DISTINCTION DES .RACINES RÉELLES EN POSITIVES ET NÉGATIVES

49- Oe chapitre est presque aussi impertant que le chapitre VI, dont U est le complément. Après avoir déterminé le nombre des racines imaginaires , par le chapitre VI , on connaît , par une simple soustraction , celui des racines réelles -, mais U reste è distinguer celles-ci en positives et négatives.

Il faut d’abord remarquer qu’un facteur imaginaire du deuxième degré , étant toujours de l’une de ces deux formes

ta multiplication , par un polynôme réel > , ne peut introduire , da ns le polynôme résultant A , que deux permanences ou deux variations de plus que n'en contenait le polynôme y ; mais jamais une variation et une permanence.

Ce Icmrae , combiné arec la règle de Descartes , sufEt peur assigner le nombre des racines po.ritives et celui des négatives , dans beaucoup de cas pour tous les degrés , et dans tous les cas pour les sept premiers degrés , hors un seul pour lequel le doute est k:vé par une règle très-simple , déduite d’un théorème ci-après.

Après avoir exposé ce théorème , je donnerai les règles relatives aux sept premiers degrés , et , pour compléter la matière , j’exposerai ensuite une méthode générale , à laquelle on pourra recourir , dana

les

lc 5 cas douteux des dcgrds supérieurs, au septième , qui cdiappcnt k la première méthode.

Théorème nouveau sur les signes des racines re'elles.

5o. Lorsque dans une équation

*"+«"- '-f-ix™- + =0 ;

on connaît le nombre des racines imaginaires ; s'il arrive que par la règle de Descartes on ne puisse discerner complètement le nombre des racines réelles positives et celui des négatives , en sorte qu’il en reste deux douteuses et de même signe ; alors on pourra affirmer que ces racines douteuses sont toutes deux positives, si la quantité

est négative , et , au contraire , qu’elles sont tontes deux négatives si cette quantité (F) est positive.

Avant de démontrer ce théorème , il faut voir dans quels cas il trouve son application. On démontre facilement qu'une équation X = o , qui a tous ses termes , fournit un nombre a" de combI> naisons de ses signes , le premier demeurant positif : ainsi , par exemple , le deuxième degré fournit les quatre combinaisons

*’-|-flx+i=o , X*— XX— i=o , x’+ax— J=o , x’— xx+i— o.

II semblerait , d’après cela , qu’en formant une table des combinaisons de chaque degré , chaque équation proposée devrait y trouver sa place : la conclusion serait vraie sans la circonstance des racines imaginaires qui introduisent des cas douteux , è partir du quatrième degré.

Soit proposé , par exemple ,

et

( «fl)

5»*— 7jr+io=o ,

dans lesquelles on a reconnu , par le chapiire VI , deux racines imaginaires : ces deux équations ont chacune deux variations et deux .permanences : on est assuré , par le lemme du n.* 49 p*f Is signe du terme connu , que dans chacune les deux racines réelles sont de même signe : il s’agit de distinguer ce signe qui n'est pas le même pour toutes deux : en ctTct , la première vient de

‘ (jT—iXx— a)(#*-J-4x+5)=:o ,

et la deuxième de

(sr+2)Jjr+3Xj;’ — 2*4-2) = O .

Dans ces deux équations , l’origine des* est placé ( fîg. 4 ) «u sur quelque point de l’axe O,//, qui laisse un sommet en dessous et deux en dessus , et deux intersections de la courbe du même cdië ; mais , dans la première , la région des * positifs est à droite de A , et dans la seconde la région positive est à gauche ; ou Lien , dans le deuxième cas , la figure est renversée de droite à gauche ( Gg. 4* )•

’ Le théorème précédent lève le doute ; car , pour la première équation , on a

et les deux racines sont positives ( Gg. 4 ) » tandis que , pour la deuxième équation , on a

— 32tfiH-48r=339 ,

cé qui indique dçux racines négatives ( fig. 4* )•

Si. Démonstration du théorème. Soit la proposée

X—x^+ax^-^bx'’^cx-\-d=o ,

et sa d^ÎTëe

Jr''=4**+3«»’"f 3^ar+f = 0 ;

dans le cas où X — o contient deux racines imaginaires , et où ^ est positif, la courbe X^y a deux sommets en dessus de l’axe', et un en dessous ; c’esi-b-dire que ( fig. 4 ) J* maximum a trois râleurs y, , • dont deux positives et une négative, auxquelles

correspondent trois abscisses sr, , sr, , jr, , qui sont les racines de X'=o : il est évident que la question consiste à savoir quel est le signe de la racine de A'‘' = 0 qui correspond & y maximum négatif ou qui rend X négatif ; car , il est clair que les deux racines réelles de A =o sont de même signe que celles de A^=o qui est intermédiaire.

Dans le n.* 44 1 nous avons trouvé , entre les x et les y des sommets , la relation (a) que j'écris ainsi

64f =(90* — 32oi-4-48c)»-K6«*i— i6i*— 4<»«+64</H- — (3«*— 8i) ;

or, il est clair qu’en prenant x su£Rsamment grand, le signe dn deuxième membre ne dépendra que de celui du premier terme , et qu'en prenant ar , de signe contraire b celui de son coeificient

90* — Zxah-\rlfi>c ,

y sera nécessairement négatif ; ce qui démontre le théorème pour le quatrième degré.

La même démonstration s’étend b tons les degrés pairs ; mais , si le degré est impair, par exemple , du cinquième , en opérant comme ci-dessus , on arrivera b l’équation (2} du n.” 4^ > ^tie j’écris ainsi

1 25y=( 1 6 « *— 5 Soi + 7 ' * ’+ ( « 3 — t o#c— 3 o4*+ 1 orf)*

j (•♦«*— to^) •

Ici II faut distinguer deux cas ; si i 6 a'— 55 ûi+'}^ est ntfgatif,' on pourra toujours prendre x positif assee grand pour que le deuxième membre , et par conséquent y , soit négatif ; ce qui démontre le théorème pour ce cas : si , au contraire , 1 6a’— 5 50^+7 5 c est positif , Il faut , suirant le théorème , que x négatif rende encore le deuxième membre négatif , ce qu'il n'est pas aisé d’apercevoir | mais si , dans l'équation Xszo, on change en — x , a et c changeront de signe , ainsi que

i6a’ — 55 fli + 75 c ,

qui deviendra négative sans changer de grandeur absolue : ce second cas rentrera dans le précédent ; c'est-à-dire qu’on pourra prendre x positif assez grand pour que y soit négatif : donc , puisque les racines n'ont fait que changer de signe , on 'pouvait auparavant prendre x négatif assez grand pour que y fut négatif ; ce qui démontre encore le théorème pour ce cas (*).

On sent qu’on peut appliquer à tous les degrés impairs ce qu'on a dit du cinquième. Je ne m'arrête pas à démontrer l’expression générale de la quantité (F) du théorème , parce qu'il n’y a aucune diificulté à la déduire de l'équation

et de sa dérivée

en opérant comme nous avons fait pour les quatrième et cinquième degrés. Cette valeur de (F) est, pour les degrés 4 » 6 , 6 , 7 , 8 ,

F^=9a’— 3 jflè-f- 48 r < F,=i6at— 55ai-l-75i: ; Fs=a 5 o>—

. ■ F,= 3 (î»l— iigoi-l-i-tTr i ^■Fe= 49 «’ — iBoairl-igac .

(*) Oo peut objecter, à cette démonstration, que le signa de ne change pas , soit qu'on prenoe » en -4- ou «n — ; mais , si on muUiplif la proposée par X , elle deviendra de degré pair , et l'on pourra lui appliquer la formule du sixième degré : l’expérienoa prouve , en eŒet , que les deux formées réussissent également]

52 . Nou* avoni déji'vu' ( n.° 5 o ) comment la rombinaison ds notre théorème avec celui de Descartes fai^ait d’slinguer le tigns des racines réelles , quand on connaît le nombre des imaginaires : il ne sera pas inutile d'appliquer la méthode i une équation d’un degré plus élevé : je prends , pour deuxième exemple , '

dans laquelle on a reconnu ( cbap. VI ) deux imaginaires : comme elle a deux variations et cinq permanences, j'en conclus qu’elle a nécessairement trois racines réelles négatives , et , de plus , deux racines réelles douteuses , parce que le facteur imaginaire du deuxième degré a pu introduire ou deux variations ou deux permanences ; mais ce doute est levé par le signe négatif de qui vaut ici <—664 > indique deux racines de signe contraire ,

c’est-è-dire , positives : donc , la proposée a deux racines imaginaires , trois réelles négatives , et deux réelles positives. i ’

D'après ce qui précède , il^cst aisé de comprendre la formation et l’usage du tableau suivant, dans lequel, pour abréger, les lettres i , P , p, n, ^ remplacent les mots, racines imaginaires, variations, racines réelles positives , racines réelles négatives , racines réelles douteuses. • a.'"' Degré. Si la proposée n’a pas d'imaginaires , elle aura autant do P que de p. *

3 .™* Degré, S'il n’y a point d’imaginaires, il y aura autant de/>quc dc i». S'il y a deux imaginaires , la racine réelle sera de signe contraire i celui du terme constant. ^ ,

Dans les tables qui suivent , le signe des deux racines douteuses marquées par la lettre d est toujours contraire è celui de , F, ,

, Fj , F, , respectivement pour les degrés 4 • 5 , 6 , 7 , 8. Ou ii’a pas compris , dans ces tables , le cas où toutes les racines sont réelles, parce qu’alors on a autant de positives que do^ variat'ions et de négatives que de permanences, ni celui où l'on a i=/n — 1 , parce que, dans ce cas, la racine réelle unique cst'dc signe contraire è celui du terme constant. 1 ,

41 ro NTuxe

On rarotrqnera qn'un cm échappe k la mcihode expoaëe ; c'eat celui où la proposée étant du huitième degré, et ayant quatre ra> eines imaginaires , a quatre variations et quatre permanences : alors les quatre imaginaires peuvent être prises de trois façons , savoir j toutes quatre sur les variations, toutes quatre sur les permanences, pu deux sur les variations et deux sur les permanences. La for> mule ne peut lever que le doute qui résulte de deux combinaisons et non de trois. 11 faut recourir ici ù d’autres moyens qu’on verra plus bas. :

On pourrait continuer ces tables pour des degrés plus élevés , et la règle s’appliquerait de même à tous las cas où le doute n’a lieu qu’entre deux combinaisons ; mais le nombre des cas douteux i triple, è quadruple, etc., combinaisons , va toujours en croissant: s’est pourquoi nous exposerons , plus bas , une autre méthode générale applicable à tous les cas sans exception, mais bien moins simple.

53. Tout ce que nous avons dit sur la première méthode ci-dessus , suppose qoe la proposée est complète ou a tous ses termes : s'il en manquait un ou plusieurs , on ne pourrait plus employer le nombre de ses variations. Dans ce cas , il suffirait de la multiplier par un facteur connu du premier degré, du deuxième degré...., et , en général , du degré suffisant , pour que le produit fût une équation complète ; ainrs , après avoir assigné le nombre de chaque espère de racines , on en retrancherait celles du facteur qui a été introduit : ainsi , ce cas rentre dans la méthode.

54- Deuxième méthode plus générale. Le but qu’on se propose dans le problème qui nous occupe , c’est de connaître les signes

des racines x, , x de A'^=o , correspondantes aux ordonnées

y, , y , des sommets de la courbe parabolique ; pour cela,

il suffit de former une équation auxiliaire dont les racines soient

les produits xy , ou les quotiens ^ : il est évident que les signet

des racines de cette auxiliaire auront une correspondance intime et nécessaire avec ceux des x et des y , et que connaissant la position on

le «igné de y’, ainsi que le signe de l’inconnue auxiliaire par le moyen des signes de l'équalion auxiliaire , on connaîtra aussi le signe cherché de x.

Je pose donc xf—z ou xX=Zy et j'élimine x entre xX=zit\ A'^=o première dérivée de A'=o; il vient une équation en z que je représente par Z — o , et qu’un peut appeler équation des signes des racines réelles : elle caractérise les racines positives et négatives, comme l'équation y=o du chapitre VI caractérise les racines imaginaires ; elles sont toutes deux du degré m — i , et leur ensemble complète la solution du problème général de la distinction des ^diverses espèces de racines.

La formation de l’auxiliaire Z=o n’est pas plus difficile que celle de y=o : le même mode d’élimination convient à toutes deux ; c’est pourquoi nous ne donnerons d'exemples que pour le quatrième degré. La première méthode que nous avons exposée dans ce chapitre est si simple , qu’il suffit presque de la seule inspection de la proposée pour assigner le nombre de ses racines réelles positives et négatives dans les huit premiers degrés : on ne devra donc recourir è l’équation Z=o, que dans les degrés supérieurs au huitième , et seulement dans les cas où le doute reposant sur plus de deux combinaisons , la première méthode est Insuffisante.

Si X=o n’avait pas tous ses termes, un sc conduirait comme au n.° 53.