SUR L'INTERSECTION DES ARCS DE CERCLES

Ce qui précède a bien souvent fait voir combien il est important de soumettre une figure à un examen minutieux pour découvrir les relations simples qui existent entre ses éléments et notamment entre ses angles. En général, un pareil examen se fait à l'aide des théorèmes qui règlent la dépendance entre les angtes et les arcs de cercle et d'autres théorèmes élémentaires du même genre. Mais si les figures sont tant soit peu compliquées, la grande quantité des angles qui y entrent rendra souvent fort difificile la détermination des relations simples. D'après cela, il sera utile de chercher à se procurer les moyens de faciliter une pareille recherche. Un pareil moyen nous est justement fourni par la considération des angles que forment les arcs de cercle, parcequ'elle rend souvent une figure bien plus facile à saisir. Je n'ai pas l'intention de traiter cette question à fond; je veux seulement donner ici quelques théorèmes qui s'y rattachent et qu'on trouvera souvent commode d'appliquer dans la pratique.

I. Dans un polygone composé d'arcs de cercle, la somme des côtés augmentée de la somme des suppléments des angles du polygone est égale à quatre angles droits.

En effet une droite peut se mouvoir en tournant autour du polygone de la manière suivante; partant d'un sommet

SUR l'intersection des arcs de cercles.

elle restera tangente au côté adjacent jusqu'à ce qu'elle ait atteint le sommet suivant; elle tournera alors autour de ce dernier jusqu'à ce qu'elle devienne tangente au côté suivant et le mouvement se continuera ainsi de suite jusqu'à ce qu'elle soit revenue dans sa position primitive. Elle aura donc décrit successivement des angles égaux, les uns aux côtés du polygone, les autres aux suppléments des angles de cette figure; et comme elle aura justement fait un tour complet, la somme de ces angles est égale à quatre angles droits.

Pour plus de simplicité, on a supposé que la ligne, après un tour complet, revient à sa position primitive; pour les polygones non convexes, elle pourra cependant faire plusieurs tours complets (ou pas du tout), en sorte que la somme des angles cherchée pourra être un multiple quelconque de quatre angles droits.

Pour que le théorème ait lieu d'une manière générale, il faut prendre les angles et les arcs avec des signes qui correspondent aux sens de rotation suivant lesquels ils sont décrits.

2. Dans un triangle, la somme des angles diminuée de la somme des côtés est égale à deux angles droits. Si les côtés passent par un même point (qui n'est pas un des sommets du triangle) la somme des angles est égale à deux angles droits et la somme des côtés est nulle.

Le dernier théorème se démontre aisément quand, au lieu des angles du triangle, on considère les angles égaux à ceux du triangle et formés au point commun d'intersection des côtés.

3. Dans un bi angle*) (figure formée de deux arcs de cercle) les deux angles sont égaux entre eux et à la demi-somme des côtés.

4. Un angle inscrit est égal à la demi-somme de ses côtés et de l'arc qui le sous-tend.

*) En l'absence de tout mot français pouvant correspondre au mot danois Tokant, nous avons employé ici l'expression non usitée de biangle, qui ce comprend facilement et rend d'une manière concise l'idée de l'auteur.