r= 7 ( 5 .+ 5 eH- 3 a( 5 .+ 5 ,)-+:i
on trouvera , apris les réductions
i35.I^=7-|-8(vZT5+vZÿ^-l-6yZ5 , y=o,Si5i l
La vraie valeur est
L’approximation trouvée est sans doute bien faible ; mais si , au lieu de vingt-cinq ordonnées z , on en avait employé 6* , 7* . 8* , on aurait approché de plus en plus de la vraie valeur : il ne s'agissait ici que d’indiquer brièvement la marelle du çalçult
On se eondoirait encore de la mémo minS&re dans le troisi&me cas ; c’est-à-dire, celui où le solide est renfermé entre les plans de sy , une surface cylindrique élevée sur ce plan , et une surface courbe rencontrée par le cylindre,
Z>e* aires des surfaces courbes.
73. L’aire d’une surface courbe s’obtient par la même formule d'intégration que le volume d’un solide : en e/Tet, soit
l’équation de cette surface , et
àur=pàx-\‘qAy *
sa différentielle ; l’aire que j'appelle A sera donnée par cette formnU J
ou, en posant par
’A—JAxfzAy ,
formule qui peut représenter le volume d’un solide , et que l’on traitera précisément comme "Oh a fait "dans le précédent articlt. ( Voyez le Traité du calcul intégral de Lacroix , in- 4 .* ^ (om« D* pag. 198. )
'Surfaces de révolulionl
73, Soit
it=F{x) ;
l’équation de la courbe génératrice d’une surface de réyolutios j et
^ sepix î
^ Iio ;
M différentielle : la surface ^ sera , comme on sait, exprimée par en posant
CD aura
■^=-2nfyàx ,
formule que l’on traitera précisément comme celle du So.
Recüjïcalhn des lignes à simple et à double coiubures.
' 74* Soit
l'cquation d’une courbe plane, et
du=^djr ,
M différentielle : la longueur r de I. courbe sera exprimée par
OU
ou , en posant par
j=/jrd«r,
fornrde qnî rentre darw le cas du n.* flo.
Dans le ces d’une courbe à double courbure , soient
u-F^x) , t=F'{x) , les projections de la courbe , et
d v=;>d^ , d/=ydx ,
leurs différentielles : la lor.gueur s d ur. arc fini sera exprimé par
=yj4^i/ 7II' . -7
ou , en posant ’ ^
( ni )
VT+FïT*=y >
par
s=fydx ;
formule qu'l rentre encore dans le cas du n* Go.
75. Observations. On voit , par co qui précèd e , qu'il n’est aucun cas de rectilical'ion , de quadrature et de cubature , auquel on ne puisse appliquer la méthode d'approximation fournie par les formules du n.° Co. Sans doute ces formules ne devront être employées que dans les cas où l’intégration ne peut avoir lieu , mais aussi , elles olTriront alors le moyen d’approximation le plus prompt et le plus exact, pour intégrer toutes les formules de ces deux formes
yydjr ; JàxfzàY ,
J’observerai encore que la méthode dont il s'agit revient , au fond, pour le cas d’un solide , à substituer à l’équation de la surface donnée
celle d’una surface du genre parabolique , de cette forme
Z = (a+bx-\-cx‘ )(a'+b'y+cy^ .)
= A-{-Bx+Cx* ■^B'y-^-C'y*.....-{-Kxy-\-Lx'y-\-]Uxy’+Nx‘y*..... ,
en déterminant les coclHciens A , B , C par la condition que
la surface parabolique passe par un nombre 2*, 3 *, 4* n* de
points de la surface proposée. Oti pourrait déterminer ces coelHcien» en employant des surfaces d’expérience , comme nous avons lait des courbes d’expérience dans le n.° Sq , mais ce procédé serait pe'nible s nous sommes arrivés bien plus simplement au même but , en partant des formules déjà trouvées dans le n.° 60.
Je remarquerai encore que la méthode d’approximation employée pour l'intégration yydz jy/zd^dy peut s'étendre sans difficulté aux formules d’intégrales triples , telles que
JffVàxàydz ;
mais ces détails sortiraient des bornes que je me suis présentes;
