I . O G , que chaque ordonnée y, , y, y, , soit aussi

divisée en six parties égales , et qu’enfin on ait joint par une courbe les points de division des sept ordonnées y ; les 49^ corres. pondans aux quarante-neuf points d’intersections , pourront être distingués par la combinaison do deux acceos correspondant aux numéros des deux axes. Ainsi , les z élevés sur-^o seront ,

Vi > ) *-^1 . *-^4 » ï pour 's section Sq ; c’est-i-dire , pou»

le plan coordonné yt : de même les z seront marqués par 'Zg , ‘z, , 'z, , 'z^ , 'z^ , 'x, , 'Z( pour la section 5, , passant par y, . et ainsi de suite, en sorte que l'accent d'en haut indique la section , et celui d'en bas la courbe.

£n vertu de cette notation , 5, , S, seront données par

les sept formules suivantes qui sont la traduction de (Z'^) du n.° 6o.

— .5a=4i(®Zo+“x,)+2i6('*z,4'®i,î+27C”'*.+®'^4'+a7=‘‘^j ;

— .5s=4«C‘2'o+*^»)H-2i6(‘z,+‘z,)+27(‘z,+'zj4-a73‘z, ,

Si l'équation de Ta surface n’est pas connue , il faudra mesurer les quaraute-neuf verticales z sur le solide même.

Si l'équation de la surface est donnée en y faisant z = o , on aura y=X pour celle de son intersection avec le plan des zry , et celle-ci fera connaître y, , 7 ^, ....... : on aura ensuite les z de

la première section S, en mettant dans z=/(x , y) , o pour x,

«t O ~ , y, pour y , et ainsi de suite

pour les autres sections.

Si la base ou plan des :ry n’était pas rencontrée par la surface, mais était enveloppée par une surface cylindrique recouverte par la surface z=f(x,y), l’equation de la courbe intersection de la surface cylindrique avec le plan des xy serait connue , et de cette

forme y — X ; ce qui ferait connaître fa , y On calculerait

ensuite les z comme dans le cas précédent.

Le cas d'un parallélipipède recouvert par une surface courbe est pne variété du précédent.

( io5 )

70 . Exemple 1 . Imaginons une deml-sphirc dont le rayon est posde sur sa base que je prends pour plan des xy : concevons un quarrë inscrit' dans le cercle de cette base , et un parallélipipide ayant pour base ce quarré : on demande le volume du ce paralléllpipède recouvert par une portion de la surface sphérique.

L’équation de la surface sera

et il est évident qu’il suffira de chercher le volume de la portion du solide ayant pour base le quarré inscrit dans l’un des cadrans , laquelle portion sera le quart du solide total : il n'est pas moins évident que le côté du quarré partiel que nous considérons est i.

Pour abréger l’opération , Je ne supposerai que quatre intervalles dans le côté =1 du quarré ci-dessus, et la formule a employer sera

9or=7(5.-f5,H-3ac5.+5,)+i2^a ,

Pour avoir 5,; c’est-i-dirc , l'aire du plan des yz , Je faIsx=o dans z~^ a — *•— > qui devient ; je mets dans celle-ci

pour y successivement u > , r , ^ • > , et j’ai les cinq verticales

ou valeurs de z de la section S , , laquelle est donnée par l’équ’atioa

9O*^o=7(/â+0+32(iV''ji-|- ïVé'S^.+ta.jy/^ '

Pour avoir 5, , je mets j pour x dans r= ^ , qui devient V^ïT-^J » je substitue pour y successivement O, 7 , j, i r ce qui donne les cinq valeurs de z de la section 5, , laquelle est i son tour donné* par la formule suivante

go.5, = 7(iv/i»-4-ît/ »51+32(jy/3#-|- .

En tMttant ensuite f , j , i pour x dans ■ï,elo,;,i,i. i, pour y , oa aura de même les cinq valeurs de z pour les sections

St , S, , St , quî leront données par les équations suivantes :

go5, =7(f v/j+î /3J+32 (î V'"3 + : V^«9)+»2'T\/6 •

go5, = 7 ( i / »3+ i v/t)4-32' • \/ââ+ : /Î4 )+» 2 î j/Tg .

Il ne reste plus qiTi mettre , dans la formule qui donne les valeurs précédentes de 5, , 5, , 5, , 5, , 5^ , et l'on trouvera

La vraie valeur de V que l’on trouve facilement ( en remarquant que le solide total proposé vaut la dcmi-spbèxe moins quatre demisegmens sphériques ) , est

y=i,iZ’]o .

On ne sera pas étonné que l’approximation ne soit pas plus grande , si l’on fait attention que la formule employée {Ft) a pour base la division de l’cspaco à sommer en quatre parties seulement.

71 . Exemple 2 ., Nous prendrons , pour deuxième application , le cas d’un solide renfermé entre le plan des xy et mie surface courbe qui le rencontre : nous cliercbcrons le volume de ; de la sphère dont le rayon =1 : ce segment est compris entre les trois plans coordonnés qui passent par le centre de la sphère ayant pour équation

pour plus de brièveté , nous ne supposerons que cinq sections 7 Sg t S, , S , , 5 , , 1S4.

En mettant successivement , dans l'équation de la sphère , o , : 1 4 1 • I P°'“' « t ou a les cinq ordonnées y da

cercle qui est l'interjection de la surface arec le plan des xv ' savoir ; ^ J >

ro=i , r.=-:»/T5, r«=^/3, y,=iv/ 7 . r,=o .

Pour avoir les cinq verticales ^ , de la section 5, , je fais dans 1 équation de la surface qui devient

et j y mets, pour y saccessivement

Jo "kra

et j’ai

Pour avoir les cinq z de la section S , , je fais 1 dans

qui devient

et jy mets pour y successivement

et il vient », — 1

r» ■ ri ** >Tt

^o- j/T3 , *s.= ^ , ■-. = il/5 . 'r,= ;./7:73,

En opérant de même , on trouve que les cinq c de la seclioa ) sont

•c.rrJv/S. *.. = !, .

que les cinq s de J, sont

C io8 )

*/»= ; Ti yZ 7 .i 5 f — • \/ S-?] » *^| — n » *■^4 — O $

et que les cinq e de 5 ^ sont nuis.

Maintenant, il faut chercher les valeurs de 5e ; 5, ........5e ,

par les équations suivantes :

Yq