DISCUSSION
Nous supposons d'abord que nous avons afifaire à de la lumière homogène. Soit P P' (flg. 7) la section principale du polariseur, EE' la direction de l'un des deux axes de l'ellipse de section de la lame mince, A A' la section principale de l'analyseur.
Appelons cp l'angle des deux sections principales de l'analyseur et du polariseur, et w l'angle de l'un des axes de la lame mince avec la section principale du polariseur.
Soit OP l'amplitude du mouvement vibratoire du rayon extraordinaire, fourni par le polariseur. Ce rayon, en traversant la lame mince, s'y décompose, suivant la loi du parallélogramme des forces, en deux rayons polarisés dans des plans perpendiculaires et dont les amplitudes de mouvement vibratoire sont représentées respectivement par :
10 = OP coso), 10 = OP sino).
Le premier de ces deux rayons donne dans l'analyseur un rayon extraordinaire dont l'ampli- Fig' 7. tude, en faisant OP = 1, est représentée par
0 A = COS (0 COS (o) — cp).
Le second fournit également un rayon extraordinaire ayant pour amplitude
0 A' = sin (1) sin (co — 9).
Or ces deux rayons proviennent de deux autres rayons qui ont traversé la lame mince avec des vitesses différentes ; ils présentent donc entre eux une certaine différence de phase, que le passage à travers l'analyseur n'a aucunement modifiée. Appelons T la durée d'une oscillation d'une molécule d'éther dans le mouvement considéré, t le temps
écoulé depuis Torigme du mouvement, compté à partir du centre d'équilibre; le déplacement d'une molécule d'éther sera donné par la formule générale
a; = cos 2 TU - ,
laquelle n'est autre que celle du mouvement du pendule.
Appelons V la vitesse de propagation dans l'air des deux rayons émanés de la lame mince, o l'espace que le premier aurait parcouru dans l'air durant le temps qu'il a employé pour traverser la lame mince, e l'espace que le second aurait parcouru dans l'air pendant le même temps.
A la sortie de la lame mince, le mouvement d'une molécule d'éther, sur le trajet du premier rayon, sera le même que celui d'une molécule d'éther avant l'entrée, considéré
à l'époque t — - •
De même à la sortie de la lame mince, le mouvement d'une molécule d'éther, sur le trajet du second rayon, sera identique à celui d'une molécule d'éther avant l'entrée
dans cette lame, à l'époque t —-■
Le déplacement de la molécule lumineuse est donc représenté pour le premier rayon par la formule
î/ = C0Sa)C0S(a>~-cp)C0S2 7t (^— ^)»
et pour le second par
z = sinco sin (o)— cp) cos 2 TT ( - — ^-J.
Mais vT est égal à la longueur d'onde X du rayon homogène considéré; il vient donc :
y = cos (0 cos (ft) — 9) cos 2 TU f - — ^ j ,
2 = sin 0) sin (to — ?) cos 2 ir ( - — I j . Le déplacement total est la somme de ces deux valeurs.
Faisons 2tz -= a,
2xl = v.
La somme y + z devient :
y + z = cos b> cos (cD— 9) cos (a — p) + sin o> sin ((0 — 9) cos (a — y)-
50 MINÉRALOGIE MIGROGRAPHIQUE.
D'où
cos (0 cos ((0 — cp) [cos a cos p + sin a sin p] + sin w sin (w — cp) [cos a cos y + sin a sin y]. ^ cos a [cos (0 COS (w — cp) COS p + sin w sin (w — cp) cos y] ^ + sin a [cos (1) cos (w — cp) sin j3 + sin w sin (w — 9) sin y].
Il s'agit de ramener cette équation à la formule
K sin { a + u) = K (sin a cos u + cos a sin 0).
Dans ce but, identifions les deux formules; il vient :
K cos ^ = cos co cos (w — 9) sin p + sin w sin (w — 9) sin y, K sin u = cos co cos (w — 9) cos j3 -4- sin w sin (co — 9) cos y.
Élevons au carré et ajoutons, nous aurons : K' =
cos* 0) cos* ((0 — 9) -j- sin* w sin* (w — 9) + 2 sin (0 cos to sin (01 — 9) cos (w — 9) [sin p sin y + cos p cos y] = cos* 0) cos* (w— 9) + sin* w sin^ (w — 9) + 2 sin w cos w sin (w — 9) cos (w— 9) cos (p— y).
Mais cos (p — y) = 1 — 2 sin* l^-^) •
Substituant, il vient
K* = cos(ocos(co— 9) + sinwsin(a)— 9) — sin 2 w sin 2 ((0 — 9) sin* ('-—^j,
K* = cos* 9 — sin 2 0) sin 2 (w -— 9) sin* 7: ( — —\ .
Or K*, carré du coefficient de la vitesse du mouvement vibratoire, représente précisément l'intensité du rayon qui émerge de l'analyseur. Telle est donc la formule qu'il s'agit de discuter.
Démontrons d'abord qu'en employant un faisceau de rayons parallèles de lumière blanche, on aura en général de la lumière colorée à la sortie de l'analyseur.
Soient B, J, R... les proportions diverses dans lesquelles les rayons bleus, jaunes,
rouges entrent dans la lumière blanche ; les intensités K , K , K , des divers rayons
à la sortie de la lame mince seront données par des formules telles que celles-ci :
K3 = B cos* 9 — B sin 2 (0 sin 2 (o) — 9) sin* tt — - — ,
Kj = J cos* 9 — J sin 2 (0 sin 2 ((0 — 9) sin* -k — r — ,
I^ = R cos2 cp — R sin 2 0) sin 2 (o) — cp) sin^ tt A; — -... etc.
L'intensité du rayon total émergent sera représentée par la somme de toutes ces valeurs : (B-j- J + R + .-Ocos^cp + une somme de termes dans lesquels les facteurs B, J, R... multiplient des quantités différentes. Le terme (B + J + R+...) cos^ç représente de la lumière blanche; mais il n'en est pas de même de la somme des autres termes, puisque les rayons des diverses couleurs y figurent dans d'autres proportions que dans la lumière blanche. Donc, en général, la lumière émergente sera teintée. La
nuance dépendra de la quantité — r— , qui varie avec l'épaisseur de la lame mince,
l'orientation de sa section, la nature de la substance qui la compose, et enfin la couleur de la lumière.
La teinte deviendra nulle, quand un des deux facteurs sin 2 w et sin 2 (w — 9), communs à tous les termes qui représentent la partie colorée du faisceau, sera nul. Le premier facteur est nul quand w = 0" ou 90^ c'est-à-dire quand la direction de l'un des axes de l'ellipse de section de la lame mince est la même que celle de la section principale du polariseur.
Le second terme s'annule pour w — cp = 0° ou 90", c'est-à-dire quand la direction de l'un des axes d'élasticité de la lame mince est la même que celle de la section principale de l'analyseur.
Donc, si les sections principales de l'analyseur et du polariseur ne sont ni parallèles ni perpendiculaires entre elles, il y aura huit positions dans lesquelles le faisceau émergent sera formé de lumière blanche.
Si l'angle 9 des sections principales des deux niçois est différent de 90", et si on le maintient constant, tandis qu'on fait varier w et w — 9, en faisant tourner la lame mince, la couleur observée ne varie pas ; l'intensité seule est modifiée ; en effet, les facteurs sin 2 (0 et sin 2 (w — 9), communs à tous les termes d'où dépend la coloration du faisceau émergent, sont les seuls qui varient dans ce cas, et, par conséquent, cette variation n'entraîne aucun changement dans les rapports mutuels des rayons des diverses couleurs.
Si l'on a simultanément 9 = 90" et w = 0" ou 90", les termes représentant la partie colorée du faisceau s'annulent en même temps que les termes représentant la lumière blanche, et alors il y a obscurité totale. Pour un tour complet de la préparation, le fait se reproduira quatre fois, lorsque w passera par les valeurs 0", 90", 180" et 270". Il est à remarquer que, dans le cas que nous venons de supposer, w — 9 sera aussi égal à l'une des valeurs 0", 90", 180" et 270". Les huit positions signalées, dans lesquelles il y a absence de coloration, se réduisent donc à quatre cas d'extinction totale du faisceau lumineux.
Lorsque 9 n'est pas égal à 90», si l'on augmente de 90» la valeur de cet angle, la formule devient :
K'î = sin' 9 + sin 2 0) sin 2 (w — 9) sin* tt \-y~)'
La teinte de l'image est donc complémentaire; car la somme K^ + K'* représente de la lumière blanche. Ainsi, en laissant la lame mince et l'un des niçois immobiles, et en faisant effectuer une rotation de 90° à l'autre nicol, l'image observée se colore de teintes complémentaires.
Il ne se produit pas de coloration, si l'épaisseur de la lame mince est très faible ;
en effet, (-Y-) devient alors assez petit pour que le facteur sin*it (— r— j s'annule
sensiblement, et les termes qui représentent la partie colorée du faisceau n'ont plus aucune influence sur l'image.
Il ne se produit pas non plus de coloration, quand l'épaisseur de la lame est trop grande ; car les divers rayons (en nombre infini) que l'on peut attribuer à chaque couleur, n'ayant pas rigoureusement le même indice de réfraction, présentent toutes les valeurs possibles dans leurs différences de phase, et alors la somme des facteurs
sin^TT (— r— ) est sensiblement la même pour chacun des faisceaux des diverses couleurs. Les choses se passent donc comme si les facteurs B, J, R... étaient multipliés par un facteur constant, et dès lors la somme de tous ces termes représente de la lumière blanche.
Il en résulte que chaque substance ne se présente colorée de teintes vives qu'entre deux limites déterminées d'épaisseur. L'épaisseur, qui correspond au maximun de vivacité des teintes, varie donc suivant l'espèce minérale considérée.
Pour l'épaisseur habituelle aux plaques minces, les minéraux qui se colorent de teintes vives sont ceux dans lesquels (0 — e) est considérable , eu égard à la valeur moyenne de cette quantité dans la série minérale. Ces mêmes substances donneraient, au contraire, en plaques épaisses des teintes pâles, alors que les minéraux faiblement teintés en plaques minces commencent à se colorer vivement.
