Degré. Soit la proposée

simples quand

on a

X'-5x*-i-4ax*-{-36x‘+2ex~\-d=:o ;

pour éliminer * entre X'=o et Xrzy , h mets deux fois de suite, dans Xs=y, la valeur de x*-tirée de X'tso, et il vient

(toi—4a’y+(i5e^3a3)x’+(2od—Me)jr35(e—f)—ffdszo . ( 1 )

Combinant celle-ci avec X‘'=zo, on a *

( 1 6 fl’ — 55at+^5e)*‘-h( 1 aa’i — loar— 3o3*+i

— 5ad — aodc+iaSc — ia5y)s—d(iol—~4a’)=o . '( 2 )

Je continue sur (i) et (a) l’élimination suivant la méthode de Bezout : c est la meilleure que je connaisse , la seule qui n’introduise pas de radnes étrangères : celle qui est fondée sur le plus grand commun diviseur , n est pas exempte de ce défaut : il est vrai qu’on a cherché à l’en délivrer ; mais pourquoi combattre des difficultés •qu’on peut éviter ?

Ayant écrit ( 1 ) et (a) comme il suit.

( fio )

As'-^Bs^-^Cs^D^o , A'x^+pxH-C's+Dmo ,• et eyant pos4

A'B-AB'=E , A'C—AC'=^ , 'A'D-Aiy=sG ;

B'D^Biy^H , C'D-‘CD'=I , B'C—BOsK ,

oa aura , pour l’équabon 3T =o , celle-ci

G(G»+EI+GK^2FH)+IiF‘—EK)+EH* = o * (T)

' 46 . 6.*** Degré. Soit la propoaée

Jf=*‘+«a‘+ij*+c*’+^a'*+cjH-/=o ;

on a

Pour éliminer jr entre X^=o et Xssy , je mêla deux fois de suite dans X=sy la râleur de x ^ , tirée de X's*o , et j’ai

(lai— S«>)»H*C>8e“4«^)*M-(a4d— 3o«)**-H3oe— • (')

Combinant Je dernière avec X'=o, on a celle-ci

(aSn*— ^4^è-|-jo8c)x*-|-(3on*è — i8nc— 4®^‘+i44^)**

•4-(i 8o« — I *«<f— i36èc+ 1 5n'c)ir’+(a 16/21 6ne— a4è</+

>4-i<»<»’^*'4'e(5n’ — iaè)Œo . (a)

J'éliniine s entre ( 1 ) et (a), suivant la méthode de Bezouilj*' tes écris d’abord comme i| suit :

jl 4F*+C jr*+Z7 jr+J? —o$ A'x*+B'x*-\-C'x‘+jyx+Ei=o :

puU faisant pour abréger

A'B—AB>=a, , A'C^AC'zzh, ; A'D-AD'sc,

A'E^AE'=J, , B'C—BC'+A'D—Aiy=e, ,

A'E—AE'+B'D—BD'=/, , B'E—BE'=xg, ,

B'E—BE'-\‘C'D—CL'=h^ , OE—CE'xxi, ,

^ D>E-DE<-k, ,

on trouve

47- On voit, parce qui précède, que la formation de Y —a , n'exigera jamais que l’élimination de x entre deux équations du degré /n — 2 . 11 est même possible d’abaisser d’un degré coa deux équations.

Suit, en effet , la proposée

qu'on a délivré do son deuxième terme. On formera sa réciproque en faisant x— -jj* , laquelle aura le mémo nombre de racines imagiiuirea : elle sera '

fu>-\‘eu*+du'+cu*+bu*-^au*‘^ ixatü^V { s» ddiirde sera

n fu*+6eu^+5Ju*+4^*'{-3bu'+iûv—o~U' .

Pour éliminer u entre L^=o et U =y • remart^uera que lPi=tO

donne u=o ^ d’où y— i ; ainsi , y— i est urt des fadeurs de Y—o: par là U'=io est abaissée d’un degré , et l’élimination de u ne donnefa plus , pour Y =o , qu’une équation du cinquième degré , ou da degré m— 2 ; laquelle étant multipliée par le facteur y — i , sera l’équation cherchée en y.

48 . Il est bon de remarquer que si X=o a des racines* égales , on s’en apercevra en ce qoe un ou plusieurs termes de Y —O seront nuis , ce qui abaissera cette équation*, et l’on déterminera, d'après la table du n.° 4> > nombre des racines imaginaires qu’in'* dique cette équation abaissée : ainsi , la circonstance des racines égales dans la proposée ‘n'apporte aucun changement dans l’emploi de notre méthode ; tandis qu’elle est un grand obstacle daus celle de M. Cauchy , comme on le verra.

Nous terminerons ce chapitre par deux applications nutnériques. Soit proposée

V+îx^-l-Sx’^-Ssr-^aŒO ;

en trouva que le dernier terme C' de Y =0 du n.° 44 • relatif an quatrième degré , est positif ; d’où l’on conclut , tout de suite , que la proposée a deux racines imaginaires ; en effet , elle est le produit de

(sf+aXx4-*)(^+')-o •

Soit encore proposé

ar‘— — O ;

on a

ici JF'so a deux ncinei xso , xssxo , qui , dtant mites dai»t X =y , donnent Ict deux facteurs i=o , jr— i =o ; U reste donc k éiunioer X entre X=y et 3x^—2x-^i^o ; celte élimination donne

a7r*+8-3 7y*— 956y4-7i3sso

qui , étant multipliée par >)* , devient

e’ett l'éqnation cherchée Y =o. Sans qu'il soit besoin d’exécuter la multiplication , on voit qu’elle n’a qu'une permanence , et la table du D.* ( case du 6."* degré ) fait connaître que la proposée

a quatre racines imaginaires : en efiiet , elle est le produit de

ar*^i)3Do .