Mener les tangentes communes à deux cercles

Deux cercles, considérés comme figures semblables, ont deux centres de similitude. Ceux-ci sont sur la ligne des centres, et une droite menée par les extrémités de deux rayons parallèles passe par le centre de similitude extérieur ou intérieur, suivant que les rayons sont dirigés dans le même sens ou en sens contraire. Une tangente menée à l'un des cercles par un des centres de similitude est aussi tangente à l'autre cercle.

138. Etant donné un point 0 et deux cercles, mener à chacun d'eux une tangente telle que les deux tangentes soient parallèles et que leurs distances à 0 soient dans un rapport donné.

En multipliant l'un des cercles par rapport à (9, le problème se ramène à 137.

139. Construire un triangle, connaissant A, m^ et z [a, tn^.

140. Sur une circonférence de cercle, on donne deux points A et B. Déterminer sur la circonférence un point X de manière que XA et XB coupent un diamètre donné en deux points Y et Z tels que leurs distances au centre soient dans un rapport donné.

On multiplie AX par rapport au centre du cercle de manière que Y tombe sur Z\ A vient alors en un point connu Al et z AxZB est connu.

141. Construire un triangle, connaissant les trois points qui divisent les trois côtés suivant des rapports donnés.

Soit ABC le triangle cherché, D, E, F les points donnés et BD:DA = m:n\ AF:FC=p: q\ CE\EB = r\ s. Prenons D comme centre de similitude et multiplions BD par , Z) ne change pas et B tombe au

point inconnu A. Multiplions DA par — ^ par rapport a F, A tombe en C et D vient en un point connu Di ; multiplions Di C par par rapport à if, C vient en

B et D^ en un nouveau point connu Di. Comme la direction d'une ligne droite ne change pas par la multiplication, BDi doit être parallèle à DB\ en sorte que DDi coincide avec AB. Pour avoir le côté BC, on recommence la même opération en sens inverse, en partant de E.

Cette même construction peut s'appliquer à un polygone quelconque. Considérons en particulier le cas où l'on donne les milieux de tous les côtés et où leur nombre est pair; le problème est alors indéterminé ou impossible.

142 On donne quatre cercles concentriques; mener une droite qui les rencontre respectivement txs. A, B, C çX D, de manière que AB = CD.

Représentons par {AB) la puissance d'un point du cercle A par rapport au cercle B\ la droite coupant respectivement les cercles pour la seconde fois aux points Ax . Bx , Cx et Dx , on a: {AD) = AD. ADx ; {BC) = BC. BCx ; ADx == BCx , par suite