MÉTHODE HOUVEUS FOUR DÉTERMINER LES RACINES RÉELLES INCOMMENSURABLES

ao. La mëihode que je vais exposer résulte des remarques faites dans le n.° i5 , sur ce qui arrive dans l’équation X=y , quand on déplace l'origine O des x , en faisant s=.z-\-l. Nous avons vu

que la transformée en z perd i , a , 3 n variations , suivant

que l'origine a dépassé i , a , 3 , n racines réelles ou ima-

ginaires : c'est ce principe qui seul va nous fournir la solution dn problème.

Soit A=o la proposée, X—y la courbe parabolique (üg. 4>S) qui représente la proposée ; O, l'origine des :r ; /, la limite Inférieure des racines positives de la proposée. Si on met dans X~y , x,-f-A au lieu de x , on aura une transformée Z, —y , dans laquelle l'origine des X, sera placé quelque part en (V, entre la première origine et la branche la plus voisine ; soit ensuite /, la limite inférieure des racines positives des Z,r=o, si dans Z,^y on met an llea

de Z, , ou , ce qui revient au même , si on met au lieu

de X dans X=y , on aura une deuxième transformée Z, = ^ , pour laquelle l’origine de z, sera située quelque part en entre O', et la courbe.

Il est évident qu’en continuant ainsi b former de nouvelles transformées l’origine des abscisses se rapprochera

conünuellement de la courbe : la racine cherchée sera exprimée par et l'on pourra en approcher d'aussi prèsqu'oa

voudra , tans jamais craindre de la dépasser : si celle racine était

comincnsurable , la série /, , /, , /, se terminerait quand

l'origine serait transportée sur la courbe ; alors le terme constant des transformées successives , qui va toujours en diminuant , deviendrait nul.

Voilà doue un procédé direct et infaillible de trouver la plus petite racine positive avec le degré d'exactitude dont on a besoin : voyons comment la même méthode peut faire découvrir les autres racines (*).

Si on 'connaissait la loi de décroissement des limites succq^ives

/, , /, , /, on pourrait , en sommant cette série, avoir la

valeur exacte de a; ; on voit encore que si est un nombre un peu plus grand que la vraie valeur de la plus petite racine positive, et qu’on mette x^>4'/4 dans X~y, à la place de x , cette nouvelle transformée Z^-^y aura une variation de moins que la dernière transformée Z^~y , à laquelle on s’est arrêté , et qui, elle-même, a perdu autant de fois deux variations que l’origine O a rencontré d’ordonnées minima pour parvenir à la courbe. ( Voyez le i3.* du n.® i5 ).

11 suit de là qu'on pourra continuer les transformées en choisissant pour un nombre tel que Z ^ = y , ait une variation de moins que Z ^—y ce choix peut se faire à l’inspection de , /i , /, ■ et ai on ne rencontrait pas un nombre convenable , un second essai sulErait toujours ; mais , il faut bien remarquer que ce nombre l ^ , qui doit, être plus grand que la limite inférieure de Z , n’est po'int une limite. Ayant une fois obtenu la transformée Z ,—y, qui a una variation de moins que ^ , on continue une nouvelle

(•) On pourrait , comme a fait M. Ltgenâre , abaisser la proposée d’un

degré en divisant la proposée par ; mais le reste des

divisions n'est pas exact , parce que le diviseur ne l’est pas , et U en résulta des incanvéïuciu qui peuvent être graves dans certaim cas.

Urie de transformées , dans lesquelles/, , sont les limites inférieures de Z ^=o ,Z^=o, On arrWcca par ce mdyon à l’expression

de la seconde racine qui est x=/.-+-/,-4-/,-f-/^-|-/, On suivra la

même marche pour trouver toutes les autres liacines de la proposée. Le procédé sera uniforme et constant ; il n’y aura d’irrégulier qu'un essai , au plus , à chaque rencontre d’une branche nouvelle , pour que la nouvelle transformée perde une seule variation.

On pourra aussi trouver la plus grande racine positive qnc j’appelle X, , en mettant , dans A'=o , L — x, , pour x ( Z étant la limite supérieure positive de X=o ) , et traitant la transformée X, = o , qui aura toutes ses racines positives , comme on a fait pour A’=o. La plus petite racine positive de jV,=o sera la plus grande de X—o, et la plus grande de Jf,=o sera la plus grande négative de X=o, si celle-ci en a. ’ . . . .

On peut encore avoir les racines négatives de A'=0 , en y changeant -1-x en —X ;• par là les négatives deviendront ’les' positives ; et wVe vfrsd.

On voit , par ce qui précède , que si la proposée a plus de deux racines réelles positives'ct de deux négatives, on trouvera directement Ins deux plus grandes et les deux plus petites ; ce qui établit une ligne de démarcation entre le 4.“* degré et le S."** qui exige un essai de plus, pour les racines comprises entre lés extrêmes.’

Afin de faciliter la formation des transformées successives en z, on cmplolra les formules suivantes.

Soit la proposée

a+bx-\-cx'+dx*-k-ex^+fx* -r-jr"=os=A‘ ; - *

en y substituant z-f-/ pour x , on a la transformée suivante

X+Bx-i- -f-z-=o=.^ ,

dans laquelle on a fait , pour abréger ,

iî=3+3r/4- 3«S‘+ 4«/>+5//»

C=r+3<//+ 6e/*+io//’ »=J+4//+io/7*. . . . :

Esse-^^/l. ; .