Exemple, Soit proposé
La limite supérieure positive L de cette équation aérait 3, d'après la règle du n.* 18 ; mais , comme il est important de la diminuer ÿ je fais Z=s3 , et je vérifie ce nombre 3 en mettant x—x pour x, car, la transformée n’ayant plus qne des variations, m’apprend qua toutes ses racines sont positives.
Je fais donc , conformément à la remarque 3.* du numérn précédent ,
jr=5(x— 0,5) \ .
at il vient la transformée
(•) Ou C»*— 3)(**-f<c+j)aeo.
6 a 52 ‘ — iia 5 z’+ 725 i* — 203,75^+20,1875=0 ,
ou simplement
GaSx*— I i25x‘+7-5z* — 2o4.*+20=o ,
ou encore
Soumettant celle équation \ l'dpreuve de la balance , on troure que • l’équilibre i lieu en un seul point , celui où l’index de la règle mobile marque 0,78 : donc ^ = 0,78 et 3^= 1,4. Au-delà de ce point, celui des deux bras de la balance qui avait la prépondérance , la perd et ne la reprend plus ; d’où l’on conclut que la dérivée de X=y a deux racines imaginaires.
11 reste à trouver les racines négatives de la proposée : pour cela , je change +x en —x , et elle devient
— xr’+ax — 2 = 0 ;
L vaut encore ici a , et je fais
ar= 5 (z— 0,5) ;
!1 vient la transformée
en simplement ( pour se borner à des poids représentés par 3 chillres ) .
,C2,52» — 1372’+! 102’ — 37 ,iz+ 4 ,i=o .
Soumettant cette équation à la balance , on trouve que l'équilibre n’a lieu que dans un point , celui où Hudex marque 0,78 : donc 2=0,78, et s ou la racine négative =—1,4 : donc aussi la pro- ' posée a deux racines imaginaires»
38. Autre systime de 'balance. BbeE ( fig. lo) esl «n rectangle dans lequel £^=2 = 5o centimètres est divisé en 200 parties égales numérotées de part et d’autre du milieu o ; la parallèle Ce est divisée depuis le milieu vers C eX c , en faisanbdans successivement jr=o,i , xz=o,2 : les valeurs de y donnent les dis-
tances respectives de chaque point è la ligne 00 du milieu.
La parallèle Dd a été divisée de même d’après l’équation ,
en faisant ar=o,i , 2' = o,3
La parallèle Ee a été divisée aussi d’après l'équation y=x*.
Il faut imaginer d’autres parallèles Gg divisées d'après
les équations y = jr‘ , yz=x*,
Les points correspondans de toutes les parallèles sont joints par des courbes lo — 10, ao— 30 , 3o — 3o , etc.
Toutes les parallèles sont des fentes dans lesquelles se meuvent les dis qui portent les poids : ces fils doivent être tous placés sur la même ceuibe , ce qui ne peut s’exécuter qu’è la main : on les fait glisser d’une courbe è la suivante , jusqu’è ce qu’on ait trouvé l’équiUbre autour de l’axe horizontal 00 qui repose sur deux montans verticaux : si alors les fils sont sur la courbe 3o , la racine indiquée est jtz=: 0,3 o ; et ainsi des autres cas.
Par ce système de balance , on évite l’inconvénient du premier où les fentes se confondent près des points A , ’D , d. { fig. 9. )
11 reste à préparer l’équation proposée pour que toutes les racines tombent entre o et >^1 , en faisant x = Lz. ( L étant la limite supérieure positive de la proposée. ) Pour avoir les racines négatives, on change -+-jr et — x , et l’on recommence l’opération.
Comme les courbes voisines de l’axe donnent peu d’approximation,' il est plus avantageux de faire
ar=iaZ(z — o,5)=Z'2z— i) ,
afin que les racines de la transformée en z tombent entre 7 et -4- 1 : on trouve ensuite les négatives en changeant préalablement -f-jr en —x.
( âo )
EuHn , si l'on voulait avoir , par une seule opération , toutes les racines tant positives que négatives , en appelant L' la limite supérieure négative de la proposée , on ferait
ar=z — 2 (L+£ 0 (*— ®>5)=a.£+.t'— 2(Z4-Z0 z .
Toutes les racines de la transformée en z seraient positives et comprises entre | et i ; mais , ce second moyen a l’inconvénient de fournir des coefliciens trop gros et qui diminuent l’exaclilude des résultats.
Je remarquerai encore qu’au lieu des poids variables, on pourrait employer des poids constans ; mais Tins trument deviendrait plus compliqué et moins exact.
3 g. Triangles algibriijues. On peut , au moyen de quelques cartons que chacun peut construire sans frais , remplir le même objet que par la balance précédente.
,C fC e/£.(lig. 11,13, 1 3 , etc.) sont des triangles rectangles isocèles en carton, dont les côtés /i, B,, A, B,,
sont divisés en 100 ou 1000 parties égales; les autres côtés B ,C, , B,C„
BfCf égaux à l'unité , sont divisés de manière que les
distances de chaque point au point B sont les ordonnées des courbes
y=x , yz=x‘ , y=ar’ ,
en faisant successivement
ar=o,i , ar=o,a , s's=o ,3 ,
Enfin, des points À, , etc., on a mené des , droites b
tous les points dedivision de B^C^ , B^C^ , B^C^
Voici un exemple qui sulllra pour faire comprendre l’usage de ces cartons. Je prends l’exemple du n.“ 37 ,
Je fa!» jf=aZ(z— 7) afin que^ foules les racines positiTCs' soient comprises entre 7 et On a ici Z = a, et la transformée - est
ia8z* — 224e*+i36z’— 36 z+ 3 =o , ou en divisant par le plus grand eoeificient aa^ , et transposant o,571z‘+o,6o7z*+o,oi3=z’+o,i6iz ,
Je prends ( fig. ii,ia,iJ,i 4 )
}e pose la ligne //f, sur : je pose de même la ligne IB, du carton fig. i 3 sur la ligne ///, : je fais glisser le carton fig. 14 sur le carton fig. la , et le carton fig. i 3 sur celui de la fig. i r , jusqu'à ce que IH donne 1 » même longueur que JH,+IB^ , les points I étant tous pris sur les transversales de même «numéro : je trouve que l’égalité a lieu pour les transversales du n.° 85 ; d'où je conclus que z= o ,85 , et par conséquent y
( à cause de x = 2(22—17 )•
Cela est fondé sur ce que la ligne . 0 , 85 , valant r, la ligne Jl/f vaut o,i6iz : de même
Au reste» on sent que le degré d’exactitude sera: d’autant plus grand que les cartons seront eux-mêmes plus grands , et que le plus petit nombre de l'équation, approchera plus de l'unité.
On sent encore que ce que nous avons dit précédemment des racines négatives » égales et imaginaires s'applique à la méthode du présent numéro.
tHAPITRE VI.
DÉTERMINATION DU NOMBRE DES RACINES IMAGINAIRES d'uNE ÉQUATION d’un DEGRÉ QUELCONQUE.
Le problème qui fait l’objet de ce chapitre est très - important ; malgré une longue suite d'efTorts , on n’en a que des solutions ou incomplètes, ou impraticables. ( Voyez le n.” i3. ) La suivante parait devoir terminer heureusement cette branche de l’anallse.
4o. Il suit de la sixième remarque du n.° iS, que lesy Wn/'/na ont une corrélation nécessaire avec le nombre des racines imaginaire^ , et que , par conséquent , l’équation qui donnerait toutes les valeurs dj y maxima ou minima , ferait connaître , par la succession de ses signes , les racines imaginaires , en discutant , pour chaque degré , les différons cas qu’il présente.
Cette équation en y, que je représente par I’'=o , et que j'appellerai équation des sommets ou équation des racines imaginaires , est facile à former ; en effet , on a , pour caractériser les sommets , l'équation
X'= ^=o:il suffit donc, pour avoir , d'éliminer x entre
A''=o et X=y : l'équation résultante en y sera du degré m — i.
Voyons maintenant commet l'équation Yz^o peut faire connaître las racines imaginaires ; un coup-d'mil sur les figures a, 3, 4i 5 suflira. Nous conviendrons d'appeler positif l’espace qui est en dessus de l'axe des x, et négatif celui qui est en dessous.
Dans la figare a , relative au deuxième degrd , T=o sera du premier degré et de la forme y+^ = o. Dans le caa de deux racines imaginaires , j4 sera négatif ou y positif , ou bien encore y-\-A — 1^=0 n’aura que des variations de signe , d’après la règle de Descartes.
Pour le troisième degré ( iig. 3 ) , 1=3 o sera de la forme
Ÿ'+Ay+B=o i
dans le cas de deux racines imaginaires , l’axe des x aura une des deux positions O, ou O, et ne rencontrera la courbe qu’en un point: les deux valeurs de y seront ou toutes deux positives , ou~toutes deux négatives ; c'est-è-dire que l'sso aura ou deux variations, ou zéro variation.
Ces deux exemples sulTisent pour faire voir comment il faut discuter les degrés plus élevés , et comment tés signes de l’équation l'=o dépendent do la position de l’axe des a: , laquelle , è son tour, détermine le nombre des imaginaires. Un examen attentif m’a fait apercevoir la loi de cette relation qu’on peut esprimer par la théorème suivant.
Théorème sur les racines imaginaires. *
.^=0 étant une équation du degré m , et X^o sa dérivée du premier ordre, si on éliminer entre X^yeiX'=o, on aura, en y, une équation 1^=0 du degré m — i , dont les racines y* ;
y" 1 y'" sont les ordonnées maxima et minima de la courba
X=.y : cela posé , on aura , entre les signes de l’auxiliaire Jf==o ; et les racines imaginaires de la proposée A=sO, la correspondance que voici :
i.* m étant pair , A’3sO n’ayant pas de racines égales , aura
> 3 , 4 • 6, m , racines imaginaires , suivant quq
PsiO , aura
pcrmaaencet de signe.
2 .* m dUnl impair , X=o n'ayant pas de racines dgalcs J aora
O , a , 4 > 6 , racines imaginaires, suivant que
1=0 aura
permanences.
3.” 1^=0 aura 1,9,3, etc. , termes nuis , à commencer par relui qui est constant , suivant que X=zO aura une racine double , deux doubles oa une triple , trois doubles ou une quadruple, etc. '
Ce ihdore.ne renferme une solution aussi simple que complèle du problème des racines imaginaires ; il réduit la diilicullë i celle de trouver les racines égales ^ puisque la même équation Y=o donne , a la fois , les unes et les autres : nous osons croire que sa découverte est un grand pas en algèbre : nous verrons plus bas qu'il conduit encore à la solutiorv d’un autre problème du même genre , celui de distinguer les racines positives des négatives; enbn, il est d’une application facile , et les fo’ mules qu’on en déduit peuvent trouver place dans les livres élémentaires. La table suivante , qu’il serait facile de prolonger , présente , pour les dix premiers degrés , 1a marche de la loi exprimée par le théorème»
Table des racines imaginaires de X=o, Correspondantes aux permanences de V=o.
Degré
de
ImagÎD.** . de X=o
Permanences
de
Degré
de
ImAgin.'*
de
Permanences
de
3 ou 5
2 ou 6
O ou 3
