Application au fuatrième degré. Soit on a

X‘=^-\-Zax*+^hx-^c=o .

Eliminant x entre xX=z et X'=o, on trouve, pour Z—O, la suivante ;

, 4‘a*-4-{ — 8io’+5o4«*^ — tiS2bc —

i8oV*— — ^a‘b^

-J-t ^^'b'd—^2ab^c—2~/2abcd — i a6tfr’+*3oi*f»-|-388t:*^

+i6J*+a56J^— 1283X*— j-|-tf 3 c(3 V— 6 « *^— 43 *<^+ 1443 ^’) +2ae ’(93f •— 4 o3 'd — g 6 ^)+c( 1 443 ^*^— 43 ’'^’+* 63*^+256^— I M>'d — 27 «*)=o . (Z)

Voyons maintenant comment U faot faire nsage de cette équation Z=o. Dans le cas douteux du quatrième degré , X=o a deux Tariaiions , et A^=o en a nne ou deux: l'origine des x peut aroir les quatre positions A , A' , A" , A'" ( fig. 4 ** 4* ) î dans la ( fig. 4 )> deux racines de sont positives ; elles

sont négatives dans la ( fig. 4 * ) • signes des coordonnées x , y des sommets S, , sont donnés par leur position, et portent

les mêmes Indices : ceux des x sont donne's par la relation x=xy-, c’est-è-dire , que z est positif quand x et y sont de même signe , et négatif quand x et y sont de signes dlflerens. Les variations de Z=o résultent des signes de z, , z, , z, : cela posé on a

En A , +Xt+}Tt , t — »i+r«î +*» .— '1 z,;Za 1 variatk)».

En A' ,+x,—yj , — x,-fy, , —Xi-fyi;— Xj , — z, , — r, ; Za 0 variiljom. En A" ,4.x,4y, , , +*, , -fx, j Z a 3 variations.

En , —Xf\-yt , — X.— y, ; +z, , — r, , +z,; Za a varialiona.

Or , les positions A , A' de l'origine sont relatives à deux racines positives dans X=o , et les positions A^' , A'" sc rapportent- à deux négatives : de lè résulte cette règle pour les racines douteuses du quatrième degré. ' ‘

Les deux racines de A’=o sont positives si Z=.ü n'a point ots n’a qu’une variation , et négatives si Z a deux ou trois variations.

ïO

En raisonnant pour les autres degrés comme nous sTons fait pour le quatrième , et , s'aidant des courbes paraboliques , il serait facils de construira une table qui indiquerait le signe des racines 'douteuses de la proposée , correspondant aux variations de l’auxiliaire Z=-Q pour chaque degré. Ains'i , pour le cas de quatre racines douteuses , qui a lieu dans le huitième degré , lorsque A' a quatre variations , on trouve que ces racines sont toutes quatre positives , t\ Z i une ou deux variations -, toutes quatre négatives , si ^ a cinq ou six variations ; deux positives et deux négatives , si Z a troif. ou quatre- variatioM.

* 56 . Observations sur les méthodes de HÊM. Lagrange et Cauehf. Le problème de la distinction des diverses espèces de racines , a 'exercé la sagacité de tous les géomètres. M. de Gua est le premier qui ait jeté du jour sur cette matière. Le célèbre I.agrange a 'donné ensuite les caractères de la réalité des vaeines , en faisant voir que l'équation aux quarrés des différences des racines , n’a que des variations de signe , quand la proposée a tontes ses raetnes réelles.

Cependant, on est oblige de convenir que celle méthode devient impraticable , quand la proposéé est d’un degré un peu élevé , parce

l’amiliaita aux quarrés; de» diüéccocas étant du degré ;

daviaat impossible & former. L’illustre auteur qui ns s'est pas dissimulé QCt inconvénient , a proposé une autre méthode dans sa Bésohaion des itjuations numèriquts -, qote vui , psg. 177 : celle-ci est préférable en ce qu’elle n’cmploic que des équations d’un degré inférieur à celui de la proposée ; néanmoins , elle devient bienlét impraticable , parce qu’elle exige un nombre m—i d’auxiliaires : elle a d’a’dleurs un grand défaut qui lui est commun avec la première , celui de faire monter la nombre dea conditions de réalité à

avons vu que le nombre indispensable

n’est que (m— i).

Enfin , M. Cauchy ( Journal de l’école polytechnique , 17.*?

iCtbier ) « r»pr!s U deoxiime méthode de Lagrange, en ajoutent i la recherche des intagiiiaire* , celle du signe des racines réélira.

Ce géomètre emploie , oorome moi , deux auxiliaires Z=o, Y=o, la première pour déterminer la diflércnce entre le nombre des racines réelles positives , et celui des négatives de la proposée , la deuxième pour déterminer le nombre des racines réelles ; mais , la première résulte de l’élimination de a: entre X'=so cl = o ,

et la deuxième de l’élimination de X'=o et y-\- XX"=o ■, on voit que CCS deux équations z~\-rXX"=o cl y~\-XX"=o di/Ièrent des miennes z=xX , J=X par le facteur X" qu'elles contiennent de plus que les miennes: aussi , les -auxiliaires Z — o, l'^o de M. Cauchy n’ont point la même signification que les miennes : nos deux méthodes ne se ressemblent qn’en apparence , mais dilTèrent entièrement : ce sont deux routes qui , partant de deux points voisins, doivent arriver au même but par des circuits dilFérens. M. Cauchy est obligé d’employer un nombre m — i d’auxiliaires formées comme la première ; tandis qu’il ne ro’cn faut qu'une : ses auxiliaires exigent une élimination plus longue que la mienne , è cause du facteur X*' qu’il emploie. Il cherche d'abord k distinguer le signe des racines réelles , puis il passe aux imaginaires : j'ai commencé , au contraire , par lu deuxième problème qui résout presque entièrement le premier , tandis que l’inverse n’a pas lieu.

Il y a encore une autre di/Tércnce très-importante entre les deux méthodes : celle de M. Cauchy suppose qu’aucune des m — i auxiliaires successives n’ait de racines égales entre elles on è zéro. Pour lever cet obstacle qui n’existe pas dans ma méthode , il emploie divers expédiens qui prouvent la sagacité de l'auteur ; mais qui diminue bien peu le vice de sa méthode : c’est dans l'ouvrage même qu’il faut l’apprécier : il n’a fallu rien moins que nonante-une pages in-^.” pour la développer. On doit sans doute des éloges è l'auteur ; mais, elle est si laborieuse et si difHcilc, qu’on sera rarement tenté de la mettre en pratique.

Je ne sais si je me fais illusion , mais je pense que ma méthode

est assez simple et facile pour devenir nsnelle et entrer dans les livres élémentaires: mon équation fondamentale Y^o est si simple , et se présentait si naturellement , que je ne conçois pas comment MM. Lagrange et Cauchy ont pu passer k cdtë sans l’apercevoir. Un problème difficile est une espèce de labyrinthe : plusieurs routes se présentent pour en sortir : les unes sont fausses , les autres inextricables : la véritable est cachée ; ce n’est pas toujours le plus habilo qui la découvre ; c’est souvent le plus heureux.