PREMIER CHAPITRE

A. Lieux géométriques de points.

a. Le lieu géométrique de tous les points qui sont à une distance donnée d'un point donné est un cercle qui a le point donné pour centre et la distance donnée pour rayon.

Coroll. I. Le lieu géométrique des extrémités des tangentes d'égale longueur d'un même cercle est un cercle concentrique au premier.

Coroll. 2. Le lieu géométrique des points qui jouissent de la propriété que les couples de tangentes menées de ces points à un même cercle comprennent le même angle, est un cercle concentrique au précédent.

Coroll. j. Le lieu géométrique des centres de tous les cercles de rayon donné, tangents à un cercle donné, se compose de deux cercles concentriques au cercle donné et dont les rayons sont respectivement la somme et la différence des rayons donnés.

b. Le lieu géométrique de tous les points qui sont à une distance donnée d'une droite donnée se compose de deux droites, parallèles à la droite donnée et situées à la distance donnée de celle-ci.

Coroll. I. Le lieu géométrique des sommets de tous les triangles équivalents de même base est une droite parallèle à cette base; car les triangles ont tous la même hauteur.

c. Le lieu géométrique de tous les points également distants de deux points donnés est une droite, perpendiculaire à celle qui joint les deux points et passant par son point milieu.

d. Le lieu géométrique de tous les points à égale distance de deux droites données se compose de deux droites perpendiculaires entre elles et qui bissectent les angles compris entre les deux droites données.

e. Le lieu géométrique de tous les points tels que les droites qui les joignent aux extrémités d'un segment donné comprennent un angle donné, est un arc de cercle qui a pour corde le segment donné. On dit de l'arc de cercle qu'il est capable de l'angle donné, et du segment qu'on le voit de tous les points de l'arc de cercle sous l'angle donné.

Si un point de l'arc a la propriété en question, il doit en être de même pour tous les autres, puisque tous les angles sont des angles inscrits dans le même arc. Si l'on mène une droite qui soit tangente au cercle à l'une des extrémités du segment (ou de la corde), elle fera avec cette corde un angle égal à l'angle donné, puisque tous deux sont mesurés par le même arc. On déduit de là la construction suivante: Par une des extrémités du segment, on mène une droite faisant avec lui l'angle donné; on a ainsi une tangente; une perpendiculaire à cette dernière, menée par le point de contact, passera par le centre, qui se trouvera également sur une perpendiculaire au segment, élevée par son milieu.

L'arc est une demi circonférence, quand l'angle donné est droit.

Remarque. Quand on ne sait pas de quel côté de la ligne donnée doit se trouver le point cherché, il faut construire deux arcs capables de l'angle donné, un de chaque côté de la ligne. Les deux autres arcs, qui complètent les deux cercles, correspondent au supplément de l'angle donné. S'il ne s'agit pas de l'angle compris entre deux lignes, mais de celui qui s'étend d'une ligne à une autre ligne et si l'on donne un signe

a ce dernier angle, en regardent comme positive l'une des deux directions de rotation, le lieu géométrique sera un cercle complet. Etant donné les points A et B, l'angle depuis la ligne passant par A jusqu'à la ligne passant par B est égal à l'angle depuis la tangente en A jusqu'à AB.

Coroll. I. Le lieu géométrique des points milieux de toutes les cordes menées par un point donné est un cercle; car les lignes, qui joignent les milieux des cordes avec le centre du cercle et avec le point donné, forment un angle droit.

Coroll. 2. Dans un cercle, on inscrit des triangles ABC, ayant un côté commun AB, et dans ces triangles on inscrit des cercles; le lieu géométrique des centres de ces derniers est un arc de cercle qui a AB pour corde et qui est décrit du milieu de l'arc AB comme centre. Le reste de ce cercle est le lieu géométrique des centres des cercles ex-inscrits. En effet, de chacun des centres en question on verra AB sous

JX I

des angles qui seront égaux respectivement à ^ — j C et

C\ et AB sera vu du milieu de l'arc AB sous un angle

égal à jr — C.

f. Le lieu géométrique de tous les points dont les distances à deux points donnés sont dans un rapport donné m : n est une circonférence de cercle.

Soient A, B les points donnés, P un des points cherchés, PC et PCi les bissectrices intérieures et extérieures de z APB Nous avons alors :

AC ^^ A Cl m ^ 7t

CB BCi ~ n' '^ ' ~ T *

Les points C et Ci divisent donc la ligne AB intérieurement et extérieurement suivant le rapport donné et ne changent pas, quel que soit P. Comme le segment CCi est vu du point P sous un angle droit, le lieu géométrique de P sera, (d'après e), un cercle ayant CCi pour diamètre.

On dit que les points C et Ci divisent harmoniquement

AB suivant le rapport m:n, et le problème se ramène alors à celui-ci:

Diviser harmoniquement une ligne donnée et suivant un rapport donné.

Cette construction est effectuée dans la figure ci-contre. AD et BE sont entre eux dans le rapport donné et sont menés parallèlement. BF est égal à BE. DE et DE coupent alors AB suivant les points cherchés.

C est un cas particulier de f, où 7n = n. g. Le lieu géométrique de tous les points, dont les distances à deux droites données sont entre elles dans un rapport donné m:n se compose de deux droites, qui passent par le point d'intersection des droites données.

Soient OA et OB les lignes données. Si un point /* a la propriété requise, il doit en être de même pour tous les points de 0P\ Soit P\ l'un d'eux, nous avons:

OPi ^^ BiPi OP ~ AP ~ BP' ou bien AxPx AP BxPx ~ 'BP' On peut donc mener cette ligne dès qu'on en connaît un point; et ce dernier peut se déterminer facilement à l'aide de b, en prenant arbitrairement les deux distances dans le rapport donné. L'autre ligne se tracera de la même manière; elle se trouve dans le supplément de AOB. Ces quatre lignes menées par 0 forment un faisceau harmonique. Une droite quelconque sera en effet coupée par elles en quatre points harmoniques.

d est un cas particulier de g, où tn = «. Coroll. Soient données deux droites AB et CD, et soit proposé de chercher un point P tel que A PAB et A PCD

soint dans un rapport donné; le lieu géométrique de P est le même que le précédent; car le rapport des hauteurs est constant.

h. Le lieu géométrique de tous les points, dont les carrés des distances à deux points donnés ont une différence constante a^ , est une droite perpendiculaire à la droite qui joint les deux points.

Soient ^ et ^ les points donnés, P un des points cherchés, PD une perpendiculaire à AB. Tout point de PD aura alors la propriété requise; car prenons /\ par exemple, nous avons:

Pi

d'où