compl. log. r* = 3,72 9,4 2946
tang x = 58,372 9,83770
tang(* — 5o')= — 11,628. . . . — 9,26649 tang (100 — 70)= 74,100. . . . o,36565 tang 7 d 25,783. . . . — 9,63214 u' = 48,3 17 u"= 99,883
Je change le signe de 7 d dans les formules (3) et (4) , parre que d est négatif} ce qui arrivera toutes les fois qu'on aura
ar < 5o , et x sera < 5o toutes les fois que r" < r'.
Four calculer les formules suivantes , il faut connoître les angles du triangle CDE, et ils dépendent des dimensions du signal.
Si le signal est carré , l'angle C = 100 , l'angle D -= E = 5o. Si le signal est rectangulaire, on aura
GD
tangE = cotiC=
Il peut arriver que E D soit le côté d'un hexagone ; alors C = 66,6667 , et les angles D et E seront aussi de 66,6667. J'ai trouvé aussi assez souvent des signaux octogones ; alora
Supposons qu'on ait
Yo = ^ = °> 9 '> lo « tan « E = 9>9$4*4 ,
on aura b = E = 46,652.
{(C + a)— 79,a48. . . log. cot. . 9,5a8g5 tang (*< — 5p* ) ci- dessus — 9,26649 tang ~ (f 5,967 —8,79544
7 a ~ o5,9oo
i*' = 48,3 17 ii"= 99,883
P' — ^9,86-7 p" — ai,933
a'- r .&+ /> ' = ia4,836 e/'+6+jï"= 168,468
ain (a' + b) 9,99864 sin (m* + 3) 9,87188
C, sin + p') 0,03395 o^23o5
Il suffiroit d'un de ces deux calculs pour r j mais il est bon de les faire tous deux pour s'assurer qu'on ne «'est pas trompé
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. \vf dans une opération qui est assez longue. On trouve ici entre les deux valeurs de r une différence de de mètre j ce qui est insensible.
On abrégerait beaucoup le calcul , si l'on pouvoit se placer sur le prolongement de G D ou de l'un des autres côtés du quadrilatère.
Supposons donc que G D O soit une ligne droite : dans ce cas , il suffira de mesurer / et,/, et les côtés G D et DE 5 on fera
