INTRODUCTION

Les propositions de géométrie se présentent sous deux fortnes distinctes. Ou bien elles expriment qu'une fig;ure qui a été tracée d'une certaine manière, déterminée à l'avance, satisfait à certaines conditions. Ou bien elles demandent qu'on trace (qu'on construise) une ligTire de manière qu'elle remplisse certaines conditions données. Dans le premier cas, on a le théorème', dans le second, \& problème.

Comme la solution des problèmes doit se traduire graphiquement par un dessin, il faut recourir à l'emploi de quelques instruments. Habituellement, on ne se sert que de la règle, à l'aide de laquelle on peut tracer une droite passant par deux points donnés, et du compas qui permet de décrire autour d'un centre donné un cercle de rayon donné. Une solution quelconque se composera donc pour nous de ces deux opérations (une ou plusieurs fois répétées).

Cette restriction a pour conséquence que beaucoup de problèmes, simples en apparence, ne pourront pas être résolus (trisection de l'angle, quadrature du cercle, &Ci). En général, on peut démontrer qu'il en sera ainsi pour ceux où le calcul .conduirait à des équations qui ne peuvent pas se ramener au premier ou au second degré.

Un problème est suraboni^mment déterminé, quand la figure cherchée est soumise à plus ^e conditions qu'il^n'en faut pour la déterminer; il est déterminé, quand il ne comporte qu'un nombre 6ni de solutions ; enfin il est indétertttiné, quand il en admet un nombre infini.

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2 IHTRODtCTiOK.

Pour résoudre un problème déterminé, il faut:

Effectuer la construction

Dém-ontrer qu'elle est exacte

La discuter^ c.-a.-d. indiquer les limites entre lesquelles les données doivent être comprises pour que le problème admette o, i, 3, &c. solutions.

Parmi les problèmes indéterminés, ceux qui deviendraient déterminés par l'adjonction é'une seule condition en plus, présentent un intérêt tout particulier. Quoiqu'un pareil problème ait une infinité de solutions, îl n'y sera pas satisfait par une figure quelconque ; mais toutes ses solutions se grouperont d'une certaine manière, déterminée par les conditions données. Ainsi un point est déterminé quand il doit satisfaire à deux conditions données; si on ne lui en impose qu'une seule, il devient indéterminé; mais tous les points qui remplissent cette dernière condition se trouveront sur une ligne droite ou courbe; on lui a donné le nom de h'ez{ géométrique des points qui satisfont à cette condition. Il en est de même d'une figure pour la détermination de laquelle il manque une condition; car en général, chaque poinfde la ligure se trouvera dans le même cas, en sorte que chacun d'eux aura son lieu géométrique.

La Géométrie Analytique fournit une méthode complètement générale pour la résolution des problèmes de géométrie. Mais par cela même qu'on applique une seule et même méthode aux problèmes les plus différents, il s'en suit naturellement qu'on doit très-fréquemment faire de grands détours. Ainsi, dans la Géométrie Analytique, on considère les distances des points à un couple d'axes qui en général n'ont absolument rien à faire dans la question. En outre , en appliquant cette méthode, on parvient aisément à faire mécaniquement les calculs, sans que cependant on puisse toujours interpréter géométriquement les équations qu'on obtient. Enfin, et c'est peut-être la raison la plus sérieuse, ces dernières arrivent facilement à un degré de complication tel qu'il n'est plus possible de les résoudre en pratique.

En raison de ces difficultés qu'on rencontre dans l'application directe de la Géométrie de Descartes, on a imaginé

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dans ces derniers temps une grande quantité de méthodes particulières (fondées sur l'emploi de différents systèmes de coordonnées, &c.) qui permettent de résoudre individuellement les problèmes d'une manière plus naturelle et plus élégante; mais la difficulté s'est reportée maintenant sur le choix de la méthode. On a toutefois créé ainsi une transition entre les procédés algébriques et ceux purement géométriques. Dans ces derniers, on tâche de trouver la solution du problème, en étudiant par la voie géométrique quelles sont les liaisons qui existent entre les éléments donnés de la figure et ceux qu'on cherche. Pour faciliter ces investigations, on commence dans tous les cas \>ar ^esstner tme Jigtire qui représente la solution cherchée et il ne s'agit plus alors que de l'étudier à l'aide des théorèmes connus de la Géométrie.

S'aperçoit-on, comme c'est le cas dans un grand nombre des problèmes les plus simples, que tout se ramène à la détermination d'un point inconnu? La méthode qu'on doit appliquer découle immédiatement de ce qui précède.

On considère, en les prenant isolément, les deux conditions auxquelles le point cherché doit satisfaire; à chacune d'elles correspondra un lieu géométrique; et si ce sont des droites ou des cercles, le problème est résolu. Car le point, devant se trouver en même temps sur chacun des deux lieux, doit se trouver aux points où ils se coupent.

Si les lieux géométriques sont deux droites, le problème n'admet qu'une solution et ne peut devenir impossible que si les lignes sont parallèles. Si ce sont deux cercles, ou un cercle et une droite, le problème admet deux solutions quand ils se coupent, une quand ils sont tangents; il devient impossible quand ils sont extérieurs l'un à l'autre. Il y a une différence qualitative entre ce cas et le précédent, où l'impossibilité n'était qu'une question de limite.

Quand les lieux géométriques sont d'autres courbes, on ne peut plus les employer directement pour les constructions et il faut reprendre la question d'une autre manière. Il faut toutefois remarquer qu'un point qui est donné par l'in

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d'une droite et d'une conique peut-être déterminé au moyen d'une droite et d'un cercle, tandis que la construction ne peut plus s'effectuer si le point est déterminé par l'intersection de deux coniques indépendantes l'une de l'autre.

La méthode qu'on vient d'indiquer pour les problèmes les plus simples, peut s'étendre aux plus compliqués. La règle serait la suivante:

On considérera l'une des conditions imposées à la figure comme n'existant pas, et l'on cherchera les lieux géométriques des points de la figure ainsi rendue indéterminée.

On conçoit aisément qu'il est de la plus grande importance de connaître beaucoup de lieux géométriques, en tant que ce seront des droites ou de cercles. Dans le premier chapitre, nous donnerons les plus importants d'entre eux, avec un développement détaillé des principales règles énoncées ci-dessus.

Quand on ne pourra pas appliquer immédiatement les lieux géométriques, la règle à suivre sera celle-ci: De la figure tracée on en déduira une autre dans laquelle la liaison entre les éléments donnés et ceux qu'oncherche ressortira plus commodément. Nous traiterons ce sujet en détail dans le second chapitre.

Dans ce qui suit, pour abréger, nous désignerons un triangle par ABC et les longueurs de ses côtés par a, è, c. La hauteur correspondant à a s'appellera ha', la médiane ou même côté (transversale passant par le centre de gravité) sera ?«û. La longueur de la bisectrice de Z ^ sera w„. r et p sont les Bayons des cercles circonscrits et inscrits, tandisque /;„, pi,, pc sont ceux des cercles ex-inscrits (le cercle de rayon p^ est tangent à a et aux prolongements de b et c). Quand on parlera d'un quadrilatère ABCD, il faudra se représenter les sommets dans l'ordre où on les énonce.

Z {a-,b) représente l'angle compris entre deux lignes a et b.

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