Construire un trapèze, connaissant ses quatre côtés
Transportons l'un des côtés non parallèles jusqu'à ce qu'il recontre l'autre; nous donnons naissance à un triangle, dont les trois côtés sont connus.
260. Dans un cercle, on mène deux cordes AB et CD. Trouver sur sa circonférence un point X tel que les lignes XA et XB déterminent sur la corde CD un segment FG, égal à une ligne donnée.
Transportons F G de manière que F tombe en A\ G viendra en un point //, que nos pouvons déterminer
TRANSLATION PARALLELE
immédiatement; nous déterminons ensuite d'après cela le point G au moyen de e, puisque l G =- L. X (comme inscrits dans le même arc AE).
261. Construire un quadrilatère, connaissant les quatre côtés et la ligne EF qui joint les milieux de AB et CD.
Pour rassembler les éléments, transportons BC et AD parallèlement à eux-mêmes jusqu'à ce qu'ils soient dans les positions EC\ et ED\. C\, F et D\ sont alors en ligne droite, puisque A CiCF'^DiDF. On peut maintenant construire le A C\ED\ (121); puis on détermine C et D. La construction montre que l'angle que forment les côtés opposés, z CiEDi, est independent de la longueur des deux autres.
La construction peut aussi s'effectuer au moyen de la translation générale indiquée plus haut.
262. Par le point d'intersection de deux cercles, mener une droite sur laquelle les deux cercles déterminent des cordes ayant une différence donnée. (Les cordes doivent être affectées d'un signe et être comptées à partir du point d'intersection.)
La projection de la ligne des centres sur la ligne cherchée est égale a la moitié de la différence donnée. Transportons la projection jusqu'à ce qu'une de ses extrémités tombe en un des centres; elle formera avec la ligne des centres un triangle rectangle qu'on peut construire, La ligne cherchée sera alors parallèle à l'un de ses côtés. Si l'on donne la demi-somme des cordes, on peut l'introduire dans la figure, en multipliant par — 1 l'un des cercles, par rapport au point d'intersection, substituer ce nouveau cercle à la place de celui qui était donné et effectuer la construction qu'on a indiquée plus haut.
263. Construire un rectangle, ayant un côté donné et tel que chaque côté passe par un point donné. (262).
264. Dans un triangle donné ABG, mener par un point X de AB et un point Y de BC une ligne telle que XY ait une longueur donnée et que AX : CY ^ p : q.
TRANSLATION PARALLELE
Transportons parallèlement XY jusque dans la position A Yi ; nous pourrons alors déterminer le point Fi , puisqu'on connaît sa distance à ^ et la forme du triangle Fi YC.
265. Mener une droite de direction donnée qui rencontre deux cercles donnés de telle manière que les cordes interceptées aient une somme ou une différence donnée.
On déplace l'un des cercles suivant la direction donnée jusqu'à ce qu'il coupe l'autre sur la ligne cherchée. Dans cette situation, on détermine aisément son centre.
266. Par un point donné, mener une droite qui soit coupée par deux cercles donnés suivant des cordes égales.
On transporte l'un des cercles de manière à faire coïncider les cordes égales. Son centre peut alors se déterminer par cette double propriété que l'on voit de ce point la ligne des centres sous un angle droit et que sa distance au point donné est connue; la tangente menée du point donné a ce cercle est en effet égale à la tangente menée du même point au cercle fixe.
267. Dans deux cercles donnés, dont les centres sont A et B, mener deux rayons AX et BY qui soient vus d'un point donné P sous des angles égaux.
On transporte parallèlement le triangle AXP d'une longueur égale et parallèle à la ligne des centres et on le multiplie en même temps par le rapport des rayons de manière que AX et BY coïncident. Le point P viendra alors dans une nouvelle position Pi qu'on détermine aisément puisqu'on connaît la longueur et la direction de la ligne BPi. Comme z Y Pi B ^ /L. XPA, les points P, Pi, B et Y doivent se trouver sur une même circonférence; ce qui détermine Y.
268. Construire un parallélogramme, connaissant les côtés et l'angle des diagonales.
Transportons parallèlement l'une des diagonales jusqu'à ce qu'une de ses extrémités tombe sur une extrémité de l'autre. Nous pouvons alors construire le triangle dont les diagonales sont les côtés (18).
TRANSLATION PARALLÈLE
269. Construire un trapèze, connaissant les diagonales, la ligne qui joint les milieux des côtés non parallèles et un angle.
Par le même procédé que dans le cas précédent, on ramène ce problème à 3.
270. Dans quels cas le point C sera-t-il sur une des diagonales du parallélogramme, résultat de la translation générale dans un quadrilatère?
Au moyon de la translation parallèle, on peut résoudre un problème général qu'on rencontre souvent:
Entre deux courbes données mener une ligne qui soit égale et parallèle à une ligne donnée.
On déplace l'une des courbes d'une longueur égale et parallèle à la ligne donnée; elle coupera l'autre courbe au point où il faut mener la ligne. Ce problème peut toujours se résoudre avec la règle et le compas quand les courbes sont des systèmes composés de droites et d'arcs de cercle.
271. Mener une ligne égale et parallèle à une ligne donnée et qui ait ses extrémités sur deux circonférences données.
272. Dans un triangle, mener une transversale de longueur donnée, parallèlement à un des côtés.
273. Dans un cercle, mener une corde qui soit égale et parallèle à une ligne donnée.
274. D'un navire on voit deux points connus sous un angle donné; ce navire s'avance d'une longueur donnée suivant une direction donnée et on voit alors les deux mêmes points sous un autre angle connu; on demande de déterminer le lieu du navire.
Par les points donnés, on fait passer des arcs de cercle capables des angles donnés; le problème est alors ramené à 271.
On employé souvent un genre spécial de translation parallèle, quand on a affaire à des cercles qui touchent d'autres
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cercles ou des droites; on imagine que le rayon d'un des cercles diminue jusqu'à zéro, pendant qu'en même temps les droites ou les cercles tangents suivent le mouvement, en conservant les unes leurs directions, les autres leurs centres. On arrive souvent ainsi à ramener un problème à un autre plus simple, où les autres conditions imposées restent les mêmes, mais où un cercle est remplacé par un point.
