SUR L INTERSECTION DES ARCS DE CERCLES

Prolongeons les côtés jusqu'à ce qu'ils forment unbiangle; l'angle aura pour mesure la demi-somme des côtés de ce biangle. Mais la somme des deux prolongements est égale à l'arc qui sous-tend l'angle inscrit (2). Cet arc doit être pris avec des signes contraires, suivant qu'on le considère comme appartenant à l'un ou à l'autre des deux triangles suivant lesquels le biangle est divisé.

5. Etant donné deux couples de cercles, si les points d'intersection d'un des couples sont respectivement chacun sur un des cercles de l'autre couple et réciproquement, les deux cercles de chaque couple se coupent sous le même angle (2).

6. Dans un quadrilatère inscrit, la somme de deux angles opposés est égale à la somme des deux autres. Si les quatre côtés passent par le même point, les sommes de deux angles sont chacunes égales à deux droits et la somme des côtés est nulle (4).

7. Si dans un quadrilatère la somme de deux angles opposés est égale à la somme des deux autres angles, le quadrilatère est inscriptible.

De (i) il résulte en effet que la somme de deux angles opposées diminuée de la demi-somme des côtés est égale à deux droits. Mais cette somme est justement celle des angles opposés du quadrilatère rectiligne dont les sommets coïncident avec ceux du quadrilatère donné.

8. Si deux cercles sont tangents, à deux autres cercles et de la même manière, les quatre points de contact sont sur une circonférence de cercle (7).

g. Tout cercle passant par les points d'intersection de deux cercles fixes coupe un système de cercles tangents aux deux cercles fixes (et de la même manière) sous des angles égaux.

Ce théorème a déjà été démontré plus haut (198). Nous en donnerons ici une démonstration qui subsiste encore quand les deux cercles fixes ne se coupent pas. Par cercle passant par les points d'intersection, il faudra alors entendre un cercle

SUR l'intersection des arcs de cercles.

tel qu'il ait avec les deux cercles fixes un axe radical commun.

Supposons qu'un cercle soit tangent aux cercles fixes, Si et Si en A et £, tandis qu'un autre cercle du système est tangent en C et D. A, B, C et D sont sur une même circonférence (8). AC et BD se coupent en un point 0 qui est situé sur l'axe radical commun de Sx et Si et du troisième cercle Sz. Par une inversion avec le centre O et la puissance OC. OA les trois cercles ne changent pas, tandis que les deux cercles tangents se transforment l'un dans l'autre. S% coupera donc les deux cercles en deux points E et F qui sont les inverses l'un de l'autre. On a donc OF. OE = OC. OA ce qui montre que les points A, C, F, F sont sur une même circonférence. Le théorème est maintenant une conséquence de 6.

Des Systèmes de cercles.

Parmi les conditions qui peuvent servir à déterminer un cercle, il faut remarquer en particulier celles qui consistent en ce qu'il doit: i- passer par un point donné; 2° être tangent à une droite donnée; 3= être tangent à un cercle donné. Si l'on choisit les trois conditions qui déterminent un cercle parmi les précédentes, on obtient un groupe de problèmes qui, à l'exception de quatre, ont été résolus dans ce qui précède. Mais, avant de nous occuper de ces quatre derniers et de quelques autres qui s'y rattachent, nous allons établir deux théorèmes qui trouveront leur application dans ce qui suit.

10. Si un cercle est tangent à deux autres cercles en A et B, la ligne AB passe par l'un des centres de similitude des deux cercles.

Supposons que AB rencontre une seconde fois en â le cercle passant par B. On voit alors aisément que le rayon qui va en â est parallèle au rayon mené par A dans l'autre

lOO

DES SYSTÈMES DE CERCLES

cercle. A et â sont donc deux points homologues dans les deux cercles semblablement placés et par suite Aâ passe par le centre de similitude.

Si le cercle est tangent de la même manière aux deux autres, c'est à dire s'il les touche tous deux intérieurement ou extérieurement, la ligne passe par le centre de similitude extérieur; si au contraire il leur est tangent d'une manière différente, cette ligne passe par le centre de similitude intérieur.

Si 0 est le centre de similitude, les deux cercles sont deux courbes inverses ayant 0 comme centre d'inversion et le produit OA. OB est par suite constant.

Les centres de similitude extérieurs de trois pris deux à deux sont sur une même ligne

cercles droite.

Soient A, B et C les cercles, ■y le centre de similitude de A et B, ^ celui de A et C, a celui de B et C. Menons au cercle B deux tangentes parallèles aux tangentes communes k A et C et qui se coupent en P. Considérons maintenant les deux cercles " AetB] ^ et /"sont des points

homologues et par suite sont en même temps sur une même ligne droite avec le centre de similitude y. Prenons les cercles B et C\ P et ^ sont également des points homologues et par suite sont aussi sur une même droite avec a. Il résulte de là que a, ^ et y sont sur une même droite.

Coroll. I. On voit de la même manière que les centres de similitude intérieurs de deux couples de cercles sont sur une même ligne droite avec le centre de similitude extérieur du troisième couple.

Coroll. 2. Le théorème a encore lieu pour trois courbes quelconques qui sont semblables et semblablement placées deux à deux; aux trois courbes on peut en effet adjoindre

DES SYSTEMES DE CERCLES. IQI

trois cercles homologues; le théorème a lieu alors pour leur centres de similitude et ces derniers sont aussi les centres de similitude des courbes.

Exemples.

397. Tracer un cercle qui soit tangent à deux cercles donnés et de telle manière que la ligne qui joint les deux points de contact passe par un point donné.

398. Tracer un cercle qui soit tangent de la même manière à deux cercles donnés et qui intercepte une corde de longueur donnée sur une droite donnée passant par le centre de similitude extérieur des cercles.

399. On donne deux cercles A et B, et trois points D, E et F. Mener par D un cercle C tel que l'axe radical àç: A çX C passe par E et que celui de ^ et C passe par F.

400. Dans un quadrilatère ABCD, le côté AB reste fixe et les rapports des segments des diagonales sont constants. Déterminer le lieu géométrique de CD.

Supposons que les diagonales se coupent en 0 et soit : AO:OC=m:n BO:OD=p\q.

Admettons que le point (9, qui est arbitraire, parcoure une certaine courbe K. Multiplions-la par "'"^" par rapport à y:î et par ^ J ^ par rapport ai?; on obtient ainsi les courbes que parcourent en même temps C &\. D\ elles sont semblables suivant le rapport ^ ' "^ "-^ et leur centre de similitude est un point M situé sur la ligne AB (11, coroU. 2). Mais comme C et D sont des points homologues, la ligne CD passe par M, le rapport MC : MD étant égal à celui qui a été trouvé plus haut. On peut voir de la même manière que le rapport MB : MA est constant; en sorte que M est un point fixe et que par suite il est le lieu géométrique de CD.

401. Tracer un cercle qui soit tangent à deux cercles donnés et passe par un point donné.

I02 DES SYSTÈMES DE CERCLES

On connaît la puissance du centre de similitude des cercles donnés par rapport au cercle cherché. On peut donc déterminer un autre point de ce dernier et le problème se ramène à celui du N° 238.

402. Tracer un cercle qui passe par un point donné et soit tangent à une droite et à un cercle donnés.

Ce problème n'est qu'un cas particulier du précédent; car on peut considérer la droite comme un cercle de rayon infiniment grand.