CHAPITRE VIII
METHODE HODVELLB POUR QUAREER DES COURBES.
Observations préliminaires,' -
57. Mue problème de la quadrature des courbes , on autrement do l’intégration des difTérentielles d’une seule variable , est d’une grande importance , puisque la plupart des questions aboutissent à une intégration. ’ ' . ; ,
Les géomètres ont proposé diverses méthodes dHntégrer , par approximation', les formules qùi ne peuvent l’étrë' ni 'Algébriquement , ni par les arcs de cercle et les logarithmes :’ le moyen offert par les séries est souvent illusoire et trompeur , "parce ’ qu'elles ne sont pas toujours convergentes. " • ■ :i !'•> .. 1 1. • ‘
Un autre moyen connu consistait l’ su^Slltûer ' S’ la’ courbe', à quarrér, une autre courbe du genre ' paraboriqlle ’qii’oh sait quarrer^, et qu'on faisait coïncider è l'aide de coefficient indéterminés : ainsi ^ pour intégrer yydsr , on posait"
'et 'l’on avait ‘ • “
l’a ■! 'i 'OV
,\v. .■ •.n*. jj'u
> ,iv.. •' 1 . t , ■■ >1 lUlu'-'.- Av. • O' '
p^,déterm'mait a, t,c , par^.le condiliqh^ que' là. 'parabole pa^^ par 3 ou ,n points donnés de la coqrbe ^ ^ropc^séc dont les ordonnée^
étaient équidistantes : enfin . on déterminait la constante âjoutc'c S
. ... J liici] r ;.'o sJniüj 1.1' ij-ntop
l'intégrale , de manicae li la faire correspondre anx doux limites
. *■ * * assignées.
Ce procédé devenait lang et impraticable a^uand les coefRciens a , h , c élaicnl en nombre un peu grand ( Voy. note i ) : M. Kramp {^Annales de mathématiques , lom. 6, pa'g. dya), remarquant q'>îe''ccs Jfô'éfRc'iéns ttum^éritjilés ‘tf , 3, 'e... domenrcnl invariables quand leur nombre est le même , les a calcule's pour tous les cas depuis deux''orddnnées jüsqu'i treize , et il en déduit douze formules précieuses : leur usage est très-simple :1a substitution des ordonnées cannnes -dorme tout de suite l’aire cherchée fXéiX , plus brièvement et plus exactement que par les méthodes connues des sérier.
M. Kramp s’est arrêté b la formule relative b treize ordonnées: « J’aurais désiré', dit-il, de pouvoir continuer cette table Jusqu’au » diviseur a4 i t^ais l'iminensité du travail m'a eflrayé. 11 doit » sans doute , r, y avoir quelque méthode beaucoup plus abrégée que, « celle que nous,^ avons suivie ^ mais jusqu’ici, au moins, je l'ai » cherchée vainement ».
J’ai cherché cette méthode, et j’ai eu le bonheur de la trouver: elle n’a rien de commun avec celle de M. Kramp ; elle est simple , et elle ip’a /ajli trouver la formule relative b vingt-cinq ordonnées : j'ai même,, temps quelques erreurs échappées b Kramp.
Exposé de ma méthode.
58. Le problème qui nous ocoups P«**t être énoncé ainsi : Connaissant les deux ordonnées extrêmes d'un arc de courte, et plusieurs ordonnép^ intermédiaires équidistantes , exprimer en fonction de 'ces ordonnées , taire rnîxtiligne comprise entre les deux ordonnées extrêmes , la courbe et taxe des x.
La’ solution ‘de ce problème fournira aussi célfe de 'l’intégration âes fonctions d'une seule variable , puisque , "intégrer AiLr , c’est quarrer la courbe qui a pour équation <
f Soient y, y, , IT.y, la» ordotiniSe* coiinne» de >■ eoarbe
ysisX qu'il f‘eg|t de , <quarrer entre Ici limUce yg /n* Soit S l’aire cherchée =/Xàx, et euppoeone le aoiRllwe dei ordonnée* con. vues s 7 . Ce que nous dirons de ce n^iinbre. 7 s’appliquera i tout autre. ’
1 .” Je remarque que , quelle que soit la valeur de chacun des coefTicicns de la formule que nous ,clierchons , ses ordonnées également 'éloignées 'des extrêmes , doivent y jouer le même rôle , parce que la première peut être prise pour la dernière , et pice pend : ainsi, par exemple, jr, et doivent aao'ic la méqt* coc|TVû«nt : celte observation réduit de moitié le nombre des coefHc'iens à trouver, et fait voir que la forniule doit être de eqUV (o*m£‘;>
S=A:Xg^~yti+B{y,^-y,yhC(y^-^.Y^y^Df, * - ÇF}
a.* Les cocfHcIens indéterminés A , B C , D doivent être tel* que, quand la courbe proposée y^X est quarrable , la formule (F) donne , pour l’aire S , une valeur numérique connue et exacte : ainsi , il est nécessaire et sitlBsant que ces coeiEcievs satîsfa^ent à ' quatre ■ observations qu'on pourra cho'isir parmi les plus simples , pourvu qu’elles so'ieni distinctes et qu’^e* «a qe cMspartrpt ~pat lune l'autre, (Note 5.)
3.° Supposons , pour première observation , que la courbe i quarrer
est une ligne drqitc , parallè|« i Tue daa 4 , 4 <>«t éloignée
de la quantité i , et que rinterralle des ordonnées extrêmes est 6 .
L'espace k quarrer sera un rectangle ABCD ( fig. i5 ) : on aura
r«=ri=*j'*=/i=/4=/.==ys=« . ^
aire ABCD=S= & , et la formule {F) deviendra
6 sa^-baB+aC+JD , ( 1 )
' ‘ 4 -* Je supposerai , pour deuijêaie Qbaemtieg , que la coulbe k
quarrer est une parabole d« deuxième dcgrd , qui touche , par sOn sommet l axe j4JS des x eu son milieu O ^ et qui passe par les angles CD du rectangle ci-dessus ABCD,
L’èqûation de celte parabole , en prenant l'origine au point O ;
sera y= — : en y faisant “'g ^
on aura
VH
y„=i , yt=», ri=o ; S=AC.^ssi,
^ parce que S=CA 0 BD= 2 /Ydx=a/ — ^ =2 ; la for-
mule (F) devient , par la substilntion de ces valeurs ,
2=2A-i-ÎB+lC y ou
qA+^B-\-Cz:q , ^a)
5.* Je prends , pour troisième courbe d’expérience , la parabole
y~ — passant par les points O , C , D, comme U précédente :
scs sept ordonnées sont
ro=rs«=ï , j'.=ri=-^r.=r4=— > ri=° ;
son aire est
5=i.AB.AC==\ÿ
substituant ces valeurs dans (/) , on a
C.® Enfin, je prends , pour quatrième courbe d’observation , la
parabole
parabole y= — , 'placée dans le rectangle ABCD , comme les prcr codantes : ses ordonnées sont ^
r*-r*=^> ri=o !
son aire est
S=}.AB.AC=zi ;
la substltntion de ces valeurs dans ÇF) , la change en celle-ci
qKA+64.B+C= . ( 4 )
7.* Eliminant A , B , C entre les trois éqCtalions (a) , ( 3 ), ( 4 )i on trouve très-simplement
ces valeurs mises dans (1) , on en tire D= : il ne reste plus «jn’i substituer ces valeurs de^,H, C , D dans (F) , après les avoir divisées par 6 , afin de faire rintcrvaJIc des ordonnées extrême» égalé l'unité, et il vient finalement pour la formule cherchée
840 .i= 4 ifyo-+-/s'+ 2 i 6 ^y. 4 -rf)+a 7 ( 7 ,+r 4^+272/, . (/’.)
59. On procédera de la même manière pour trouver les formule» corre-poiulaules à un nombre quelconque pair ou impair d’ordonnées» ' ( Voy. note 3 . )
Tout autre système de ronrlie d'exprrienre fournirait des f< rmules , quelquefois difTerente», qui exigeraient une élimination plus difRci’c , et qui , en général , seraient moins exactes. ( Voy. note 5 ,) Il serait , sans doute , superflu de rapporter ici tons les calculs qui on) servi h former le tableau ci-après , dans lequel j’ai ra.s.scii'b'é toutes les formulc,s qui peuvent être necessairt s dans la pratujue : cependant , connue celle relative à vingj-ciiiq urduiiiiées , on au
as
diviseur 34 > imporunte , el en m^me temps la pins
longue 11 trouver , je crois devoir rapporter les bases du calcul , aKn qu'on puisse , au besoin , vérifier la formule dont je garantis au reste l'exactitude , après l'avoir éprouvée sur plusieurs exemples.
On voit d’abord que la formule doit être de cette forme
•S=Ar.4-r.«)+5(/,4-j',,)*VC'(y,4^.,) +Ny,,. (F, J .
Il faut treize expériences pour déterminer les treize coefficiens
, B, C, N', la première est toujours la droite CD ou
parabole y—x°.
Il faut imaginer ensuite les douze paraboles
-> *» xS xM
touchant toutes le milieu O de la base jiB , et passant par les points C et D.
On calculera, dans chaque parabole', les vingt-quatre ordonnées égales deux à deux. Les douze aires ou valeurs de S seront , en faisant l'intervalle j4B:i24,
”1 “ï*i ~t~ > 9 T7 9 TT* TT» T»» 7»> TT» Tï» T7 ♦
ce qui se démontre facilement par le calcul intégral.
Ayant substitué, dans, (/■,«), les valeurs , y, ......y,, , S .
on aura les treize équations suivantes, dont la symétrie est remarquable,
a.é-f-aB-4-ïC-f-aD+a£+-aF-4-*G-4-iH-l-i/-l-aK+aI.-t-a5t'+-2V=a4 (i)
ia».yé-fi {*) * la*
ia>‘.>é+ii*‘.fl+io**.C+9>i.Ü-f-8>*.£+7’‘-F-l-G>».G+5'*.ff+4*‘./+3**-E
On éliminera M en retranchant (2) de ( 3 ) , ( 3 ) de (4) , (4)
de (5) ; il Tiendra onze équations desquelles on éliminera Z,
en combinant toujours les deux équations Tolsines ( Voy. note 2) : on continuera ainsi à éliminer AT , H , G. ......etc. On arrivera
à la valeur de A ti , en remontant , on aura B , C , D , E , etc . , et enfin N par l’équation (i). Il faudra ensuite diviser chaque coelHcient par 24 > bUd qne rintervallc des ordonnées extrêmes que nous avons fait =24 devienne =1.
60. Dans le tableau suivant , l’indice qui accompagne la lettre (F) Indique U diviseur qui sert de base à la for||^le : ainsi , (Ft) signifie que l’intervalle des ordonnées extrêmes , yt a été partagé en six parties égales , ou qu'il y a sept ordonnées. La lettre S représente toujours fXAx , c'esl-ii-dire , l'aire cherchée.
Èecueil de formules,
<Fi> aSs^o+j'i.
(F4) 8oS=7(r«+r4)+3aCri+riH-ia/« .
(F,) a8aSs=ig(y443r,)+750-,4y4H-5o(Fi+y») !
(Fs) 84o5=4i(yrj4^0+3«6O'i+y(H-»7Cr»+y4>+a7Vi î ^
(F|) a835oJ=989(yo+ri)+5888(jri4y', î-9a8(y + 1 o496(r rhr' » )“454<y « .
(F, o) 59675aS=iGo67(y,-Hr„)4.io«360(ri-b'»)— 485aS( jr»+yt ) +a7i4oo(j'4-fr,)a6o55o(r4-f7s)4'4a73&!ri •
(F, O 63o63ooo5=i36465i(yo47'i »)+99*3i68ür,47r„)— 75fl7864(7'»4^,o) •f3S7aSiaa(jr,-f7's)— 5i49»95Cr4+J'lH-87S>8a88(/,-47^)-87797t34^
(Fj 4) 36930877359616150005=352009697 35i9oo53(y„-4^, 4)
+37927038826161 ioo8<7'i4:y J ,) — io4344495SG33209i5iCjr,+j-, ,) +598â2S99g93G8535oo8cj'i+7i i) — i3348698o48773i57o3i(7'4+7-,o) + 781449*88 iSoo4656ii 8(7 J +/ij) — n5oi6aïi369o57232o3i(^6+7 , j) +499068087287 186884608(7-, +>', ,)— 98iii432o53o28i4CjC57()-»+7-i6) +i649M2i2^2732224i28(jr,+yi ,3— aSSoaSi 128837057960 igic/io+y, 4 J +2962867290268854786048(7^,,+^, ,) — 31860016154646731009127',, .
L,es cinq premières formules sont presque sans utilité dans la pratique , parce qu’elles donnent une approximation trop bornée : la sixième servira dans les cas les plus ordinaires , ainsi que la hui-' tième : la dixième et la douzième devront être employées dans les cas où l’on veut avoir à peu près dix chiffres exacts ; la vingtquatrième sera employée dans les cas très-rares où l’on veut pousser l’exactitude jusqu’è Seize ou dix-huit chiffres.
Dans des cas extraordinaires , où l’on aurait besoin d’une approximatioir encore plus grande , on pourrait calculer une formule pour quarante-neuf ordonnées : il ne faudrait , pour cela , que du temps et de U patience ; 00 peut aussi remplir , qtioiquc moins parfaitement , le même but , en partageant l’intervalle des ordonnées extrêmes en un certain nombre de parties égales dont chacune est ensuite subdivisée en vingt-quatre , et l’on applique ù chaque groupe de vingt-quatre divisions , la formule 4) ; en voici un exemple.
Je suppose l'intervalle total partagé en cent vingt parties par cent vingt-une ordonnées. Je représente , pour abréger , par p , a , b, c, n les nombres de la formule (^,4) , et l'on obtient
tout de suite la ^suivante :
(F, ,o) V- 5 =<r<.+ 2 r. 4 +=r 4 »+ 2 yr.+ 2 r*«+y. .«)
-t-^(r.+r . I +r . .+/4 9+rr . +r 7 j +r » « +r » , +r . .»)
— <ri+ra .+r . 4+/4 «+r . o+r 7 o+rr 4+r»4+r »«+/.. s ) +</.yi+/»«*+T* 7+3^4 i+yii+y«»+/ 7 i+r»(+y 9 9 "hyu 7 ) — <y 4 +r.o+>-. 8 +r 44 +ri.+r 6 «+y,« 4 -r 9 , 4 -r.o.+r..s)
+/(r 5+ri 9 +r 1 9+r4 » +r « • +r « 7+/7 7 +r » ■ +r <».+r.- .)
— /?(r<+/i8+yio+r4.+ri4+r«»+y7 8+y9o4:y.o»+r.i4)
+>^(y 7 +r 1 7-4-y 1 1 +^4 , , +y« , 4-/9 9+ya »-l-y-o > 4 y. ■ , )
—i(r*+y 1 6+r , .-Ht4 o+r, t+y* i+ys o+y» s'+r ■•44-y . . .) 4-A(y9+y . ,-hy I i+r , 9+r , 7-Vr« »+y« i+rs ,+y>o ,+r...) — /(y.o+r . 44-y, 4+r , 8+r, t+y« »+y« »+r< «+r.=«+r...) +<y..+r , ,+y, ,+y , 7+r, 9+ri.+y» i-+:y« i-hy..7+^.o9) — «(y..-b'i«+ye«+y844-rioi) •
Dans l’emploi de toutes ces formules , il faut remarquer que si l’intervalle des ordonnées extrêmes , qu’on a pris pour unité, était en général r , il faudrait multiplier par r la valeur de 5, donnée par la formule.
6i. Il est une autre remarque importante : si la courbe i quarrcr , renferme un point d'inflexion , ou quelqu’autro point singulier , entre les limites de l'intégrale cherchée , il faut évaluer séparément les deu^ portions d'aires qui sont de part et d'autre du point singulier , sans quoi l'exactitude du résultat serait sensiblement altérée. ( Yoy. note 4- ) verra ci-après comment
M. Kramp ^ pour u'avoir pas fait celte attention , a ét^ conduit i de fausses conséquences , et a cru apercevoir un paradoxe qui n’existe pas. *
Application des formules»
6a. Il me reste une demiire lârlie i remplir : il faut soumettre nos formules & l'expérience qui est la vraie pierre de touche de toutes les théoriex
Je prends , pour première application , la recherche du logarithme ' hyperbolique de deux : il s’agit, pour cela, d'intégrer—, ou de
quarrer l’hyperhole y= — , depuis xx=i jusqu’à »=a.
Peur appliquer la foroawte , U faut faire dans y= — ;
successivemeot
»=«. *=»+îl^
Ot l'équation, donne
• /•— ï7 I J^a^ïT » • y«^v • » ys=®i® »
rr=îT , ri=o,7S . r*=f. . , ris=r »
Xi i— TT I J’i 4— îi ». 3^1 1~'^ » X‘ s*=o.G > X < r— ïî » y » l—r »
» Xto—Ti 1 yai— M » yii— H > ysi=T» • j'ss—r •
P ne s’agit que de substituer ces valeurs de y,, dans
la formule (P^^) ; on opère d'une manière analogue pour les autres forviules. IjC tableau •.uivanl pré&onic les résultats obleniis pour S ou I..og.a , par nos formules (/*») , (T^g) , (/".o) • (.^’is)» ».
et par la douzième de Kramp»
Log.a d'aprls BirarJ . Log.n d’après Kramp ,
La vraie
valeur est Log.2= 0,693147180559945309 .
II suit de ce tableau que le rdsullat de ma formule (/',,•) est trop fort de 0, 000000000066a et celui de M. Kramp de 0,0000000001 663 } l’erreur de M. Kramp est donc presque triple de la mienne : aussi , sa douzième formule est-elle dilTérenle de la mienne. ( Voy. note 6. ) Le même tableau fait encore voir que le résultat de ma formul» (Fj^) n'est en défaut que d’une unité sur le dix-huitième chiffre, approximation qu’aucune autre méthode ne saurait donner aussi simplement, et gui excède de beaucoup les besoins ordinaires.
J’ai pris , pour deuxième application , la détermination de la
longueur de l’arc de ou de : x étant la tangente de Parc , il
s’agit d'intégrer depuis jr=o jusqu'à » c’cil-i-dire , do
quarrer , entre les mêmes limites , la courbe y— , en faisant successivement — •
on trouve
ro=* . > r»=nî» r. = î*, ^4=!*.
( "" 7«î f il » y f~~ Til > ^8”Tïi ^J~TÏ*
/ •• — •«• > J 1»*“ Mf I / I » — » > y 1 1 — »*t » J 1 4 — *9t >
— îi 4^,— JL 44» —1*1 A» — 4, It*
/||"“•» » / > 7ir“«4i ^ I y«j“*»7 •
Ce$ valeurs mises dans ma formule {Ft^) , on trouve
•=3, !<{i53265358r)7Qo ,
valeur qui n’est en défaut qu'au seizième chiffre , tandis que M, Kiamp ii’a pu en trouver que douze d’exacts , par une combinaison laborieuse de plusieurs de ses formules.
D ;ms ce deuxième cxriiiple , nous n’avons trouvé que quinze chiffres exacts , tandis que dans le premier nous en avions eu dix-sept et presque dix huit. La raison de cette dilfc rence tient &
ce que ici la courbe à quarrer y= • ^ ^ a une inflexion au point
dont les coordonnées sont ar= -, v= i ; cette circonstance donne
lieu è une anomalie qui altère le résultat: il aurait fallu ne quaricr
la courbe que depuis a’=o jusqu'è x= — ^ : en muliipliant le
résultat de la formule par — —, ou ÿ \/Tj . on aurait eu la longueur de - ;
mais , T*ous n’avions ici pour objet que de comparer notre formule
(^4 4) avec le résuil|^de M» Kramp. Hour appro' her dasaniaga
la valeur de », il faudrait prendre pour x la lançcnte cl’un tiè—
petit arc sous — multiple de 3u* , et appiicjuet la furiiiule
( Voy. note 4- )
Ce g^oinMre y pour n'avoir pas fait attention au point d'inflexion,' a étd conduit à des consëquenees fausses : en effet , sa formule n.” 8 lui a donné plus d'cxaclilude que celles des n.** g et lo, ce qui présentait un vrai paradoxe ; mais, il faut remarquer que pour la formule n.* 8 , il a pu s’opérer entre les aires des deux branches de la courbe , une compensation d'erreur qui a pu être plus favorable que pour les n.“* g, lo, ii. ( Voy. note 4*)
63. Je crois pouvoir conclure de tous les essais que j’ai faits ^ qu'au moyen de nos formules (/’,) , (F,), (F,o), (F, .), (/■,«) , (F , ,»), on tire tout le parti pq^sible d'un nombre donné d'ordonnées , et quo l’emploi de ces formules offre le moyen , Il la fois le plus exact et le plus expéditif, d'intégrer les difTérenticlIes d’une seule variable. On peut , pour les diverses applications , consulter les mémoires cités dont les formules s’appliquent à la manière des nôtres.
Les géomètres sentiront que cette manière de déterminer les coeiEclens d'une formule par des expériences faites sur des cas connus , dispense l'aualiste d’une fouie de raisonnement dont l’algèbre fait tous les frais. L'esprit de cette méthode peut avoir bien d'autres applications utiles.
Idoles sur le présent chapitre^
64. Tfoti I.»*. Je y»i» chercher U fomiule fF,) par te procédé Indiqué ( n,® 5 j •n connatl Ici trois ordonnées y„, J'i , jr, : en faisant successivement
»=0 , y=yg ; , y=y, ; x=t , ;
dans
f=a+ix+tx‘ , , •
Cil « les trois équations
/o=« , J’.=a+ii+aes rs=o+J+< r
desquelles , par éliamalion , on lire
B=/o . i=— 4y,+sj'» :
^ Mettant cet valeura de o , t , c dan*
//i*=ax+î-ix>+fciJ ,
c'est-à-dirc , dam
/j-dsz=o+iH-ic ,
( en prenant l'inte'gralc depuis x=o jusqu'A z=l ) , on trouve
^•di=yo43 »+4yi » *
j>rfrîs< 5 incnt comme porte le lableaa du Oe® 6o. •
Lc« autres formule* de ce tableau cc trouveraient par le même procédé ; mais le travail devient bientôt impraticable.
Is'o/e a. M. Kramp ( jInnaJes de mathimati^uts ^ lom. 71 pag. ) a fait plusieurs objcctioni contre ma tncibode exposée , tom. 7 » p.ig. loi du même recueil : je vais y répondre , eu évitant » autant que je pourrai , le ton aigre de cc géomètre.
Il dit ( pag. 344 ) ** L'operation connue des soustractions réitérées ne suffira U pas pour diminuer chaque fois d'une unité le nombre des inconnues ^ ce P qui rendra la résolution coroplctc des treize équations beaucoup plus laborieuse U qu'oii ne pense'»* : c'est là une erreur palpable : en disant qu'il lallait combiner les deux équations voisines , je n'avais pas cru nécessaire d’ajouter qu'il fallait préalablement mnUipIter l'une d'elles par le nombre convenable , avant de faire b soustraction : avec celle explication , un cûup*d’ceil sur les équations à éliminer suffit pour apercevoir que chaque operatiou f^it disparaître une inconnue* 2 S’o/e 3 . M. Kramp ^ pag. , dit que ma méthode u'est pas applicablo aux diviseurs impairs ; c’est encore là une erreur manifeste • cl ma méthode n'czigo aucune modification pour le cas dont il s'agit.
Qu'il s’agisse, en cflfct , de trouver (F,) : en faisant ( fig. i 5 > AC^i cl AB^io ( |Aur simpUber le calcul ) > et prenant » pour courbe d'czpcricncc ^
X* ac*
on oLliciU lei txoU tfqaftttotti
dciquclle* on conclut , sont difficulté, ]a formule (F, , après avoir divisé A, B , C par 10.
liote 4- Fn appliquant ces douze formules A la détermination de n , M. Kromp a formé un tableau où l’on observe, i.* que les erreurs sont tamût positives , tanidt négatives ; a.* que la formule du n.“ 8 est plus czacte que les suivantes, 9.“', 10.“', it.“®. Cette sin^larité avait été remarquée par M. Kramp ( tom, 6, psg. 3 eq ) ; mais , j’ai osé en recberclier . la cause : je l’ai expliquée par un point d'inlleiion dans la courbe à quarrer , circonstance qui avait écbappé à M. Kramp. Ce géomètre ne veut point de mon explication , et s'indigne presque de nia témérité : il explique le paradoxe par un raisonnement qui me parait loot.à.fait étranger à la question*
On a déjà vu que ce paradoxe n’a point lieu pour Log.X ( Tojr. le tabicsir du n.® 61 ) : j'ai appliqué les formules k plusieurs autres courbes sans inflexion , aucune anomalie n’a paru : je les ai appliquées eninile à des courbes A inflexion , le même paradoxe a reparu.
Veul-oti un exemple bien frappant de l’influence des points d'inflexion ? Qu’ors applique les formules A la parabole cubique j— t ®t> trouvera, par toutes les formules du tableau , sans distinction , que l'aire do l’espace comprit entre l'abscisse a:=i , l’ordonnée extrême , et l’arc de enurho passant par l’origine , est exactement j ; ainsi , la formule (F,) , qui n'eiuploio que les deux, ordonnées extrêmes , est ici aussi exacte que toutes les autres ; voici l'expUcalion de cette singularité. Si l’on imagine un qnarré construit sur a:=i et j’=r , le centre de ce qnarré coTnddcra avec le point d’inflexion de la courbe ; l’airr donnée par la formule (b’,) n'est autre eboae ici qua l'aire du triangle rectangle moitié du quarré ci.dfssus ; or , ce triangle est exactement égal k l'aire mixtiligne que l'on cherche , parce que la diagonale du quarré , laquelle passe par le* points extrêmes de la courbe et par le point d'inflexion, forme deux tegmenr paraboliques égaux, l'uu dans le triangle , l’autre en dehors; eu sorte qu’iï s’opère une compciuatron exacte qui rend le triangle égal k l'aire curviligne
cherchée.
Enfin , veut-on une preuve tirée de la courbe môme qui a présenté A W. Kramp le paradoxe dont il s’agit ? U suffit d’appliquer les formules k la courSr
3’= — ' depuis 3r=o jnsqn’A x=-^; car, entre ces limites , il n’j a pa» i-pa:*
dluflexlon : pour cela, il faut faire successivement, pour (F,a),
pour avoir i yi , y% t > i rt mulllplicr le réiultat de U formule par
: 00 aura ainsi 1a longueur de l'arc ^ , et l’on trouvera
résultat trop fort de 0,000 000 000 008 ; mais cependant plus exact <pse celui
obtenu sur l’arc affecte d’un point d'inflexion ; si ensuite , on ix‘pète le calcul
sur (Fj) , (F4), (F») , (Fj) , (F,o) , on trouve que les erreurs vont en diminuant > qu'elles sont toutes positives , ou , dans le mime sens , comme cela doit être : ainsi disparaît le paradoxe en question.
En voiU assex , je pense , pour lilgitimer ce que j’avais dit sur les points d'inflexion, et pour prouver que, si on nc’glige les points singuliers , on perd la certitude ds la coïncidence de la courbe parabolique avec la proposée , et que dès-lors la méthode pansbolique d'approximation perd aussi une partie do sa supériorité' sur celle des séries. ( Vojcx le Mémoire de M, 6>rvois , ,
lom. 8 , Jiag. 73. )
Ifole 5 . M. Amfére , dans son rapport, a dit que le nombre des cocfliciens
est pour le cas des n intervalles pairs et pour le cas impair ; c'est
sans doute , par inadvertance ; un coup-d'œil sur le tableau des formulas fait
voir que ce nombre des cocfficiens est dans le cas pair , et dans le cas
Impaîr.
M* Ampère dît encore <juc quelles que soîcnt le* courbes d’cipcncnce* que l’on choisira , pourvu que y soit une fonction ratlonoelle entière de jc , dont
Ip drgrë ne passe pas n , les cocfiîclen* B» scrool toujours les mêmes :
celle conclusion doit être restreinte ; en effet , il est fseite de s'assurer par l’cspéricnce , i.® que deux équations du même degré , comme et ne peuvent pas être empiojees simullaDément pour trouver U même formule , parce qu’elles ac comportent Tune l’autre , et qu'enscinhie elles ne fournissent qu’une seule expérience ; 2.® qu'il en est de même des équation* yvskx^P et • ; 3." que le* courbe* d'expérience* doivent comprendre tous le* degré* pair* , depuis ; quoiqu’on puisse substituer h uu
(flS)
ptir le degr^ impair imm^iatcment aupWeor , en reflençanl li la slmplicii^ des calculs ; 4 >* que , si quelque courbe d’expérience passe le degré n , la formule qui eu résulte est moins simple et , en général , moins exacte que ta correspondante dans le tableau n.® 6 o ; parce qu'elle n’cit pat identique avec celle que l'on obtient par le procédé de la note l.
J’aurais dd , tant doute, insérer cet éclaireitacmcns dans le mémoire •que j'ai adressé i rAcaderoie. Quoi qu’il en soit , M. Ampirt a une célébrité trop bien acquise , et il aime trop la vérité , pour prendre en mauvaise part les précédentes observations.
Jfo/e G. J’arrive au reproche le plus grave de M. Kramp:\\ aflirme (Annales , tom. 7 , pag, a^S) que ma formule (f, i) est tntilrement fausse et erronnée , et il en apporte, pour preuve unique , qu'elle est différente de la tiennne qui est nécessairement exacte.
Je réponds , i.» que ma furmulc (F, ,) a donné plus d'approximalioi^ que celle de M. Kromp , dans les deux applications que j'ai rapportées , ce qui établit une première probabilité en ma faveur ; a.* qu'après avoir refait mes calculs , i ai retrouvé les mêmes coef&ciens ; 3.® que MM. Servais et IVronski sont parvenus B ma formule par des méthodes qui leur sont propret.
Avant de connaître 1a réfutation complète que M. Jeivoij a faite de toutes les objec. lions de M. Kramp , et désirant que les géomètres ne conservassent aucun doute sur 1 exactitude de met formules reconnues utiles par l'académie , j'avais imaginé de faire proposer è M. Kramp un expédient qui avait plusieurs avantages , celui de terminer promptement les incertitudes , celui de rendie les auleuN pluf circonspects et les critiques plus honnêtes.
Nous aurions déposé, M. Kramp et moi, chacun looo francs au secrétariat de l’académie , en la suppliant de faire vérifier ma formule (F, ,) , et d’emplojrer les looo francs du perdant è un prix sur une question k son choix.
Mais , depuis le mémoire do M* Seryois , il y aurait peu de géisérosité de ma part è insister sur ce délit.
Note 7 . Dans lélat actuel de l'analise , la méthode parabolique d'approximation est , sans doute ^ préférable a toutes les autres : remarquons cependant qu’on peut substituer k la courbe k qharrer , non seulement une courbe du genre parabolique , mais encore une autre courbe quelconque qui diffère très-peu de la proposée , par exemple , la développante qui passe par un nombre donné des points pris sur la proposée s cette réflexion ouvtc un vaste cluunp aux recherches»
\oici un essai de ce genre qui pourra paraitto intéressant. U s'agit de quarrer
l’h 7 perbole y— , ou d'intégrer : je mets x’ +” pour x , et j'al la courbe
* • * ^ • >=J 7 ^p;qni coïncide d’autant mieux arec l'hjrperbolc que n est plai petit,
ToiU donc une expression algi^hrique de Log.x qui sera d’amant plus eiacte qu*oii prendra n plut pcliti Si , par exemple, on fait n=o,oooi , ou trouve L»og^:so,69 : $t on prend pour n un multiple de ^ , on pourra , par des extractions successives de racines quarrtfes , approcher aussi près qu’on voudra de U vraie valeur de I»og.2ÿ tons employée des tables de logarithme.
