CHAPITRE IX

CtBATURE DES SOLIDES ET QUADRATURE DE LEUR SURFACE.

La ra^thode que j'ai exposdc dans le chapitre VIII , pour quarret les surfaces , s'applique , sans di/Iicullë et avec avantage , à la cubature des solides. Je vais parcourir quelques cas gënëraux , cl donner quelques applications propres à faciliter l'emploi de la méthode.

Paraîléîipipède recouvert par une surface courbe.

G6. On sait qu'un prisme triangulaire , tronquë par un plan incliné A sa base , est égal au produit de cette base par le tiers de la somme des trois arêtes , si le prisme est droit , ou par le liera des trois hauteurs , si le pr'isme est oblique.

Si l’on a un parallëlipipëdc , tronqué par un plan incliné h sa base, dont les hauteurs des arêtes soient A , h', h" , h'" , h la surface de la base , et F le volume ; en le décomposant en deux prismes triangulaires par un plan passant par h et h" , on aura , d'après l’article précédent ,

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Décomposant de nouveau le parallélipipède par un plan passant par h' et h'" , on aura semblablement

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Ajoutant les deux ^ualions cl-dessus , il vient

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théorème simple que je n’ai pas rencontré dans les livres élémentaires.

€ 7 . .Imaginons maioteoant un parallélipipède recouvert par une surface courbe ; si on le coupe par des plans équidistans et parallèles aux faces , il sera décomposé en petits parallélipipèdes ayant tous la même base h. £n ajoutant tous ces parallélipipèdes , et falsaut la rédaction , on trouve la règle suivante.

Ajoutez ensemble, i.* toutes les hauteurs des arêtes intérieures ou invisibles ; 2 ° la moitié de toutes les hauteurs des arêtes extérieures ou de faces visibles , è l'exception de celles des quatre angles ; 3.* le quart des hauteurs des arêtes des quatre angles. Multipliez cette somme totale par la hase 6 , commune à tous les parallélipipèdes partiels : le produit sera le volume cherché F du parallélipipèdo •urviligoe. •

Si la base du solide , au lieu d'être un parallélogramme , était un triangle ABC qui en est la moitié , on diviserait AB et AC en un même nombre de parties égales , et l'on mènerait , par les points de divisions, des parallèles è AB , AC \ la règle précédente s’appliquerait ici , mot è mot, avec cette seule différence, qu’au lieu de prendre le quart des hauteurs des arêtes en .fi et ê7, il n« faudrait en prendre que le huitième.

Celte règle fort simple donne le volume du polyèdre inscrit dans la surface courbe : elle donne une approximation d’autant plus grande j

( 'oa )

que le nombre des petits parallélipipàdes est plus grand ! on Terra plus bus une méthode plus rigoureuse.

Des solides de révolution.

C8. En représentant par « le rapport 3 , 1415936 du diamètre )i la circonférence , on sait que l’expression du volume d'un solide de révolution est

V=^fr'àx ,

expression dans laquelle x est l'abscisse et y l’ordonnée de la courbe qui engendre le solide , en lournatt autour de l’axe des x.

En faisant y*=g , on a

r=-,ftiLx ,

et l’on voit qoe la question se réduit ^ quarrer la courbe dont les

abscisses sont x , et les ordonnées x ou y*. Les formules du n.* 60

fr

s’appliquent donc ici en y mettant — pour 5 et y,* , y,’ , y,*...,

poor roi ri I

Ainsi , par exemple , si l'on a partagé en six l’intervalle a des ordonnées extrêmes y, , y^ , la formule (/"j) qu'il faudra employer , deviendra Rio

— .r=4 1 Cro*+rs*)+ 2 1 6 (yi*+r , *)+a7(r . *+r«*)+’7=r . ’ •

yo % y% t r» devront être calculées par l'équation y = X

de la courbe , si elle est donnée , ou mesurée sur le solide luimême , si l'équation n’est pas connue.

Des solides curvilignes quelconques.

69. Nous allons examiner maintenant le c.is le plus général , celui d'un solide dont la base quelconque est recouverte par une

( io3 )

•urfiat Bourba quBleafl<}iia dont on n on dont en n'a pai IM({ua)ton. On ult (}ue l’cxprcsslon du volumo d'un tolido ett

V—f/zixàY—f^^f^^y •

Imaginon» qu’ayant divisé en parties égales , en six , par exemple , l'axe des x compris entre les plans extrêmes qui renferment le solide proposé , on ait conduit par les points de division des plant parallèles aux précedens ou & celui des yz , ta surface de chacune

de ces sections sera exprimée par JzAy : nommons S„, 5, ,

ces surfaces , et 5 l’une quelconque d’entre elles ; l’expression cidc|fus du folide deviendra

V^/Sàx .

En considérant S comme l’ordonnée d’one courbe dont s est l’abscisse , l’aire de celte courbe représentera /Sàx , c’csl-à-diro , V ; on aura donc , pour le cas actuel de six divisions , la valeur de F, par la formule. du n.° 6o , qui deviendia , en appelant a l'intervalle des plans extrêmes

?^.r=4i(5.^-^»)+ai6(5.+5,)+a7(5.+^s)+a7=>S. • W

Pour faire usage de cette formule ,, Il faut, ptdalablamept trcuiTer

les valeurs de Sa, S Sf. Pour 41istinguer plus clairement

les quarante-neuf verticales z q^ue renferment les sept sections S, , concevons que ^ fig. i6 ) l'axa j^X des x ou a, et l’axe AT des y ou y, portent , à partir de l'origine A , lea numéros o ,