CHAPITRE IV
HSIHODEâ ARAUTIQUES ET CIVAFHIQUE8 , FARTICUUàREE AUX 3.“*, 4“* 5.“® DEGRÉS.
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Je vab npporter des méthodes analiliqaes connoes , et d’autres graphiques qui m’appartiennent , lesquelles sont particulières aux cinq premiers degrés , et sont plus expéditives que la méthode générale du chapitre précédent
Troisième degré.
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36. Cas J» deux racines imaginaires. La proposée étant . »*-\rpx-\-q~o, on sait qu'elle a deux racines imaginaires, si est positif. Dans ce cas, on trouve la racine ^réelle par la forinolq générale connue
»'=— ïŸ*+5jPJj — v/î?*-t-rî/''j] -
On trouve aussi le facteur réel du deuxième degré , en divisant ar>4y>x-4-y par x—x', et on » .ir b jnii ^ iiSirr-,. 1
it)':'’ r ' •>
x'+xx'+p-\-x**—o .
37. Cas irréductible. Ce cas a lieu quand ^*-|-a7ÿ* est négatif ; alors les trois racûies sont réelles ; mais clics <c présentent sous une
forme imaginaire dans les trois formules géne'rales ; on peut les ob- Içmr par <1 m <>M VtHMarâtttBl {tétnt teop peu co n t a » ; »
génies : la mcihodc suivante due à Clairaut est préférable ( Voyez son A!g. pag. 298 ).
Le cas irréductible n’ayant lieu que quand p est négallf , la proposée sera de cette forme
er. , ' • •
On aura une racine x' approehée &- moins d’un millième pris , dans les cas les plus défavorables, par cette formule ,
dans laquelle le signe supérieur répond è ^ positif, et vicevtrsâ.
On aura ensuite une valeur plus approchée de x' , par la méthode de Newton.
Les deux 'autres racines x" , x*" seront données par l’cquatlon ar*-+-jrjt^— J comme ci-devant.
On trouve aussi les racines des équations des a.”* , S."* et 4 -“* degrés par les lignes trigonomciriques -, mais, ce moyen étant moins simple et moins expéditif que bien d'autres , nous ne le rapporterons pas ici ( Voyez A nolise, algibriqve de Garnier, pag. 257).
38. Rognes égales. Elles sopt le passage des racine; réelles aux imaginaires; on a vu , dans le n.° 19, comment on les trouve: il est utile d’avoir , pour le troisième degré , : des formules qui les donnent immédiatement. ,
Soit la proposée
x^-\‘ax'-\-lx-\’C—o ;
elle aura deux racines égales si (Voyez le n.° 4 ^) condilloii
i^e*+2ac[2a'—ç^]-{-6‘ ( 45 — a*) s o
L«s deux racine* dgalei feront
racine inéeaic sera
Le signe supérieur a lieu quand la quantité 20^—Qoi-{‘2-;e est . positive. Ce sout le* signe* inférieurs qui sont rélaûls au cas oü cette même quantité est négative.
Pour démontrer ces formules , il suffit de eomparet, temié à terme , la proposée X—o , avec celle-ci, ,
^ (jf— *■
Quant & la régie relative au double signe +, on la découvre en faisant disparaître le deuxième terme de la proposée qm devient delà forme x^+px+q=o , et l'on a alors '
* ^ ' ■fl' ^\t *’ î
d’oik l'on déduit aisément la règle dû double signe.
29. Construction graphique. Les géomètres ont long-temps cherché las ncines par des intersections de courbes : on en fait moiqs usage •«iourd'fani, è cause dq temps qu'exige leur description; mais, on n'avrit paa fait attention que la même courbe peut servir pour toutes
les ^uaiîons du même degré , du moins pour le 3 ,“* , le et le 5.™'. J'al fait , le premier , cette remarque utile dans mes Opuscules, pag. ii6. Par ce perfectionnement , la méthode des courbes devient précieuse ; elle est la plus expéditive de toutes ; elle donne les racines approchées à moins de près : la mélhoda
rectifiée de Newton fournit ensuite le degré d'approximation dont on a besoin.
Soit la proposée
;c fais x—li, et )’ai la transformée
Pz’+//»z4-7=o . (2)
qu’on peut remplacer par le système de ces deux-ci
dont la première représente une parabole cisblque , et la deuxième une ligne droite.
11 est évident que la par.-)bo1c étant tracée sur un carton ,
si l'on construit , sur ce même carton , la droite de l’équation (4) , les abscisses des points d’intersection seront les racines de la transformée ( 2 ) , pt la relation x-k-lz donnera les racines de la proposée (i).
/ est une constante indéterminée qui a pour objet d'empècber que les points d'intersections de la parabole et de la droite ne tombent en dehors du carton : voici le moyen le plus simple d'obvier ^ cet inconvénient. On prendra pour / le plus grand cociTicicnt négatif de la proposée , augmenté de l’unité : par ce moyen , toutes les racines de la transformée en z seront plus petites que l’unité.
Si
Si donc , 11' pins grande abscisse AZ ( fig. 7 ) a ^té prise pour l’uniié , tous les points d'intersection seront compris dans les deux quarrës AZbY, AZ'B'Y'.
Quant k la manière de construire la droite de l’équation (4) > elle est simple il suiHt de chercher les points où elle coupe deux des quatre côtés du quarré , en faisant dans (4) successirement
Remarquons encore qu’on peut éviter , pour diminuer l'étendue du carton , de conslruire la 'moitié AB' de la parabole , qui donne les racines négatives de x : eh e/Tet , après avoir trouvé les racines positives , il suiHt de changer •4*x en — z dans ( 3 ) , et les racines positives de la nouvelle transformée seront les négatives de l'équation ( 3 ) ; mais il faudra construire deux droites au lieu d’une.
Dans le carton que )’emploie , l’unité AZ a été faite de 300 millimètres et à chaque division on a mené l’ordonnée correspondante.
M. Monge ( Correspondance de FicoU polytechnique , an i8i5) a donné une méthode qui ne diffère de la précédente qu’en ce qu'il n’emploie pas l’indéterminée / , ce qui exige une étendue beaucoup plus grande pour la courbe , et rend la méthode moine simple. 11 doit m’ètrc permis de faire observer que mes Opuscules , où la méthode est expliquée è peu près comme je viens de le faire, ont paru environ cinq ans avant l'article de M. Monge : sans doute cet habile géomètre m’aurait cité s’il avait connu mes Opuscules , puisqu’il a attaché assex d’importance è cet objet , pour faire graver des tableaux destinés è remplacer le carton,
3o. Table des racines. Reprenons la proposée
x^+px-\-q=0 .
Si on fait on aura * en posant — , la tran«fori»ce
eette <!qaalioti n'ajrant plus qu'uoa seule eonstinie r , H ' est-ériflent qu’en prenant pour r une série de nombres positifs , pois Une autre série de nombres négatifs , on pourra cbercher toutes les racines de Z , correspondantes i tous les nombres des deuK séries , et en former une table qui fera connaître les racines de. la proposée pat
le moyen de la relation sr= — , en celte manière.
Soit proposé , par exemple , on a ici
11 n’y aura qu'li cbercher , dans la table et dans la colonne de r * ce nombre — o,i63 , et l'on troorera Tis-à-vis, dans la colonne des racines , celles de x , qu’il ne s’agira plus que de multiplier pat
— = — , pour avoir les racines eberebées de x,
Cette table, qui ne serait pas très-étendue, fournirait , tans contredit, le moyen le plus expéditif d’avoir les racines du troisième degré : il serait & désirer que quelque géomètre prit la peine de la calculer : il est à regretter qu’une table pareille ne puisse pas avoir Heu pour les autres degrés.
Quatrième degré,
3i. Méthode anatitique. t.° Soit la proposée
x*+px'-\-qx-\-r=:o } (i)
elle aura deux racines imaginaires et deux réelles, si la quantité 4/»*(4or-y')-l-9y*(i6;>r— 3y*)4 i28r*(2T-/»*) , est négative ( Voyex le n.* 44 )•
f. Pour •toir k« raciae» réelka s> , 9** )m proposée , oq
/>(,-+;/ Ç+gJ=.<i p'S-y'Ç^C^^B ; ’,
•t l’on aura < . 4 .
X"=tj/-^^A-B J
le aigne supërienr ayant lieu pour le cas de tj nëgatif , et viu versâ. Pour le même cas, on aura les racines imaginaires jî*’^ , par les formules suirantes :
'=+^/TTizr]
( jinalise Je Garoier , fag. 4» 217, aaS ), - .4.
2. ” Les qoatre racines de U proposée seront tootef imaginaires si l'on a les trois conditions
positif i P positif ; p'—^r ndgat'J ( n." 44 ) : »» «w« *' $ f
par les quatre formules ci-dessus du* i.*
3. * Cas irréductible. Les racines seront toutes réelles si p est négatif et que />* — Ip- soit positif, ainsi que
fîpr— 3ÿ*)+*38r*(2r-;>>) .
Four avoir les racines de la proposée , on cherchera celles ii' , u" , id " , de cette réduite
dans laquelle on a
ces racines, qui seront toutes réelles, se trouveront comme dans le n.® 27. On aura ensuite s', s'', x"' , , par les formules ^
générales suivantes ,
Le signe supérieur répond au cas de q négatif , et fice versé.
3a. Solution graphique, Ln considérant la proposée - ^
comme le résultat de l’élimination de' y, entre deux équations du second degré en jr ety , on pourra trouver les racines de. celle proposie par les intersections de deux sections coniques, dont l'une constante sera tracée , li l’avance , sur un carton , et l’autre variable dépendra do la valeur des coeiTiciens de la proposée. Comme la ligne droite et le cercle sont plus faciles à tracer que les autres sections coniques, il est naturel et avantageux de les choisir pour^courbes variables.
