CHAPITRE X
DO TOimSAO ÉLASTIQUE OU THÉORIE KOUVELLE ET PLUS RIGOUREUSE DU JAUGEAGE.
'Observations préliminaires.
Lit tonneau est non seulement une invention utile dans les arts; mais encore une machine digne de piquer la curiosité des géomètres par les problèmes intéressans qu'elle présente : aussi beaucoup de savans s’en sont-ils occupés. Aucun d'eux cependant ne me parait avoir deviné la vraie figure du tonneau.
On a considéré, tour-à-toiir , la courbe génératrice du tonneau comme une ligne droite, un arc de cercle, un arc d’ellipse , d'hyperbole et de parabole : on a proposé une foule de jauges qui reposent sur de fausses suppositions de la figure du tonneau ; quelques-uns de ces instrumens supposent même que tous les tonneaux sont des solides semblables, d’où résultent les erreurs les plus grossières.
M. Camus considéra une demi-douve comme formée d’un arc parabolique terminé par une ligne droite tangente A l'extrémité de cet arc. ( Encyclopédie méthodique , Jaugeage. )
Pour découvrir la vraie figure du tonneau , il ne fallait cependant qu’analiser ce qui se passe dans sa construction. L’ouvrier prépare des douves planes ayant la figure de deux trapèzes réunis par leurs grands cdtés parallèles ( fig. i8 ) : après les
avoir
( ii3 )
avoir ranges cylindriqucmcni , en les faisant loucher par les milieux , il oblige les extrémités divergentes à sc rapprocher pour s’adapter cpnlre les deux fonds : des cercles les assujettissent dans cette position , et le tonneau est formé.
On voit que dans celte opération , la douve doit prendre la mémo courbure que si , étant posée horizontalement sur deux appuis , son milieu était chargé d'un poids : ainsi , sa courbure serait celle d’une lame trapézoïdale élastique , sans les causes physiques qui modilient le problème.
Ces causes perturbatrices sont, i.‘ le défaut (Télastrcité parfaite ; a.® le décroissement de largeur dans la douve j 3.' le défaut d'homogënéïté du bols ; 4° l'élasticité variable des di/Térens bois ; 5.° l’iniluence de l'huinldilé et de la température ; 6.® l’épaisseur de fa douve qui diminue son élasticité ; y.° le frottement des douves latérales; 8.® la compression exercée par les cercles additionnels ; g.® le poids du liquide qui agit inégalement sur les divers points de chaque douve.
On sent bien que la géométrie la plus profonde ne saurait tenir un compte exact de toutes ces causes d’anomalies , et qu’il faudrait chercher la figure particulière de chaque tonneau par l’expérience, pour parvenir à le cuber exactement : cependant , la théorie des douves élastiques donnera toujours une approximation non seulement plus que suffisante pour la pratique , mais sur-tout plus grande que toutes les autres hypothèses gratuites que l'on a imaginée» jusqu’è ce jour.
,Te donnerai même le moyen d’avoir égard è répaisseur de I« douve , quand on aspirera à plus de précision. Enfin , je déduiras de ma théorie combinée avec mes expériences sur l’élasticité des bois , une formule pratique aussi simple , mais plus exacte que toutes celles connues.
Cet essai n’est que Fextrait d'un mémofre volumineux que le Ministre de l'Intérieur renvoya , en i8o6 , è M. Monge poun l'examiner , et que ce savant a déclaré avoir égaré. >
Courbe génératrice du tonneau.
76. Soient ( fig. 17) ABCO la section par l'axe d'un quart de tonneau , CO le dcmi-axc =l , CB le grand rayon —R , 04 le petit rayon ~r BD=^R — r=A , 4 B une demi-douve , AP=x et PM— Y les coordonnées d’un point M de la courbe.
D'après ce qui précède , il faut concevoir que la demi - douve AB , d'abord fixée en B perpendiculairement è BC , a pris la courbure AMB par l’effort d'une force appliquée en A vers 0 . Pour découvrir la nature de la courbe AMB , nous supposerons, avec Leibnitz, i.° que les rayons de courbure en diflérens pointa de la courbe sont en raison inverse des extensions des fibres élémentaires ; 3.° que les allongemens dus fibres au point M , sont en raison directe du bras de levier x de la puissance. De la Combinaison de ces deux principes , il résulte qu'en appelant O le rayon de courbure , et c* une constante , l’équation de la courba d’une lame élastique mince et rectangulaire est
dx étant constant , on tait que l'on a l’expression
Q (dx»-4.dy»)r
— djtdy *
et l’équation (1) devient
xàx—
dont l'Intégrale est
(dx’-fdr*}i ’
-"C’dy
a V^d*‘-f-dy*] *
, — dx(x» 4- »0 .
On dëtennlne la constante t' par la condition qu’au point £ on a — O et x—l ; ce qui donne 2c '= — l' , et change l'équation
dy d«
ci-dessus en celle ci
Après la seconde intégration , on détermine la nouTelIe constante g'' et la première c , par la double condition que pour le point A , 6n ait x = o , y=o , et pour le point B , x=l , y=h.
77. Lorsque le tonneau a peu de courbure , c'est-è-dire , quand
~ , est fort petit , on peut avoir une intégrale algébrique fort
simple de l'équation (a) ; car , dans' ce cas , c* , est fort grand , et en négligeant (/* — x^y , elle devient
dont l'intégrale est
3e*dy=dx[l'—x') ,
è laquelle il n’y a pas de nouvelle constante è ajouter , parce qu'elle donne xs=o quand y=o. En déterminante’, par la condition qu’on ait x—l , quand y— h, on a
fi
Ht
St ensuits
On serait parvenu au même résultat , en négligeant d^* dans la valeur de 0.
Celle cqualion ( 3 ) , qui est asses simple , peut être regardée comme une approximation commode et sufTisanlc de la courbe génératrice du tonneau.
Bemarque. Si ( fig. 17 ) la force comprimente était dirigc’e de A vers Z), son bras de levier ne serait plus .r sur le point Jl/ , mais 7* ; l'équation de la courbe serait Qy — c' dont l’intégrale est
dx=
On voit qu’en changeant y en ar , la dernière équation est dt même nature que (2) ; mais les constantes sont dilTcrcntcs : l'équation (4) est celle d'un arc dont les deux extrémités sont tendues par une cordc : c’est encore celle d'un linge chargé d'un fluide pesant. \y AUmhert ( Encyclopédie , au mot Elastique ) , parait avoir confondu les deux cas des équations (2) et (4)*
Dans le cas où la lame a peu d’inflexion , c devient très-grand et l'équation (4) le réduit à
dar=:
«•ér .
Intégrant , puis déterminant c par la condition qu’on ait y=h , , quand , on a
y=A.Sin.(i,5768ar)sr^.Sin.(90®.3:) .
M. Poisson ( Mécanique , tom. i , pag. 222 ) qui a examiné ce dernier cas , met en doute si la courbe oscille de part et d’autre de l’axe des x : je pense que non , et que cela n’a lieu ici que pour avoir supposé c très-grand , ou négligé dy' dans 0.
78. Après avoir déterminé la courbure d’une douve rectangulaire , ce qui nous a donné une première approximation de la courbe géné-
ratrice du tonneau , il faut chercher plus rigoureusement celte courbe , en ayant dgard au décroissement de largeur de la douve.
Imaginons le tonneau coupé par des plans passant par l’axe , qui traceront des méridiens sur la surface. La flèche comprise entre deux méridiens très-voisins formera une douve. Les extensions des fibres qui , dans la lame rectangulaire , étaient simplement en raison directe du bras de levier jr , sont de plus , en raison inverse , des points résislans ou de la largeur de la douve , quand cette largeur est variable. Il suit de là que le rayon de courbure qui est en raison inverse des bras de levier , est aussi en raison directe de la largeur de la douve : or , cette largeur est proporlipnnellc au rayon ÇA/ ou (r-j-jr) de la section perpendiculaire à l’axe du tonneau ( fig. 17): il s’ensuit que l'équation cherchée de la courbe est
Telle est l’équation di/Térentielle de la courbe génératrice du tonneau : quoique simple , en apparence , je n’ai pu parvenir à l’intégrer : MM. Lacroix , Ampère et Petit qui , à ma prière , s’en sont occupés , n’y ont pas réussi : je l’ai fait proposer dans les Annales de mathématiques 3 , pag. 104) : il n’a pas paru
de solution.
Voie! du moins un moyen d'intégrer l'équation ( 5 ) par approxi» malion. Soit' l’équâiton' 'Bë Ta courbe chercHéo : l’équa^
tlon (S) deviendra
— e=iî.r*dy xàx
dont l’intégrale est
xJx
\/ d*'+«h"J J r+FW
•r , on connait déjà une valeur approchée P(x), savoir;
trouvée n.“ 77 : on pourra donc inti*grer le second membre de ( 6 ) et procéder à la seconde intégration , attendu que les Tariables seront séparée.
Par ce procédé , on ne fait que substituer à la loi rigoureiuo du décroissement de largeur des douves, une autre loi fort approchante donnée par une douve Cclive très* peu diiTérente de la véritable.
On peut aussi prendre , pour y=F'x) , un arc de section conique passant par les extrémités yi et B de la derni-douve , et par son milieu dont les coordonnées sont toujours, i très- peu près,
L'byperbole sur-tout coïncidera sensiblement avec la vraie courbe ; cette hyperbole , dont B est le sommet et BC Taxe, a pour équation
t/ a,Ws;+i,oôx* J ;
cette valeur de y étant mise dans (6) pour Fx) , l'intégration sera plus facile que par la première valeur de t^x).
Euiin , il serait possible de trouver pour y une fonction de x , qui , en coïncidant sensiblement avec la courbe è trouver , procurât deux intégrales algébriques successives -, mais il est diflicilc d'éviter les points singuliers de cette courbe fictive dans l'étendue de AB.
Remarijue. 11 est un cas qui mérite d'étre examiné , c’est celui où l’on se proposerait do faire un tonneau sans fonds avec des douves décroissantes , semblables aux flèches d'un globe , ou aux cotes d’un melon , lesquelles seraient liées entre elles par un ûl tendu d'un pôle â l’autre.
D»n« ce Cl* o& lei y (ont lo bras de levier , Nqiulion de U courbe, d'après ce qui précède , est 0y;=c’(r47y)ou , à cause de r = o 0 = f* , c'esl-è-dire que le rayon de courbure est constant, et que par conséquent la courbe est un arc de cercle. Ainsi , pour que le tonneau devienne une sphère, il suffît que l=R — h : ce tonneau, s’il était construit avec des flèches d’acier , offrirait l’effet curieux d'un ballon mctalliquo élastique , sans vides entre les joints des duuves.
En intégrant 0 =rc* , on trouve , pour l'cqualion de l'arc de cercle générateur ,
a/x+ -^jrsro } ,
le tonneau a, en général, la forme d'un 'anneau engendré par'Uii segment de cercle tournant autour de sa corde. Si /=o l’anneau est engendré par un cercle entier dont R est le diamètre , tournant autour de sa tangente en C ; mais, si I=zR , l'équation precedente #e réduit à y' — ils—x', et fait voir que le tonneau ‘est alors une sphère dont le rayon est i=^R,
De lajîgure du merraîn ou de la douve encore plane.
79. Nous avons yu qu’en donnant aux douves encore planes la forme trepSen'idnle, U — « t ei t ms jttJ» j eiats 1 a» vlje dis-
parait par la forte compression qui resserre les extrémités et le milieu des douves. Si on donnait au merrain la figure curviligne assignée par la théorie , le contact serait égal et plus intime , dans toute la longueur des joints : le suibtement du liquide n’aiicait plus lieu quand le tonneau est see ; il en résulterait un grand perfectionnement pour l'art du tonnelier : voyons donc quelle doit être la figure du merrain AM'B ( fig. 18).
Nous avons vu ( n.* 78 ) que la largeur de la douve doit étro proportiennalln au rayon (r-f-y) de la (001101» qtle l'dn considère ;
c’esl-^-dire j qu'on doit sToir PM' : BR ! : r+y : R : d'ailleurs , IcS lignes TP et TR ne sont autre chose que les dércloppemens des arcs AM et AB de la figure 17 : en appelant donc PT=s , PJU'=s, BB=A , on aura
Bz=A(r+j ) ; (7)
on a d’ailleurs
lors donc qu’on aura mis dans (7) pour y sa valeur en fonction de s déduite simplement de l'équation ( 3 ) ou de l’hyperbole du n.* 78 , on aura la relation entre r et z ; c’est-à-dire , la courbe AM'B.
J’ai calculé 'la table ci -après qui fait connaître la largeur
de la douve ou le rapport — , pour tous les rapports — , des tonneaux
usités , et pour dix points équidislans de la demi-douve.
