Si , pour une mémo position de l’axe, on fait mouvoir

l'origine O des coordonnés , en faisant dans X=y , le

nonibre des racines imaginaires ne change pas ; mais , le rapport des racines réelles positives aux négatives change ; de plus, la transformée en Z éprouve un changement dans scs signes , chaque fois que roi'iginc O dépasse soit une branche de la courbe , soit une ordonnée de sommet S , soit une ordonnée de quelque point I d'inflexion.

12 . * Si l’origine O est transportée sur un point de la courbe , le terme constant de la transforme'e en z s’anéantit ■, s'il cs> transporte ^sur une ordonnée de sommet , c'est l’avant-dcrnicr terme , celui en Z , qui s’anéantit ; s’il est transporté sur une ordonnée de point d’inQcxioti , c’est l’antépénultième , celui en z * , qui devient uul,

13. ° Si l’origine dépasse une branche de la courbe, la transformée perd une variation ; elle en perd deux si l'origine outrepasse , soit deux branches, toit une ordonnée /n/'/r/mâ, c’est-à-dire , de sommet convexe,

i4° Si l’origine dépasse un nombre impair de branches, le terme constant de la transformée en z change de signe ; si ce nombre est pair , le terme ne change pas de signe.

J 5.* Le nombre des sommets S, , S, est moindre d'une

unité que le degré de la proposée , si sa dérivée a toutes scs racines réelles -, mais la courbe perd autant de sommets que cette dérivée a de racines imaginaires.

- i6.° Quand on déplace l'origine O , l'avanl-dernicr terme de la

transformée en z diminue à mesure que l’origine approche de l'prdonnéc du sommet , pour devenir nul en ce point et changer

de signe après ce point ; mais , ce changement de signe n’a plus lieu si l’abscisse du sommet est imaginaire.

17. ® Quoique l'abscisse d’un sommet soit imaginaire , ( comme il arrive pour la figure 6 qni n’a qu’un sommet réel et deux Imaginaires ) ; la transformée en z perd deux variations , lorsque l’origine O dépasse l’ordonnée minîma iinaginaire.

18. “ Quand on change la grandeur du terme constant de la proposée X=y, on fait mouvoir l'axe des x parallèlement ^ luiméme , sans changer sa direction.

19. ® Quand on change la direction de l’axe des jr , des racines . réelles peuvent devenir imaginaires, des sommets réels disparaître,

et réciproquement.

16. Je crois utile do rapporter encore ici quelques autres théorèmes sur les équations pour compléter ceux du numéro précédent.

1. ® Les racines imaginaires sont toujours en nombre pair, et vont par couple de la forme A 4 -Bv/“] et A — , dont le proihi t est un facteur réel du second degré far—

2. ® Une équation peut toujours être conçuecomme le produit d’autant

da facteurs x — a , x—b qu’il 'y a d’unités dans l'exposant m de

son degré; alors elle est divisible par ar — a , j — 3, elle peut

aussi être considérée cuiumo le produit des facteurs du a.“* degré ou du 3 ."“*, etc.

3 . ® Lorsque la substitution de deux nombres n et n' i la place de X dans X=o, donne deux résultats de signe contraire, on est assuré qii il existe un nombre impair de racines réelles dont la valeur est comprise entre n et n'.

Si les deux substitutions donnent des résultats de même signe, le nombre des racines réelles comprises est toujours pair , savoir ,0,2, 4

4 -* En mettant — x pour -\-x , c'est-à-dire , en changeaiu I«5 signes des termes de rang pair , ou bien ceux de rang impair, les nciiics positives deviennent négatives , et vice versd , sans changer de graiideiic ; d oii il suit que quand on sait trouver les racines positives-, on sait aussi trouver les négatives,. '

( la )

5 .* Dans les équations de degré pair ^ a! le dernier tcritie est négatif , il y a toujours au muins une racine réelle positive et une négative ; mais , si ce terme est positif, on ne peut rien en conclure.

6 ° Quand on met z+l pour x dans X=o , le terme constant do la transformée est le même que si on avait mis seulement l pour X dans X ; donc , si ce terme constant de la transformée est nul, / est une. racine de X~o.

7. ** On peut toujours préparer une équation de manière que le coefGcient du premier terme soit l’unitc' , et que les autres soient des nombres entiers ; alors ses racines ne peuvent être que des nombres entiers , ou des nombres fractionnaires irrationnels , mais non des fractions rationnelles.

8. ° On connaît aussi le moyen de débarrasser une équation de scs racines égales.

g.® Une équation ne peut avoir plus de racines réelles positives qu’il n’y a de variations dans la succession des signes de ses coeiTiciens , ni plus de racines réelles négatives , qu’il ne s’y trouve de permanences de signes ; c’est la fameuse règle de Descartes.

Il en résulte que, quand toutes les racines sont réelles, il y a précisément autant de racines positives que de variations , et autant de négatives que de permanences.

io.° Quand il manque un terme dans une équation, et que les deux termes voisins sont de même signe , elle a nécessairement des racines imaginaires ; mais elle peut aussi en avoir , quoique cette condition n’existe pas.

On verra plus loin le théorème général , que j’aj trouvé le premier , sur la détermination des racines imaginaires , dans les équations de tous les degrés.

17. Règles pour trouper les diviseurs çommensurahles. Une racine en nombres entiers ne peut être que l’un des diviseurs du dernier terme.

Pour distinguer si le nombre a , diviseur du dernier terme , est racine de l’équation , après avoir divisé le dernier terme par a , ou

retranchera ce quotient du coeflicient de l'avant-dernier terme , e( l'on divisera cette différence par a ; puis on soustraira ce quotient du coefHcient de l’antcpénultième terme , et ainsi de suite. Si tous ces quotiens sont des nombres enl'iers , et si , de plus , la différence entre le coefficient du deuxième terme de la proposée et le quotient précédent , sont l'unité , le nombre a sera racine de l'équation ; datt* le cas centraire , il doit être rejeté.

On essaie à la fois tous les diviseurs du dernier terme , en formant un tableau. Nous n’entrerons pas ici dans les détails de ce procédé, parce qu'on les trouve dans tous les élémens d'algèbre.

La méthode de M. Budan peut aussi être employée avantageusement , quand le terme connu n'est pas un grand nombre. ( Voyez Y Algèbre de Garnier , pag. 402 et 4 o 3 - )

18. Ves limites. La méthode que nous exposerons dans le chapitre suivant, pour déterminer les racines réelles, suppose qu’on connaît déjè des limites de ces racines ; c’est pourquoi nous allons rapporter plusieurs procédés pour obtenir ces limites.

i.^* Règle. Si , au coefficient du premier terme x” d’une équation, on ajoute le plus grand coefficient de signe contraire , pris sans égard au signe , et qu’on divise la somme par ce premier coefficient, le quotient est plus grand que la plus gronde - racine positive : c’est la limite supérieure des racines positives.

Si on change -|-t en —x dans la proposée , le quotient ohtcou parla règle précédente , cet la limite supérieure des racines négatives.

SI on divise le terme constant par la somme de ce terme et du plus grand cnclficient de signe contraire , abstraction faite de ce signe , le quotient est plus petit que la plus petite racine positive , c’est-è-dirc , qu’il est la limite infér'teure des racines positives.

Si on change -{-x en —x dans la proposée , lo quotient obtenu par la dernière règle , est la limite inférieure des racines négatives.

a.“* Règle. La proposée étant x"-^ e=o , w étant l’exposant

premier des termes négatifs à partir de x” et S le plus grand

coe/ficieni négatif, la limite supérieure des racines positives sera

La proposée étant écrite de manière que son dernier terme T soit positif, si S est le plus grand cocITicicnt négatif, et « IVxposant du premier des termes négatifs, it partir du terme J, la limite

inférieure des racines positives sera ar= ^ \ . (Voyez Y Algèbre

de Garnier , pag. 422 ).

3 .** Règle. En ajoutant successivement à l’unité «ne suite de fractions ayant pour numérateurs les cocfTicicns négatifs d'une équation proposée , pris positivement , et pour denniniiiatcurs la somme de tous les coelBeiens positifs qui les prén dent respectivement ; le plus grand des nombres résubans pourra 1 tre pris pour limite supérieure des racines de celle éqiialion. Il est entendu , au surplus, qu'il sufiit de considérer le plus grand crenicient dans chacune des séries de termes négatifs ( Annales de malhématiques , tom. VI , pag. ii 4 ).

Pour avoir la limite inférieure positis'e de jr, on fera x —

ayant trouvé la limite supérieure de z ; — sera la limite inférieure de X.

On aurait les deux limites négatives de x en changeant préalahlemenl les signes des termes de rangs pairs dans la proposée ; c’est-à-dire , en changeant -hx en — x.

4.'“* Règle. On peut obtenir des limites plus aj-prochées en faisant x—rz , r étant une imléternilnée dont on li.xe ensuite la valeur par la condition que la limite qui en tésuilc pour x soit la plus approchée. Ce perfectionnement , qui peut se faire par une espèce de tâtonnement , peut s'appliquer à chacune des méthodes précédentes.

Soit proposé , par exemple ,

(j;— 5X^— 6}(ar— 7X^“*o) — 28 z’+ 2 S 7 j:*— I aSox+a i oos o i

par la i J* rèelc, la limUc înf<irieure posilîve est =o,6.

Pour avoir une litnilo plus approchée, je fais x = rz , la trans^ formée est

r*z*— -aSr’x’+a Sÿr’z’— i a 8orz -f 2 1 oo = o .

Si l’on prend r tel que a8r*>i28or ou r>7, ce sera le terme

— aSrV qui fournira la limite d’après la i.'* régie , laquelle *cra

aïoo aloor , . ,

i— , et par conséquent x= — . Cette fraction de-

aioo+»«rJ ’ aioo+a8r»

vient un maximum quand on prend , et donne x=i , 4 environ.

Si l'on prend r<.’j , c’est le terme — laSorr , qui fournit la

limite , laquelle est pour la proposée x= — . Cette fraction ’ ^ ‘ ‘ aïoo-l-iaSor

devient un maximum quand r=7 environ , et donne x— i , 3 ;

ainsi, la limite la plus approchée par cette méthode, est x=:i , 4>

La vraie valeur est x= 5 .

5 ."“ Jiig/e. Si le second terme a un coefFicient négatif qui ne soit surpassé par aucun des autres cocfHciens négatifs , on prendra pour limite supérieure ce coc/HcIcnt considéré comme poshif et augmenté de runitë , le premier coefficient étant suppose un.

Mais , si le plus grand coefHcient négatif n’est pas celui du second terme , soient — et — les deux termes négatifs pour lesquels et sont les plus grands possibles ; il faudra

prendre pour limite supérieure positive

Si la proposée n’avait qu’un seul terme négatif — Ajx"** , la limite de x serait simplement .

En faisant x-=: et cherchant la limite supérieure de z , la limite

inférieure de x sera x=~ • (^Suppiimeni à la théorie des nomhrês de Legendre, pag. 38.)

19. Des racines égales, II n'y a rien i ajouter sur cette matiirt qur est approfondie depuis long-temps : voici la règle connue.

Si la proposée est A'=o , et sa première dérivée A'^=o , en appelant D le plus grand commun diviseur entre X tX. X' , ce diviseur D contiendra toutes les racines égales de la proposée ; mais élevée à une puissance moindre d’une unité. £n divisant X par D , on aura une nouvelle équation qui ne contiendra plus de racines égales.

Le facteur D peut encore être composé lui-méme de plusieurs facteurs di/Térens entre eux , doubles , triples , etc. On le décomposera & son tour en l'égalant à aéro , et en opérant sur lui comme on a fait pour le polynôme X : on traiterait encore de la même manière le second diviseur commun £, et ainsi de suite.

Soit proposé , par exemple ,

— i aar— 8=0 ;

X' = 6atî+7»*+36a:*+35a •— 8a;’+9jr’-+-4sr— 1 3 = 0 . On trouve

0=a*-f-a’+»’+3ar-|-a .

La dérivée de D est

OD trouve

Divisant D pat* (*-f*i)* , on a pour quotient

Donc

JT’— ^-4-3 i

Divisant X par (»’— ar-+-a)’(ar-4-i)’ , on a pour quotient

Donc enfin

3)(jc* — j»-j-3)'(4r+i)’ .