C. sin
correction — 3", 167. . . o,5oo63
A cause de x > * , le soleil étoit à droite , l'objet que l'on observoit avec la tour éclairée étoit à gauche ; ainsi la correction est négative.
On peut déterminer (x — z) par observation, et cela est plus commode : d'ailleurs on n'a pas toujours les dislances M et P, ni la déclinaison du soleil.
D'UK ARC D IT MÉRIDIEN. ili Voici le procédé , qui est fort simple.
Mettez la lunette supérieure sur zéro , et dans cette position dirigez - la suivant la ligne O C , c'est-à-dire sur la tour éclairée. Fixez la lunette inférieure sur la même tour j elle sera aussi sur zéro. Cela fait, dégagez la lunette supérieure , et dirigez-la vers le soleil , sans changer d'ailleurs la position du cercle , de manière que la lunette inférieure reste constamment dirigée sur la tour.
Alors notez Tare parcouru par la lunette supérieure , retranchez-en la demi - circonférence } le reste sera la valeur de <*-*).
Dans notre exemple , on auroit trouvé pour l'arc
parcouru a57'5a'
demi- circonférence 180
reste =(* — z) = 77 5a
Si Tare parcouru étoit moindre que la demi -circonférence ;
par exemple 167* 5a'
On prendrait le supplément à 1 80
C'est-à-dire 22' 8'
et l'on en conclurait que le soleil est de aa° 8' à la gauche de la ligne OC» au lieu que , dans notre exemple, il étoit de 77* 5a' à droite.
L'observation que je viens d'indiquer ne serait possible que dans le cas où le soleil serait à l'horizon. S'if a une hauteur, comme il arrivera toujours , on diri géra la lunette à vue vers le point de l'horizon où répond le soleil , on suspendra un fil àplomb devant le centre de l'objectif , et l'on remarquera si l'ombre de ce fil couvre bien le milieu du tube dans toute sa longueur ; alors on sera sûr que la lunette est bien dans l'azimuth du soleil : si elle n'y étoit pas , on l'y amènerait par un tâtonnement qui ne serait ai long ni difficile.
!3a DE LA DÉTERMINATION
Calcul de la Réduction à l'Horizon.
Ce calcul s'exécutera facilement , au moyen des tables I, H, III et IV qui sont à la fin de ce Mémoire. Les deux premières suffisent presque toujours.
Supposons qu'on ait observé un angle de. ... 6»* 9' 2 7"»^ entre deux objets dont les distances au zénith aient été trouvée»
91" aô' 5ï" et 91 3? 45
II + h. ... + 6, 7 46 H — h. ... + 0,010
Je fais la somme de ces deux quantités en rejetant les 180% et je l'appelle (H + h).
J'en fais aussi la différence . que j'appelle ( H — h ).
Avec (H + h) la table Y* me donne + 6,7 4 6 -
Avec (H — h) la même table donne -f- 0,010.
Avec l'angle observé , la table II me donne + 12", 19 et — 34",8g.
Je multiplie 12,19 par le premier facteur trouvé -*- 6,746; le produit est + 8a,23374.
Je multiplie pareillement — 54,89 par le second facteûr 0,010; le produit est — o,348g.
En réunissant ces deux produits, qui sont toujours de signes différens, j'ai n = + 8 1", 88484. C'est à très-peu près la réduction à l'horizon.
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. i53 Pour l'avoir plus exactement , dans la table III, avec les hauteurs »°a5' 5i" et i°32'45", je trouve le facteur 1,0007, P ar
lequel il faut multiplier» 81,88484
Ainsi n sec H sec h = 81,94216
Avec l'angle observé 6i° 9' , je trouve dans la table IV l'équation — o",o 1 3 j c'est ce qu'il faudroit retrancher de n sec H sec // , si cette quantité eût été de 1 00' : mais elle n'est que de 82 j il faut multiplier la correction — 0,0 13 par
(£5)'= (0,87)' = 0,6734, c'est-à-dire qu'il faut prendre environ les deux tiers de — o",oi3, c'est-à-dire — o"ooq , et la réduction sera par
conséquent + 8i", 9 33 = 1' ai", 9 33
L'angle observé est. ...... 61 9 27 3o
Et l'angle réduit à l'horizon 61 10 4y 23
On voit qu'on auroit pu , sans beaucoup d'inconvénient, s'en tenir à n. Cependant j'ai choisi dans tous les angles observés depuis Dunkerque jusqu'à Rodez, celui dans lequel ces petites attentions ont l'effet le plus sensible.
11 arrive souvent que les distances au zénith sont moindres que 90° j dans ce cas , le calcul se fait un peu différemment. Au lieu de rejeter 180 0 en faisant la somme H -f A, on prend ce qui s'en manque pour aller à 180 0 . En voici un exemple.
Angle observé 4a°6' 10", o
A * in - f i, f 8 9° 5 9' 5 4" tablel" + 0,020 ... + 0,019 dist. zenitn [ g 9 5o a5 tabIe ne + 7>n4 . 53^
somme. ... 179 5o 17 + 0,1088 o,535 9
n = réduction — o,858 9 i
angle observé 4a 6 1 0,0
angle à l'horizon. . . . 42 6 <j,i \
iS.{ DE LA -DÉTERMINATION Après avoir fait la somme des deux distances au zénith , j'en
prends le supplément 'à 16V , et ce supplément je l'appelle
H + h. Le reste du calcul comme dans l'exemple précédent. Quand la réduction est d'un petit nombre de secondes, et que
les deux distances au zénith différent peu de 90", il est inutile de
recourir aux tables III et IV.
Réduction de V Angle sphérique horizontal à f Angle rectiligne entre les cordes.
Pour calculer cette réduction , il faut commencer par convertir en minutes de degré les arcs terrestres qui comprennent l'angle observé, c'est-à-dire les dislances de l'observateur aux deux signaux observés.
On pourroit à cette conversion employer la formule de la page 83 , ou
'= Train- <' + ^ ,sin,L >'
mais comme on n'a pas besoin en cela d'une si grande précision, on peut faire pour toute la France
sin 1 r
Je ne donne point la table que je m'étois faite pour éviter ce petit calcul ; on voit qu'elle dépend essentiellement de l'hypothèse qu'on adoptera pour l'applatissement.
Quand on aura déterminé les deux arcs terrestres l et S 1 , on en prendra les moitiés , qu'on appellera P et Q ; on fera la somme P 4- Q et la différence P — Q. Avec ces nombres , on cherchera deux facteurs dans la table l r *, comme on a lait pour la réduction à l'horizon. Avec l'angle réduit à l'horizon , on cherchera les nombres tang. et cotang. dans la table II. On donnera le signe — au nombre tang. et le signe + au nombre cotang.
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. i35
Prenons pour exemple L'angle 6i° k>' 4o/',3, que nous avons ci-dessus réduit à l'horizon. Pavois pour cet angle
réduction — 0,84111
angle à l'horizon 61 10 49)3'
angle des cordes 61 1048,46
On voit combien ce calcul est simple. Le second terme est presque toujours insensible , car il dépend de la différence des * deux arcs terrestres, et cette différence est rarement considérable.
J'ai exprimé P et Q en minutes et décimales de minutes sexagésimales ; cela est plus commode pour l'usage de la table I".
On obtiendra P et Q directement sous celte forme , eu ' faisant
P=s «Vin 1' + 10ri sin 1
La même formule donnera Q , en mettant au lieu du premier côté K la valeur de K', K et K' étant les deux cordes qui renfermeront Pangle qu'il s'agit de réduire.
Avant de passer aux calculs des observations d'azimuth ou de latitude , il convient de placer ici la solution d'on problême qui est souvent utile pour connoître exactement la position d'un signal qu'on se propose de placer , afin de savoir d'avance s'il donnera des triangles' assez bien conditionnés , et se mettre en état de calculer les réductions des angles qu'on y observera. Il suffit pour cela que de ce signal on puisse appercevoir trois objets dont les positions soient connues.
Supposons que l'on veuille placer un signal en 0 (fig.i.pLI.)', pjç, 2 , \ si de ce point on peut observer les trois points A, B, C , dont
i36 DE LA DÉTERMINATION
Ia position soit connue , on pourra , sans sortir du point O , déterminer les triangles OAC, OAB et OBC. Il suffit pour cela d'observer les angles A O B et B O C. La solution que j'ai donnée de ce problême , se trouve dans la Trigonométrie de Cagnoti. Je supprimerai donc ici la démonstration; mais je donnerai avec plus de détail que dans l'ouvrage cité les formules qui renferment les valeurs de toutes les inconnues : elles dispenseront le calculateur de faire aucune figure. Faites
A B sîn B O C taDg * = BCsinAO B- S = 1 8o° — i(ABC + AOB + BOC) tang z = cot ( x + 45° ) tang S OAB = P = S-h* OCB = Q = S — t
ABsinP BC sin Q ° sinAOB ~~ sinBOC
ABsin (P + AOB) ACsin (Q— AOB) sinAOB sin(AOB + BOC)
BC sin (Q 4- BOC) AC sin (P — BAC) sinBOC sîn (AOB + BOC)*
Si , au lieu du point connu B , on avoit observé un point connu P en-deçà de la ligne AC, on auroit des formules semblables , et qui ne difFéreroient des précédentes que par la lettre P substituée à la lettre B. Seulement dans la seconde formule, il faudroit mettre (36o 8 — APC) au lieu de ABC, et l'on auroit
S=i6V-i(36o"— APC-hA0P+POC)=KAPC— AOP— POC).
Il faudroit aussi dans les septième et huitième formules changer en + le signe — .
Pour donner encore plus de généralité à ces formules , j'appelle premier objet celui qui est le plus à droite , second
objet
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. i3 7 objet celui qui est à la gauche du premier , et troisième objet celui qui est à la gauche du second.
A l'angle au premier objet entre les deux autres.
B l'angle au second objet.
C l'angle au troisième objet.
a la distance du premier au second objet.
* la distance du second objet au troisième.
c la distance du premier au troisième.
m l'angle observé entre le premier et le second objet.
n l'angle observé entre le second et le troisième objet.
D la distance de l'observateur au premier objet.
D' distance de l'observateur au second.
D" dislance de l'observateur au troisième.
Faites
a sin n
tang x = — (i)
b sm m s *
S = iSV— HB + m + n) ( 5 )
ou
selon que le second objet est au-delà ou en -deçà de la ligne c , qui joint le premier objet au troisième.
tang* = cot(* + 45°) tang S... ...(3)
* changeroit de signe si la tangente de z étoit négative.
un m sin n x 1
D a si n (p + m) c sin ( y — c) sin m sm (m+n)
D" = *J* a (9~ n ) gsinÇ/J — A) «in» un {m + n)
i38 DE LA DÉTERMINATION
Dans les formules (7) et (8), on mettra (7 + C) et (p + A) dans le cas où l'objet du milieu seroit en-deçà de la ligne c.
Si la somme (m + ») des deux angles observés se trouvoit de 180 0 juste, ce seroit une preuve que l'observateur seroit sur la ligne c qui joint le premier et le troisième objet.
Dans ce cas , on auroit sin m = sin n et tang x — - ,
S = i8o°— £(B + 180')= 180 9 — 90*— ^B = 90' — jB.
* seroit la demi- différence des angles A et C , qui est connue; on auroit p = A et q = C.
Dans les formules (7) et (8) , on auroit
q — C = o, p — A = o, sin (m + n) = o.
D et D" ne pourroient se calculer que par une seule formule ;
car la seconde donneroit
C sin o „ C sin o
D — — : et D' = — : .
sin o «n o
Tout le calcul se réduirait à celui de deux triangles rec-
tilignes.
Si la somme (m + n) surpassoit 180* , ce seroit une preuve que l'observateur seroit dans l'intérieur du triangle connu; et , dans ce cas , il faudroit écrire (C — q) et (A — p) dans les secondes expressions de D et D '. Les autres formules n'éprouveroient aucun changement.
Type du Calcul.
Supposons que l'on ait trouvé par observation
et que le triangle connu donne
D'UN ARC DU MÉRIDIEN. 10^ et les logarithmes suivant pour les trois côtés
log a. . . . 4>° 201 53g,i
log b. . . . 4,1699204,9
log c. . . . 4,3088199,0
B 77'3a'4i",o log a 4,0201839,1
m -f- n. . . . . 89 7 7 > 7 C • sin wi. . .
B + m + n 16615948^7 C. log b. . . 5,83oo795,r
î(B + m+n) 83 19 54,3 8 *ra n. . . . . 9,9120407,0
9 5 58 l'o tang*=45°43'o",6 o,oio6i56,5
9 90 4o 2,6 cot 90 4a 0,6—8,0871003,8
71 54 45 6 ' a tang S. . —0,9331437,'
p..."- 103 38 8,6 5'58'3",o + 9,oi 92 44t,o
/m 34 33 1,5 Oa a marqué du signe — les deux
p + m 137 o 10, i tangentes , parce qu'elles appar-
p 103 38 8,6 tiennent à des arcs plus grands
A 65 i5 40,8 que 90 0 .
p — A 3g 2 f 27, 8 On a marqué du signe 4- la tan-
q Q o 4a 3,6 gente de z, parce que le produit est
