Qu’en représentant . y. > r* V— « > /n

les valeurs de la fonction dérivée qui répondent aux valeurs équidistantes de .r , ce résultat est égal à*une fonction de t ,

y, , fn-, > J», oti ces quantités ne peuvent entrer

qu’au premier degré.

2. ® Que celles qui se trouvent è égale distance des deux extrêmes y doivent avoir les mêmes coelHciens , en sorte que ce résultat peut être représenté par

*«n sorte que pour l'avoir il sufRt de déterminer À, B, C , etc.; qui ne peuvent dépendre que du nombre des valeurs équidistantes de X que l’on considère , et qui sont par conséquent les cocHiciens numériques qu’if suffit de déterminer une fois pour toutes , refa- ^vement à chaque valeur particniicrc dé ce nombre.

M. Bérard donne, dans son mémoire , une méthode irès-sîmple pour parvenir directement à cette détermination ; cette méthode eoaduit aux mêmes valeurs pour les cocfficicns dont nous parlons,

que

que le procëdd de substitution et d’intcgration que nous Tenons d’indiquer. 11 nous semble que l’anteur aurait rendu son mémoire plus complet en en faisant l’observation , et en en donnant une démonstration qui ne laissât rien â désirer ; c’est pourquoi nous croyons devoir expliquer ici sa méthode d’une manière un peu difTérentc de celle qu’il a adoptée , atin que cette démonstration naisse , pour ainsi dire , de l’exposition même du procédé qui y conduit.

Le nombre des cocfficiens â déterminer est évidemment — quand

le nombre n des intervalles est pair , et quand il est impair,

tel est donc le nombre des équations entre ces coefliciens qu’il faut obtenir pour les déterminer.

Prenons nnc courbe qui soit un cas particulier quelconque de l’équation

« y = a-\-6x~i~cx'-h etc,

La formule

-^(ro-*-y.)+^(r.+r,- .)+c'(y*+ra- ;

en supposant qu’on en eAt calculé les coefRciens A , S, C , etc. ,• par le long procédé décrit a» commencement de ce rapport , re> présenterait rigoureusement l’aire de cette courbe entre des limites données; d’où il su’u que si d’une part on calcule directement cette aire , et que de l'autre on prenne les valeurs de , y, , jr, y^—t I fn—t > fat correspondantes ù ce cas particulier pour les substituer dans

et égaler le résultat â Is valeur trouvée pour l’aire , on aura- «ne équation du premier degré exactement satisfaile par les valeur» de ^ , B , C , etc.

Eli prenant una autre eourbo dont l'dc^uatlon lell auul renfermih comme eu parileulicr dana l'ëi^uatioa

et , en répétant les mômes opérations , on trouvera de même une seconde équation du premier degré entre ^4 , D , C , etc.

Après avoir pris autant do ces cas particuliers qu'il y a d'uniléa

dans — ou — suivant que n est pair ou impair ; on aura donc

autant d'équations du premier degré entre /!, B , C, etc. , qu’il y a de ces inconnues, et leur détermination no sou/Trira plus alors aucune diiliculté.

Il est évident que tant qu'on aura pris pour ehaque cas particulier une valeur do y comprise dans l'équation

y.~û-{-6x+cx’-\-clc. ; ‘

c'est-li-dirc , uno fonction rationnelle entière de x dont le degré ne passe pas « , on trouvera, pour A ,.B , C , etc. , les mômes valeurs que par le procédé ordinaire , décrit au commencement de ce rapport i et comme c^s valeurs sont uniques , il est clair que quels que soient les cas particuliers qu'on choisisse, on arrivera toujours Identiqueinent aux mômes résultats ; o’esl ce que M. Bérard ne parait paa avoir remarqué ;.'Car, il dit , après avoir expliqué les cas particuliers , qu'il a choisi çt qu’il nomme courbes d’expériences.

' « Tout autre système do courbes d’expérience fournirait des for. » mules différentes qui seraient toujours moins simples , qui exigeraient I» une élimination plus difTicile , et qui , en général , seraient moins » exactes,' »

Cola n'est vrai que dans le cas où l’on prendrait pour la valeur do Y une fonction ralionuclle entière de x , d’un degré plus élevé que le nombre n des intervalles , parce qu'alora cetto valeur de y uo serait plus comprise dans la formule

Jont on est parti pour établir que la valeur, de l’intégrale est représentée par

<^.Vo+rnH^(ri+r„ ,)+^0'»+r.-.H*«'c- .

où /é , B , C , etc. , ont toujours les mêmes valeurs , quelles que soient celles de a , h , c , etc.

Mais , il existe une infinité de fonctions rationnelles de x dont le degré ne passe pas le nombre n , qui peuvent également servir , et qui donneront toutes identiquement le même résultat. Le passage du mémoire de M. Bérard doit donc être modifié , et il aurait dû se borner ù dire que les équations paraboliques monomes de degré pair dont il se sert pour trouver les formules qu’il cberobe sont les plus commodes ù employer dans la pratique. Cette observation ne fait rien , au reste , ft Tutilité qu’on peut retirer du mémoire de M. Bérard et des formules, toutes calculées, qu’il, contient pour des nombres d'intervalles égaux ùi,Ù 3 ,à 3 ,ù 4 >ù 5 , ù 6 ,ù 8 ,ù laetù 34. Nous pensons , en conséquence , que ce travail mérite l’approbation de l’académie , et qu’il serait à désirer quil fût publié, et qu'on fît connaître cette méthode, qui est susceptible d'utiles applications, dans les ouvrages élémentaires.

Signés à la minute , PoiNSOT , AmpèRE , rapporteur.

L'Académie approuve le rapport et en adopte les conclusions.

Certifié conforme ù l’original ,

Ze Secriloirc perpétuel , chevalier des Ordres

Boyaux de St ~ Michel et de la Légion di honneur ,

Delambre.