LIEUX C.EOMEIRIQCES DE POINTS

C, Le Heu géométrique de tous les points également distants de deux points donnés est une droite, perpendiculaire à celle qui joint les deux points et passant par son point milieu.

d. Le lieu géométrique de tous les points à égale distance de deux droites données se compose de deux droites perpendiculaires entre elles et qui bissectent les angles compris entre les deux droites données.

e. Le lieu gêométriqne de tous les points tels que les droites qui les joignent aux extrémités d'un segment donné comprennent un angle donné, est un arc de cercle qui a pour corde le segment donné. On dit de l'arc de cercle qu'il est capable de l'angle donné, et du segment qu'on le voit de tous les points de l'arc de cercle sous l'angle donné.

Si un point de l'arc a la propriété en question, il doit en être de même pour tous les autres, puisque tous les angles sont des angles inscrits dans le même arc. Si l'on mène une droite qui soit tangente au cercle à l'une des &xtrémités du segment (ou de la corde), elle fera avec cette corde un angle égal à l'angle donné, puisque tous deux sont mesurés par le même arc. On déduit de là la construction suivante: Par une des extrémités du segment, on mène une droite faisant avec lui l'angle donné; on a ainsi une tangente; une perpendiculaire à cette dernière, menée par le point -de contact, passera par le centre, qui se trouvera également sur une perpendiculaire au segment, élevée par son milieu.

L'arc est une demi circonférence, quand l'angle donné est droit.

Remarque. Quand on ne sait pas de quel côté de la ligne donnée doit se trouver le point cherché, il faut construire deux arcs capables de l'angle donné, un de chaque côté de la ligne. Les deux autres arcs, qui complètent les deux cercles, correspondent au supplément de l'angle donné. S'il ne s'agît pas de l'angle compris entre deux lignes, mais de celui qui s'étend d'une ligne à une autre ligne et si l'on donne un signe

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a ce dernier angle, en regardant comme positive l'une des deux directions de rotation, le lieu géométrique sera un cercle complet. Etant donné les points A et B, l'angle depuis la ligne passant par A jusqu'à la ligne passant par B est égal à l'angle depuis la tangente en A jusqu'à AB.

Coroll. 1. Le lieu géométrique des points milieux de toutes les cordes menées par un point donné est un cercle; car les lignes, qui joignent les milieux des cordes avec le centre du cercle et avec le point donné, forment un angle droit.

Coroll. 2. Dans un cercle, on inscrit des triangles ABC, ayant un côté commun AB, et dans ces triangles on inscrit des cercles; le. lieu géométrique des centres de ces derniers est un arc de cercle qui a AB pour corde et qui est décrit du milieu de l'arc AB comme centre. Le reste de ce cercle est le lieu géométrique des centres des cercles ex-inscrits. En eiïet, de chacun des centres en question on verra AB sous

des angles qui seront égaux respectivement à 1 C et

— C\ et AB sera vu du milieu de l'arc AB sous un angle

égal à TT — C.

f. Lelieugéométriquede F

tous les points dont les distances Z' ^N,

à deux points donnés sont dans / \

un rapport donné 7n:n est une A C B C,

circonférence de cercle.

Soient A, B les points donnés, P un des points cherchés. Menons les bissectrices intérieures et extérieures de z. APB en PC et PCj . Nous avons alors :

AC AC, m y rPP ~ ""

cb"bc;-^' ^^^^' ^T"

Les points C et C, divisent donc la ligne AB intérieurement et extérieurement suivant le rapport donné et ne changent pas, quel que soit F. Comme le segment CC, est vu du point F sous un angle droit, le lieu géométrique de F sera, (d'après e), un cercle ayant C'C, pour diamètre.

On dit que les points C et Cj divisent harmoniquement

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X GEOMETRIQUES D

AB suivant le rapport m:n, ei le problème se ramène alors à celui-ci:

Diviser harmoniquement une ligne donnée et suivant un rapport donné.

Cette construction est effectuée

/■■:;■-.... ^ tians !a figure ci-contre. AD et BE

j j ■■ /""'"--—. ^ sont entre eux dans le rapport donné

/" ' et sont menés parallèlement. BF est

égal à BE. DE et DE coupent alors

AB suivant les points cherchés.

c est un cas particulier de f, oii m =- «.

g. Le lieu géométrique de tous les points, dont les distances à deux droites données sont entre elles dans un rapport donné m:n se compose de deux droites, qui passent par le point d'intersectio'n des droites données.

Soient

OA

et

OB les lignes

données. Si

un

point P a la pro-

priété requise.

il doit en être de

même pour

tous

îles

; points de OP;

Soit P, l'ur

ÎUX,

nous avons;