I.* En faisant, dans la proposée; (/ étant une constante

indéterminée ), elle devient V

En faisant l'—p ou suivant que est positif ou négatif,

on a

qu’on peut remplacer par le système de ces deux-ci, ,

jrz=x*;;t;x* ,• <

1 ;.i . iîO "î:

Ayant donc tracé sur un carton les deux courbes- dej'équation (i) qui serviront, l’une pour le cas de p positif; l’autre pour celui de P négatif, si l’on construit la droite variable de l’équation (5), les abscisses des points d'intersections de cette droite et de la parabole du quatrième degré (4) , seront les racines de l’équation (3) , et par conséquent la relation x = xp/p] donnera leS;racines de la proposée. . j::- „ -p b

Cetle preiniire méthode a l'inconrénient que lea points tinter-» •aectioDS pourront quelquefois tomber en dehors du carton, a.* La proposée étant toujours

je fais vsah, et U trient la transformée , . ,

‘qne j'écris d’abord ainsi

— ^)e*^-^x•^-y/z+rï=o

et qu’on peut remplacer par le système de ees deux-ci

L’équation (3) représente une parabole du second degré , jet l’équatîbn (4) un cercle : en mettant celle-ci sous cette fnime

on reconnaît que le cercle qu’elle représente a pour abscisse de son

centre , pour ordonnée de ce centre 5=-^^, -et pour

tayon '

Si donc on trace sur un cartoh ( fig. 8 ) la parabole f=a*, dan« laquelle AZ^ i • cette courbe aerrira 1 trouver lea racines ék

fauta ^qaatîoQ' proposée du quatrième ' degrd ; car , ayant dcfcHt la cercle dont les coordonnées du centre sont • , ( , et le rayon ^ les abscisses des points d'intersections seront les racines de l'équation (4), et la relation x = lt donnera les racines de la proposée (i).

11 faudra prendre pour / un nombre tel que a , S ^ et les absefsses des points d'intersections ne tombent pas hors de la figure , ce qui sera toujours, possible , en prenant / assez petit. Ordinairement , on pourra prendre pour l le plus grand Coefficient de la proposée « pris positivement et augmenté de l’unité.

Remarque i. S'il arrive que le cercle soit sensiblement tangent I la parabole , il y aura incertitude pour savo'ir si la proposée a deux racines égaies ou deux imaginaires i dans ces. cas rares ,-41 faudra recourir à la méthode du chapitre III , ou bien , vérifier le doute par les formules du n.* 3i, relatives aux conditions d'imaginaritc : cette remarque s'applique aussi au troisième degré.

Remarque a. On peut aussi trouver les racines do l’équation du troisième degré = o , par la méthode du présent numéro

car il suffit de faire rs=o dans les calculs précédens ; alors , l'onc des quatre racines sera zéro et étrangère à la question ; les tro'is autres seront celles de la proposée.

Remarque 3. Les méthodes graphiques ont nn grand avantage ; celui de faire distinguer d'un seul coup-d’ceil les racines réelles , tant positives que négatives , et les racines imaginaires ; je^répète qu’elles sont plus expéditives que celles qui sont analiliques , è présent qu’on peut faire usage d’une courbe invariable , et que tout se réduit è placer une règle ou è faire tourner un compas. ( Voyez mes Opuscules f pag. iii.)

33. Racines égaUsl\i sera utile de rapporter ici , comme nous l'avons fait pour le troisième , degré , les formules relative} aux racines égales.'

&it la proposée ' ■

je U délivra du second terme , pour simplifier les fomitlee, en faisMSl

'x=u — •— , et j’ai une transformée de cette forme u*-\- pu*-\-qu-\-r—0'.

elle aura deux racines .égales u'" , , et deux inégales ,

si en a la condi.ion

4/)’(4/9r-y*)+9y*(i6^r-3j>)4-i28/-"(2r-/j’)=o , et l’on aura * ' ' ■ '

I ' . ■ p— au«>J ;

it' et ne seront réelles que dans le cas Se p négatif et plus grand que

'Si la transformée à trois racines égales a"~u'"—u}'* et une autre vf inégale, on le reconnaitra par la condition ^*-l-i 2 r = o qui exige pour la réalité des racines que r soit négatif, ensuite on aura

'et u'~-^Zn". Le signe supérieur a Heu quand <j est positif , et 9'ce versâ. Ces expressions des racines égales fournissent une conaition plus simple que la précédente , savoir.

Enfin , si X—o avait deux couples ou deux racines dotales *'=5a''' et , on le reconnaîtrait de suite par la transformée

eu U , dans laquelle on aurait i • I •

Ç =0 , p'= 4 ft .

L’ëqaation en u , dans ce cas , devient ^ u* + — ^ =o : '

Les formules précédentes du quatrième degré s’obtiennent facile>i ment en suivant la marche indiquée pour le troisième.

(• Cinquième degré,

^ 34. ConsirutUon grapiitçue. Le cinquième degré est susceptibl* d’une construction analogue à celle du n.» 3a , relative au quatrième degré.

Soit la proposée.

en faisant *=/z , il vient

zs-t-£?+îL’+:î 4.1=0,

En faisant P=-^p ttl=\/'^p], on a

pyj±p]~ ~P'\/:±:p\

(le signe supérieur correspond è p positif).

Cette équation peut être remplacée par le système de ces deux-ci ^

dont la premUra repr^sonlo deux paraboloa du clnqmimo degrd (l'une pour le cas de p pokilif, et l'autre pour celui de;> négatif), et la aeconde une parabole du deuxième degré. La première est invariable et pourra être tracée sur un carton : elle sera double à cause du signe ^ : la parabole du deaxième degré est variable et dépend des coe/Hciens de la proposée : on a des insirumens pour la décrire par un mouTement continu. Si on met l'équation (a) sous cette forme

on reconnait que l’abscisse a du sommet de l'axe de la parabole , lequel est parallèle aux y, est

que l'ordonnée du même sommet est

et que le paramètre est

Il faut faire atténlion que ï'axe de la parabole s’étend indéfiniment du cdté des Y positifs , si est négatif , et mVc versâ.

Â.U mo'yen de ceS expressions, il sera facile de tracer la parabole variable , dont les Intersections donneront les différentes valeurs de t , lesquelles è leur tour feront connaître les racines de la proposée parla relation