Exemple. Soit proposé
a— •6^+7**— 5 x’+cr*=o=.Y , (*)
d’après la première règle du n.” i8, la limite inférieure positive
de X est /, = ; =o , 3 ; et je substitue o , 3 au lieu de l dans
les expressions de A, B, C , D du n.® ao qsi sont ici
par lè la formule
A-^Bz-^Cz'-^-Dz^-^-z^^o—Z I donne pour première transformée
Je prends pour limite de Z, = o , /,=o, a , et je mets o,3+o,a ou 0,5 pour /, dans la formule de translormation Z—o\ il vient pour deuxième transformée
— 3z,*-4-z,’— 2,25r,-{-o,i875=o=ir, :
(•) Ou (z*— x40C*’~4*+a)=o.
Ca3)
Je prends pour limite de Z,=o , /,sso,ô8 , et Je mets dans la formule Z— a , o, 3 +o,a+o,o 8 ou o ,58 pour /; il vient pour troisième transformée
* i , ^+0,3 1 84 z , *— a, 1 4555 az , -f-o.o 1 240496 = o s= 2 T , .
La petitesse du terme constant de cette troisième transformée m’avertit que l’origine des abscisses approche fort près de la courbe , et que je puis , sans inconvéniens , prendre pour limite de la dernière transformée en X, , (abscisse devenue assez petite)
, — -4 o,oi»4o496 , „
et j’ai , pour la plus petite racine cherchée ,
En mettant 0,58578 pour /, dans la formule Z—o, on aurait une quatrième transformée 2T^=:o qui fournirait une valeur jt'=o,58578
— — beaucoup plus approchée que la précédente étant fourni par ^^=0^.
Je passe à la recherche de la deuxième racine. Je mets 0,6 pour / dans la formule Z = o , et j’ai , pour quatrième transformée ,
qui , ayant perdu une variation , m’apprend que l’origine a dépassé une branche.
Je mets 0,63 pour / dans la formule Zssso ^ et j’ai , pour cin^ quième transformée ,
•*i*~*» 82 x,’-|-«,oo 64 x,’— 3 , i 333 i 2 z,— 0, 07307664=0= Z, .
Pour avancer plus rap! 3 «nicnt , je mets i pour I dans Z=o ^ et il vient une sixième transformée qui a deux variations de moins que la précédente ; j'en conclus qu'il y a deux racines entre sr=o,6a et x=i ; il s’agit de savoir si elles sont réelles ou imaginaires. Je pourrais déjà deviner qu’elles sont imaginaires, parce que le terme A ne tend pas vers zéro dans les dernières transformées. Afin d’en être plus sûr, je prends la limite inférieure de Z ^^o , laquelle est
— — — ■■ =0,07 environ , et je 1 aioale avec 0,62 ; je mets la
somme 0,69 pour / dans Z=o ; il vient une nouvelle transformée
qui a encore deux variations de moins que ; d’où je conclus
avec certitude que les deux rarines douteuses sont imaginaires.
Je procède donc 1 la recherche de la quatrième racine qui est aécessai rement réelle , et , comme il n’y a aucune incertitude à craindre , j’emploie la méthode commune. Je substitue successive» ment pour x dans la proposée A’=o, i , a , 3 , 4 > ayant reconnu , par deux résultats de signes contraires , que la racine cherchée e.st entre 3 et 4 > et ensuite qu’elle est entre 3 , 4 et 3 , 5 ; je mets 3 , 4 pont J dans les valeurs de A , B , et j’ai pour la
quatrième racine «= 3 , 4 g ou «=3,4i43> On pouvait aussi pro-
céder comme k la fin du n.” 20.
a 3 . Autre simplification. On peut encore abréger les calculs de la méthode précédente , ainsi qu’il suit.
Je construis la courbe X=y en calculant seulement quelques ordonnées de loin en loin ( ce qui peut se faire promptement par la méthode n.* 3 q ) ; cette esquisse de la courbe sullit , d’ordinaire , pour en connaître le cours et les particularités , ainsi que pour avoir une première valeur approchée des racines ; on les détermine ensuite avec plus d'exactitude par la méthode de liewton, qui est , le plus souvent , sans inconvénient.
S"il arrive que quelques sommets convexes s'approchent assez près de l'axe des s pour faire douter si cet axe doit couper la courbe
tm
en cc point, on calcule quelques ordonnées intermédiaires qui suf> lisent, presque toujours, pour lever le doute.
Enfin , si cela ne sulHt pas pour lever l'incertitude , on a recours à la méthode précédente ; mais seulement pour les points douteux.
On sent que cette deuxième méthode doit être plus prompte que la première , puisque , au lieu d’ètrc obligé de calculer tous les cocITiciens A, B , C , D, il sulTit , pour l’ordinaire , de con-
naître A et B. Dans l'exemple du numéro précédent , la courbe n’a qu’un sommet eoncave , et l’ordonnée minima de sommet convexe est imaginaire ( Kg. 6 ). La méthode du présent numéro s’applique ici avantageusement , parce que la Kgure ne présente aucun poinf douteux qui exige l’emploi de la méthode générale des numéros 20 et 21 .
24- Remarque sur les limites. La méthode de ce chapitre serait plus expéditive en ce qu’elle exigerait moins de transformations, si l’on avait une règle qui procurât une première limite plus approchée : Newton en a donné une qui est fautive dans beaucoup de cas , et qu’il est utile de signaler.
Si , dans X = o , on met z-^l pour ar , on a une transformée Z=o ; si, dans celle-ci , on met pour l un nombre tel que Z ait tous ses termes positifs ( nombre qu’il faut trouver par tâtonnement ), il est évident que / sera une limite supérieure de X=o , et qu'en diminuant ce nombre , on approchera de plus près de la racine. Cette conséquence de Newton sera vraie , si la plus grande racine positive est réelle ; mais , si cette plus grande racine est un couple imaginaire , on ne pourra le dépasser sans que la transformée perde deux permanences ; on pourra être encore bien loin de la plus grande racine positive réelle : la limite trouvée sera très-peu approchée , e.t la règle sera en défaut ; aussi Je ne l’ai rapportée que pour empêcher de la confondre avec les procédés de ma méthode ( Voyez V Algèbre de Garnier , pag. 4^4 r 1^ défaut de cette règle n’a pas été remarqué ).
aS. Rifiexions. Après avoir exposé notre méthode , il ne sera pas
ionlllfl de U comparer av^c celles qui sont le plus en usage , afin de faire mieux seollr les points de la dliliculté à raincre , et le but qu'il fallait atteindre.
Le moyen qui se présente le plus naturellement pour découvrir les racines , c’est de substituer dans X, pour s , des nombres tant positifs que négatifs , en progression arithmétique , jusqu’à ce qu’on ait obtenu des résultats de signes contraires : on est alors assuré qu’il existe un nombre impair de racines entre les deux nombres qui ont procuré ces résultats ; mais 11 est évident qu’on peut dépasser un nombre pair de racines , sans obtenir des résultats de signes contraires : ainsi , ce premier moyen n’est ni sûr ni sufBsant.
Newton supposa celte première difficulté levée , et donna tins méthode pour approcher de plus près de la racine déjà trouvée ; mais Lagrange fit voir qu’il pouvait arriver , dans certain cas , qu’on s’éloignât de la vraie valeur , au Heu de s’en approcher. « L usage K de la méthode dont il s’agit n’est sûr que lorsque la valeur ap-
> prochée « esc à la fois ou plus grande ou plus petite (|ue chacune K des racines réelles de l'équation , et que chacune des parties réelles
> des racines imaginaires ; et , par conséquent , cette méthode ne » peut être employée sans scrupule que pour trouver la plus grands » ou la plus petite racine d’une équation qui n’a que des racines » réelles , ou qui en a d’imaginaires , mais dont les parties réelles sont » moindres que la plus grande racine réelle , ou plus grande que » la plus petite de ces racines ». {De la résolution ^ etc., par Lagrange, pag. i 4 i.)
Nous avons déjà vu ( n." 9 ) que la méthode de Lagrange est impraticable , t.* à cause do la difficulté de trouver le nombre D à substituer pour jr , lequel doit être plus petit que la plus petite différence des racines ; 2“ parce qu'elle peut exiger , en certains cas , des milliers de substitutions.
La méthode do Budan serait préférable , sans l’embarras qui résulte des racines imaginaires , et la nécessité de calculer les décimale* l’une après l'autre.
( )(t B»-, me fâa iUvslon tontM lei difficultés dis{$araissènt dans
ma mclliode. Par le procède du n." ao, on troirve, sans meertilude;
teulea U» racdoes l’one apnts Tauire , en parcotirani Fa-te des x;
letil-on nnr<^er plus rapidcipent , le i>.° sr en fournit le moyen
s’il arrive qu'on ait fait un pas trop grand « on en est averti sur-^
le-champ par les changemens survenus dans les variations de la
transformée : la règle de Descartes est U comme une boussole qui
indique, è chaque instant, le point où l’on se trouve. Enfin , veut-on
un procède encore plus facile et plus lumineux , le n.° :>3 le
fournit. Le tracé grossièrement fait de la courbe indique , d’un seul
coup-d’ocil , les points scabreux ou douteux qui exigent l'emploi
» db la méthode générale : dans tous les autres points , on marche à
grand pas et sans précautions, parce qu’il n’y a pas d’écueil à évitera
On a pu remarquer que notre expression du n.* ai^ pour
avoir une limite plus approchée , ressemble b la méthode de Newton-, mais , on doit faire attention que l’inconvénient , apcri^u . par La~ grange , n’a plus lieu ici , parce que'’ les changemens survenus dans les variations, font connaître b chaque instant la position de l’origine à l'e'gard des branches de la courbe. ,
On pourrait encore, au premier abord, confondre nos transformées
en x, 4-A . avec celles de M. Budan en x— i , x— a ;
mais , nos deux méthodes n’ont absolument rien de commun ; dans les transformées de M. Bu^n , l’origine des abscisses x ne change point : dans la nétre , au contraire, l’origine des z, , x, se meut en se rapprochant de la courbe , et c’est ce mouvement de l’origine combiné avec les changemens de variations , qui constitue le principe de notre méthode , principe qui diffère essentiellement de tous ceux qui ont été employés jusqu’à ce jour.
Dans ce chapitre , j’ai supposé qu’on ignorait., avant d’entreprendre de résoudre l’équation , le nombre de ses racines imaginaires , afin que le commun' des lecteurs n’eût besoin que ‘d^ connaître la méthode de ce chapitre ; mais quand on connaîtra la règle du chapitre YI,
lur las racines inaglnaires an marchera d’un pas plus auord dans la recherche des racines réelles.
Quant i la méthode de M. Ltgtndrt , fondée sur la considération des fonctions omales , elle diflière trop de la mienne pour qu’il soit besoin de les comparer,
