Soit, par exemple
rs= 42 Ô , ^=545 ;
je divise 4^5000 par 545 ; le quotient est 780 que je cherche dans la première colonne à gauche : les nombres 780 ; 8ao ; 848 ...... 1000
de la bande horixontale expriment les largeurs M'M' de la douve
correspondante à s — o, s~i , s— s. ..s=io, la plus grande
largueur B B étant supposée 1000.
Si le quotient ne se trouve pas dans la colonne ^ , on prendra
des nombres proportionnels entre ceux des deux bandes entre lesquelles tombe le quotient trouve.
Il faut remarquer que les faces dés joints doivent être inclinées et dirigées vers l’axe du tonneau : cette inclinaison est variable et ae construit en faisant pour chacun des dix points M' , un triangle ûocèle dont les deux cdtés égaux sont r-hy , et l’autre est M'ii*-
Tabh
Talle Jei largeurs de la demi -douve divisée en dix paYties dans sa longueur.
8ao
go 3
gi 5
rooo
D’après ce qui précédé , rien ne sera plus aisé que de donner 1 un ourrier le modèle d'une douve parfaite pour un tonneau proposé.
Il est encore deux remarques utiles an perfectionnement du tonneau; i.° il est avantageux d’augmenter le nombre des douves : le tonneau qui ne peut ^tr^ qii'i in p nl yèdrt l j n« « e i t , »«ï ^^d n lUia n T avec la surface de révolution: le nombre des joints étant plus grand, hi quantité dont chacun d’eux doit être resserré , est plus petite , le contact devient plus intime et le suintement plus difllcilc ; s.° la
courbure — no devrait pas excéder ^ pour les mêmes motifs, et de plus J les cercles auraient moins de tendance è s’échapper.
Volume ou capacité' du tonneau.
8i. En conservant les dénominations précédentes et posant de plus
( laa )
; 3,t4i6ss« ;
af'se volume du tonneau , on aura
F =■*/ y'As—ny^*x — ivfxy'ày' . ( 8 )
Quand le tonneau a peu de courbure , on peut prendre , pour équation de l'arc AM i celle d'une lame élastique rectangulaire. Mettant donc dans (8) pour Ay'—Ay sa valeur donnée par l'équation (3), le terme i^y^dy' s'intégre par parties, et remettant de nouveau pour ày^ sa valeur , on trouvera aisément :
V = ■my>'x—*y'y/ [ 4 £*— (/•— j ■nx^-\-c" .
En déterminant c" , par la condition que V=-o , quand ;r=o et y'=r , et faisant ensuite x=l , y'z^R, on a
— =/B*— i /’+ev/4r*— <»J •
Cette formule est d’une application di/Ecile , parce que la détermination de r* exige l’intégration préalable de l'équation ( 2 }.
8a. On a une détermination plus exacte de V , en substituant dans (8) pour dy^=d/ sa valeur donnée par l’équation (6) ; mais les intégrations sont pénibles. J’ai pris la peine de calculer , dans cette hypothèse , la table ci-après dont l’usage est simple.
Soient D= 2 R , , H—xh , L — xl ,
Je représente la formule de capacité du tonneau entier , par
‘ r=L{nD'^n>Dd-\-n"d') , ( 9 )
n , n' , n" étant trois nombres dont la somme vaut — , et qui sont
donnés par la table pour chaque tonneau proposé en cette manière.
Jî
La première colonne de gauche est la valeur de — ; les nombres
qui sont en tête des autres colonnes sont la valeur de ~ ; chaque case contient les trois nombres n , n' , n" , correspondans aux deux
rapports -r- et . Ces trois nombres sont des dix millièmes et
sont censés précédés par o.
mm
[fItPj
83. L’objet que l'on a en vue en formant des hypothèses sur la courbe j^ënéralrlce du tonneau , c’est de pouvoir delerctiiner V en ne mesurant que les deux, diamètres Z), et Z. Quoique I hypothèse des douves élastiques soit, sans contredit, plus ri^joun use qu’aucune autre, nous avons vu combien de causes physiques peuvent en altérer la loi. Lors donc qu’on aspirera è uni^ grande picrislon, il faudra recourir À une formule indépendante de toute hypothèse, et fondée uniquement sur la funne particulière de chaque tonneau. La méthode exposée ( Chap. IX , n.° GH ) fournit cette forinnle.
On mesurera un certain nombre de circonférences f. , f , , f, , .... correspondantes aux divisions égales de / , et en appelant C l'épai;>seuc des douves , les ordonnées ou rayons des sections circulaires seront
yo = r=
On peut aussi , pour avoir y, , y, , y, mesurer les dis-
tances de la courbe è une ligne parallèle à l'axe , et passant par le bondon.
Ay ant substitué les valeurs de y, , y, , y, dans l’une des
formules do l'arlicic cité , on aura ^ avec le degré d'cxaclituda désiré, mieux et plus promptement que par aucun autre moyen.
Volume (T un segment du tonneau ou vidange.
84. l’our compléter la théorie du jaugeage, il reste h Iroiivci le volume du segment Orrupé par le liquide , quand le tonneau d'csI pas plein, c'c-vt-è-dire , la vidange : ce problènio serait dînieilc dans rhypolhèse do la douve élastique dcrruissanlc ; njals , il s’agit bien moins d’avo r rigoureusement le volume dg segment <|»e son rapport à relui du tonneau, qui est dcj.’i connu : ainsi , en prenant pour rourle çrnératrire , une courbe simple rotnme la parabole , l’erreur qui eu résulte pour le segment est , en g.aude parité, ouu.^.ci.sce
ptr cflla qui affecte la tonneau entier ; en aorte que le rapport dea deux volumea n'est pas acusiblcment altéré. ’
J'ai donc pris, pour courbe génératrice — x^danslaquclle
s^^CQ, y'—QM, et j’ai calculé la table suivante qui me parait fburniq le moyen le plus simple pour déterminer la vidange.
Soit K la distance verticale du niveau du liquide au plan horixonlal passant par l’axe supposé horizontal du tonneau ; la première
ïi^K.
colonne i gauche exprime les rapports — : les nombres en tète des
colonnes sont les valeurs de — : enfin , les nombres qui sont dans les
cases donnent, en mlllièines , le rapport du plus petit des deux segmens au tonneau entier. Ce segment est occupé par le liquide , SI le niveau est en dessous de l’axe -, il est , $u contraire , vide quand 1 e liquide est eu dessus.
