Tracer un cercle tangent à trois cercles donnés
Ce problème peut facilement se ramener à 401 à l'aide de la méthode employée (page 56) à l'article de la translation parallèle.
On peut aussi le résoudre par un procédé qui ressemble entièrement à celui qu'on a appliqué dans le N° 201. Le triangle qu'il s'agit de construire est celui dont les sommets tombent aux points de contact cherchés; ses côtés passent par trois des centres de similitude des cercles donnés. Si donc on prend ces points pour centres d'inversion en choisissant les puissances d'inversion de telle manière que deux quelconques des cercles s'échangent entre eux, chacun des cercles après trois inversions viendra retomber sur lui-même. Il n'y a donc pas de différence essentielle entre le problème qui nous occupe et celui qui a été résolu précédemment.
La solution la plus simple et la plus élégante s'obtient néanmoins en ayant recours à ce théorème: que l'axe radical de deux cercles coupe suivant des angles égaux un cercle qui leur est tangent à tous deux et une des tangentes communes.
Il résulte en effet de la que les tangentes au cercle cherché aux points où il est coupé par les axes radicaux des cercles donnés sont parallèles à celles des tangentes communes aux cercles donnés qui appartiennent au même système de cercles tangents que celui qu'on considère. (Les tangentes extérieures communes de deux cercles appartiennent au système de cercles qui sont tangents
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de la même manière aux cercles donnés; les tangentes intérieures se rapportent au système des cercles tangents de manières différentes).
Soient ^, ^ et C les cercles donnés. Considérons le cercle cherché et le cercle A comme semblablement placés et ayant leur point de contact comme centre de similitude; les deux axes radicaux de ^ et ^ et de A et C sont homologues aux deux lignes dont l'une joint les points de contact entre A et les tangentes communes k A et B Qt dont l'autre réunit les points de contact entre A et les tangentes communes de A et C. Ces deux lignes se coupent donc en un point qui est l'homologue du centre radical des cercles donnés et la ligne qui joint ces deux points passe en conséquence par le point de contact cherché.
Tous les autres problèmes où le cercle est déterminé par trois quelconques des conditions que nous avons citées plus haut peuvent être considérés comme des cas particuliers du problème que nous venons de résoudre. 404. Dans un triangle ABC inscrire trois cercles Sa, S^ et Se tels que chacun d'eux soit tangent aux deux autres et à deux côtés du triangle.
Ce problème célèbre a été résolu pour la première fois (1807) par le géomètre itahen Malfatti, qui calcula les rayons des cercles cherchés et trouva pour eux des valeurs qui pouvaient se construire facilement. En 1826, Steiner fit connaître que chacune des tangentes communes à deux des cercles est en même temps tangente à deux des cercles qu'on peut inscrire dans les trois triangles suivant lesquels le triangle donné est partagé par les bissectrices des angles. Ce théorème fournit immédiatement une construction simple du problème. Steiner n'en donna toutefois pas de démonstration, mais il déclara qu'on y arrriverait au moyen d'une série de théorèmes sur les centres de similitude, les axes radicaux, les cercles radicaux, &c. qu'il énonçait en même temps. Cette démonstration a été donnée complètement pour la
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première fois et d'après la marche indiquée par Steiner, par M"^ Sckr'ôter, en 1874. Ce géomètre a toutefois eu recours à des inversions tant soit peu compliquées. Nous allons établir la construction de Steiner à l'aide de théorèmes complètement élémentaires.
Nous désignerons les points de contact avec les côtés de telle sorte qu'en parcourant le périmètre du triangle on rencontre successivement les points A, ci, C2, B, ai, m, C, d\, b<i\ Sa et Sb se toucheront en y, Sb et Se en a. Se et Sa en /?. Un cercle, tangent à S^ et Se en ^ et qui passe par ^2, coupe AC en un point D et fait avec AB et AC des angles égaux (9). Ses tangentes en c^ et D se coupent donc sur la ligne qui bissecte l'angle A et forment avec les deux côtés un quadrilatère inscriptible en sorte que l'arc aD est égal à l'angle A. Le cercle C2a^ passe aussi par ci. Soit E le point où ce cercle et le cercle ^DÔ2 se rencontrent. On a z ci£h = Z ciC2^ + ^ àiD^ == 180= — \A. Il résulte de là que le cercle ciEb^ a son centre en A. Le cercle cic^a^ coupe AB, AE et la tangente en a suivant des cordes égales; car Ac\ = AE et le cercle coupe AB et D^a suivant des angles égaux. (9n peut voir de la même manière que le cercle E^Dbi coupe AE et la tangente en D suivant des cordes égales. Soit F le point où se coupent les tangentes en a et D, et G et H les points où elles rencontrent respectivement AE. De c%F = DF, c%G = EG, DH.= EH il résulte qu'un côté du triangle GFH est égal à la somme des deux autres. Les points G et H doivent donc se confondre avec F, en sorte que AEF bissecte l'angle A. Le cercle ciaa^ coupe ainsi AB, AE et les tangentes en a et ^ sous des angles égaux et on peut par conséquent tracer un cercle concentrique qui soit tangent à ces quatre lignes. On démontrera de la même manière que ce cercle est aussi tangent à la ligne qui bissecte l'angle B et le théorème de Steiner se trouve ainsi établi. Si l'on veut aussi considérer les cercles qui
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sont tangents aux prolongements des côtés, on obtient d'autres solutions qui se déduisent de la précédente au moyen de changements très-simples.
Si dans le problème, au lieu des côtés du triangle, on prend trois cercles, on peut alors considérer la figure inverse obtenue en prenant un des points d'intersection de deux quelconques des cercles comme centre d'inversion. On établit facilement alors que le théorème énoncé et démontré ci dessus peut s'étendre aussi à ce cas, en remplaçant les bissectrices des angles par les cercles qui bissectent les angles des cercles donnés pris deux à deux (cercles radicaux) et en substituant à la tangente en ^ le cercle qui lui correspond dans la figure inverse et ainsi de suite.
Sur la possibilité de résoudre un problème donné a l'aide de la règle et du compas seulement.
Il peut arriver qu'on ne puisse pas trouver la solution d'un problème donné; et la question se pose alors de savoir si la cause ne tient pas à ce qu'on a mal compris comment il fallait attaquer le problème, ou bien si ce dernier n'appartient pas plutôt à la catégorie de ceux qu'on ne peut pas résoudre avec la règle et le compas Ce qui suit va nous donner le moyen de trancher la question dans la majeure partie des cas.
Du moment qu'un problème peut se résoudre, la solution, quelque compliquée qu'elle puisse être, doit se composer des deux opérations suivantes: mener une ligne droite par deux points donnés et tracer un cercle dont le centre et le rayon sont donnés. Chaque point est déterminé comme intersection de deux lignes droites, ou d'une droite et d'un cercle ou de deux cercles. Imaginons maintenant qu'à l'aide des formules et des méthodes de la géométrie analytique on ait calculé les coordonnées des points, au fur et à mesure qu'on les construit; dans tout le courant du calcul, on n'aura à résoudre que des équations du premier et du second degré.
On peut ainsi exprimer chacune des quantités déterminées par la construction au moyen des quantités données de telle manière que les grandeurs trouvées ne renferment aucunes autres expressions irrationnelles que de racines carrées; mais comme d'un autre côté une expression quelconque de cette espèce peut toujours se construire, la condition nécessaire et suffisante pour qu'un problème puisse se résoudre avec la règle et le compas, c'est que les quantités cherchées puissent s'exprimer au moyen des quantités données rationnellement et par de racines carrées.
On trouvera une étude des équations qui peuvent se résoudre à l'aide des racines carrés dans les ouvrages de l'auteur qui ont pour titres: Om Ligninger, der kunne l0ses ved Kvadratrod et Théorie der Algebraischen Gleichungen. Kopenhagen. Andr. Fred. Host & Son 1878. Chap. VII.*) L'auteur y a démontré les théorèmes suivants:
1. En dehors des coniques, il n'y a aucunes courbes dont les points d'intersection avec une droite quelconque puissent se déterminer à l'aide de la règle et du compas.
2. En dehors des coniques, il n'y a aucunes courbes auxquelles on puisse, d'un point quelconque, mener des tangentes à l'aide de la règle et du compas.
3. Toutes les fois qu'à l'aide de la règle et du compas on peut déterminer les points d'intersection d'un rayon quelconque d'un faisceau de rayons avec une courbe qui ne passe pas par le centre du faisceau, l'ordre de la courbe doit être une puissance de 2 et, dans le faisceau, il doit y avoir au moins deux rayons dont les points dintersection avec la courbe coïncident par couples de deux.
De ces théorèmes on peut en déduire de nouveaux par transformation et étendre les recherches à d'autres systèmes de lignes que les faisceaux de rayons, à des systèmes de
*) Théorie des équations algébriques. Traduit par Mr. I-aurent. 1896.
cercles, &c. Pour ce qui regarde ces généralisations, il nous suffira de renvoyer aux ouvrages 'cités plus haut ; nous ajouterons seulement la proposition suivante :
4. Il n'y a pas d'autres courbes que le cercle et la ligne droite dont les intersections avec un cercle quelconque puissent se déterminer au moyen de la règle et du compas.
Ce théorème peut facilement se déduire par inversion du premier théorème énoncé plus haut, le cercle et la ligne droite étant les seules courbes qui, par inversion par rapport à un centre d'inversion quelconque, donnent des coniques.
Ces théorèmes sont suffisants dans un très grand nombre de cas.
Admettons, par exemple, que dans un problème on donne une ligne dont la position soit entièrement arbitraire et qu'un certain point X de la figure doive tomber sur cette ligne. En faisant abstraction de cette condition, X décrit un lieu géométrique et, d'après le premier des théorèmes que nous avons énoncés, ce lieu doit être une conique si le problème doit pouvoir se résoudre avec la règle et le compas. Le second théorème peut s'employer d'une manière semblable, quand la figure renferme un point dont la position est arbitraire.
Si l'on considère en particulier le premier cas, on voit que, des développements qui précèdent, il découle une catégorie de méthodes graphiques générales pour la résolution des problèmes. Faisons abstraction de la ligne et construisons deux figures quelconques satisfaisant aux autres conditions; nous aurons ainsi deux positions de X, par exemple X\ et Xt. La ligne X\Xi coupe alors en un point la ligne laissée de côté, et ce point sera celui qu'on cherche, si le lieu de X est une ligne droite. S'il n'en est pas ainsi, faisons encore une recherche pour X , qui nous donnera X-i. Si maintenant le cercle X\XiXz ne coupe pas la ligne au point cherché, deux nouveaux essais nous fourniront deux autres points X^ et Xh. Les points d'intersection de la ligne laissée de côté et de la conique qui passe par les cinq points ci-dessus peuvent se dé-
terminer au moyen de la règle est du compas. Si ces points ne sont pas ceux qu'on cherche, le problème ne peut pas se résoudre à l'aide de la règle et du compas. On peut employer un procédé analogue dans le second cas.
Quand on a résolu un problème avec la règle et le compas, on peut à l'aide des théorèmes indiqués ci-dessus en conclure que les lieux géométriques de certains points sont des coniques. En général il ne sera pas difficile de distinguer si ces coniques sont en particulier des cercles ou des droites.
Applications.
405. Mener par un point donné une droite sur laquelle les côtés d'un angle donné déterminent un segment de longueur donnée.
Faisons abstraction d'un des côtés de l'angle , le lieu géométrique du point ainsi devenu libre sera une conchoïde. Comme la position de la ligne laissée de côté est arbitraire et indépendante de la conchoide, le problème ne peut pas se résoudre à l'aide de la règle et du compas. Pour certaines positions du point, (quand, par exemple, il est sur la bissectrice de l'angle) la ligne peut avoir une position particulière par rapport à la conchoide qui permettra la solution du problème.
406. De deux points fixes on mène des lignes à un point quelconque d'un cercle donné; démontrer que le lieu géométrique des lignes qui joignent les deux autres points d'intersection des premières lignes et du cercle est une conique.
Le théorème résulte de ce que le problème 201 peut se résoudre à l'aide de la règle et du compas.
407. Placer un triangle donné de telle manière que chacun de ses sommets soit sur l'un de trois cercles donnés.
Le problème ne peut pas se résoudre; car en faisant abstraction d'un des cercles, le sommet devenu libre décrit un lieu géométrique qui n'est ni un cercle, ni une ligne droite. Dans le cas particulier où deux des cercles
sont des lignes droites et où le triangle lui-même s'est transformé en une droite, on voit facilement en effet que le lieu géométrique est une ellipse.
