Balance algébrique. Suit

r<!quation propos<le , dont je suppose les coelficieDS numdriques.

Je pose les équations

x=y' , x'^y" , x'=y>" , , x'—y'' , etc. j

la proposée devient '

a+by'+cy"+Jy'^'’\-ey'* +/y'' -\-e/c.~o . (a)

Supposons maintenant qu’ayant pris ( fig. 9 ) BD=DJ=i , et ayant éleve la perpendiculaire BA=i , on mène les lignes AD , Ad , et qu’on construise de part et d'autre de AD les paraboles AM"D,

AM'"D, A M^'D Am>'d, Am"'d , AnA'‘d etc., re-

piésenlées par les équations x' — y" , x'—y'" , etc. , en prenant AP=x , PM"=y» ,

Supposons ensuite que , dans l'équation ( 1 ), qui aura des termes négatifs , si elle a des racines réelles et positives , on ait transposé dans le second membre ces termes négatifs.

Supposons enfin qu’on ait placé dans les points Q , m' , m" m'" , nA'' , et itf , M'" > M" , hP , etc. , des poids proporlionnels aux coefficiens a', h , c, d, etc,: alors il est évident que $1 AB est un axe bori^.onlal , il y aura équilibre autour de cet axe , entre les poids qui sont à gauche et ceux qui sont à droite , quand AP=x sera une racine de la proposée.

Par exemple , si la proposée est

a+Jjr— = 0 ; (<0

je l'écris ainsi

2+3y—4y"+Sy'"+ç)y"'=o , ou

txAyZy'Af-Zyt/l^^yVI — 4y't . (a'’)

Je pose eu Q un poids ssa , en un poids s=3 , en m'** un

poidi =8, en m^'' un poids =f)f et en un po’ds =4 : ü est aisé de sentir que la somme des monieiis des poids devant être é^alc de part et d’autre de l'ave /4B , il y aura équilibre quand AP—i sera une racine réelle positive de la proposée.

Imaginons maintenant qu'au moyen d'un mécanisme quelconque., une régie M'm' fasse mouvoir les poids chacun sur la ligne dmilc ou courbe qui lui appartient ( à l’exception du poids Q qui doit rester li la même place ) , l'équiKbrc aura lieu chaque fois que AP sera une racine positive.

36. Remarques, La description théorique qui précède a besoin do quelques développemcns , tant pour la construction de l'insiruraent que pour son usage.

1. " Ce qui précède suppose que toutes les racines sont positives : il faudra donc , apres avoir trouvé les positives , changer les signes des termes affectés des puissances impaires de j: , et recommencer l’opération pour avoir les racines positives de la transformée , qui seront les négatives de la proposée.

2 . * On a supposé encore que toutes les racines étaient comprises entre xéro et un : il faudra donc préparer la proposée , en y faisant s=Lz , Z étant la limite supérieure positive de la proposée. ( Voy. le n.“ i8. ) Ayant trouvé les racines do la transformée en *, on aura celles de la proposée par la relation x~Lz.

3. " Ce qui précède suffit pour la théorie , mais non pour la pratique. Los paraboles sont des fentes dans lesquelles doivent glisser des fils métalliques , dont chacun porte un petit vase destiné à recevoir les poids : ceu.x de ces vases qui correspondent aux termes de l’équation proposée , contiennent des poids proportionnels aux coefficiens j lîs autres vases sont vides : tous ces fils sont mis en mouvemens par une règle M'm' , percée d'une rainure , et garnie d’un Vernier qui parcourt la ligne AB.

On sent que les fentes paraboliques ne sauraient être prolongées jusqu’aux points A, D , où elles se confondraient : il est donc nécessaire d’éloigner de ces points les racines de l’équation. Pour

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cela, on'remarqnen qae L étant la limils supérieure posîtWe de la proposée , si on y met Lz pour x , toutes les racines positires ^ de la transformée seront comprises entre o et -(-i ; que si, dans l’équation en z , on met ou {z pour z , les racines positives de celte seconde transformée seront toutes comprises entre o et 0,4 ; qu’enfin , si, dans cette seconde transformée , on met z — o,5 pour z , on aura une troisième transformée dont les racines positives seront comprises entre o,5 et 0 , 9 .

11 suit de là qu’en mettant dans la proposée — (z — o,5) pour x , on aura , d'un seul eoup , une transformée en z , dont toutes les racines positives seront comprises entre o,5 et o.i) , et tomberont par conséquent assez loin des points A , D , d , ou les courbes se confondent. '

Celle préparation préalable a un autre avantage , c’est que près du point A les racines ne sauraient être déterminées avec le méma degré d’approximation , que loin de ce point.

Quant aux dimensions de l’insirumenl , si le plan EFfe , qui a la forme d’un trapèze, est en bois, on fera AB=bo centimètres; d'oià Ff=njo, Ee—5o, HI = 20 -, mais si l'instrument est en cuivre al sulEra de faire AB= 2 b , ce qui réduira i la moitié les autres dimensions.

Le trapèze EPfe porte deux lourrillons en H et I qui tournent dans deux crapaudines que portent deux monlans verticaux.

4 .* Lorsque la règle mobile M'm' approche d’une racine , les deux bras de la balance approchent aussi de l’étiuilibre ; au-delà de la racine , le bras qui était le plus pesant devient le plus léger : il n’en est pas ordinairement de meme si la règle rgiicunire deux imaginaires; le bras qui éta'U d'abord le plus pesant , perd , ju>qii’à nn certain point, une portion de sa prépondérance, puis, passées point , la reprend par degré.

Si la règle rencontre deux racines égales ,'le bras qui avait U prépondérance, la perd peu à peu , jusqu’au moment de l’é^Uiilre,. pu'is la reprend par degrés ioseusiblea.

Par eei earactèrea , ,sn pourra proiqus toujoora diitipguer !«• racines imaginaires et les racines égales; mais, il est un cas o& l'instrument ne sera pas assez sensible , et où il faudra recourir aux zneihodes des chapisres III et VI ,■ c’est celui, où l’axe de la couiba X=Y ( lig. 3,4(5) s'approche très-près d'un sommet; alors on pourra confondre deux racines réelles inégales et très-voisines, avec deux racines égales , ou avec deux raeinee imaginaires.

Enfin . si la courbe X—y a des ordonnées minima ou de sommet canveyie imaginaire , ee qui arrive quand la première dérivée do AT=so a des racines imaginaires ; alors le même bras conserve sa prépondérance avant ‘et après la rencontre do l'ordonnée minima imaginaire , et rinslrument ne manifeste point l'existence des racines imaginaires. ( La Ugare 6 offre an exemple de ce cas. )

5.* Le plan de l'instrument pourrait être vertical , et alors l’état d’équibbre serait indiqué par un fil à plomb suspendu en l , qui Coïnciderait avec IH. •