PROBLEME GENERAL
RELATIF AUX EXTINCTIONS d'uNE ZONE
Nous allons démontrer les différentes propositions énumérées plus haut.
§ 1. On sait que, dans le cas le plus général, l'extinction d'une substance douée de
deux axes optiques, coupée suivant une section quelconque, se fait parallèlement à la
trace sur le plan de section des plans bissecteurs de l'angle dièdre,
ayant pour arête la normale à la section et dont les côtés passent
par chacun des axes optiques.
Considérons la sphère ayant un rayon égal à l'unité; appelons A, B et Z les traces des deux axes optiques et de l'arête de zone sur celte sphère. On peut toujours choisir ces traces de telle façon
que l'angle 2V des axes optiques soit plus petit que -, et que la
somme (Jes angles a et p, faits par l'arête de zone Z avec A et B, soit plus petite que t: {fig. 12).
Supposons que l'arête de zone soit perpendiculaire au plan du tableau et représentons {fig. 13) la sphère en projection orthogonale ; les traces M des différentes normales aux plans de la zone décriront la circonférence dontZ est le pôle; prolongeons les arcs de grands cercles ZA, ZB jusqu'à cette circonférence, et t)renons comme donnée auxiliaire l'angle 2y = AZB; dans le triangle sphérique AZB, dont les
Fig. 13.
trois côtés (a, p, 2V) sont connus, si l'on pose p =
on a
tg = Y
sin(p — a)sin(p — (3)^ =^^ sinpsin(p — 2V) ' 2"
Appelons x l'angle du plan mobile de la zone avec le plan bissecteur Z P de l'angle 2y, et y l'angle cherché d'extinction, c'est-à-dire l'arc de grand cercle Zy, le plan My étant le bissecteur de l'angle AM B.
Avec les données de la fig. 13, on a :
aZ + 6Z
Or aZ = ZMa=^— AMa',
et dans le triangle sphérique rectangle kMa,
tgAMa - *^^^' ^2!iJ^.
d*oû l'on déduit tg aZ = tg a cos (a; + y),
et de même tg6Z = tgpcos(a; — y).
Comme 2î/ = aZ + 6Z, on en déduit, d'après des formules connues,
1 — tgatg^cos(a; + y)cos(.-g— y) ^' coigjy- tg^cos(a; + y) + tg^cos(a;-y) ~ ^'
(2) tgy = — R±V^R^ + 1. .
Cette dernière équation donne pour y deux séries de valeurs à angle droit l'une de l'autre.
§ 2. Il s'agit maintenant de discuter la courbe en x, y, et notamment de voir si y passe par des maxima et des minima. Remarquons d'abord qu'en posant y = arc tg z,
dy dz 1 dx~ dx 1 + z^'
Donc, entre les valeurs de x pour lesquelles z passe par l'infini, par exemple entre — -et + -. les maxima et les minima de tgy correspondront à ceux de y.
Jà Jk
Prenons dans l'équation (2) la dérivée de tg y = z ;
rfz__dR A + R
dx dx \^ y/ii2 + 1
Le second facteur étant nécessairement positif, — sera nul en même temps
que — et — . et plus généralement sera de signe contraire. dx dx
En développant les sinus et les cosinus dans l'équation (1), on obtient:
(1 + sin^ytgatgiB) — cos2a;(tgatg[B) A + Bcos^a?
cos X [cos Y (tg a + tg p)] + sin a? [sin y (tg a — tg p)] G cos a; + D sin x Prenons la dérivée par rapport à a; :
rfR BCsin^a;— BDcosa;sin^r -4- (AC — BC)sina;— (AD + BD)cosa;
dx (G cos a? + D sin xf
Mettons cos x en facteur et remplaçons sin^a; par . ,°|„2a;' "^^^ obtiendrons :
(,) { 'd!==(l + tg^.)(GT.4-D^n^-^'"^g^"-^^^" + ^^^-""
+ C(A-B)tga;— D(A + B)1.
§ 3. Discussion de V équation (4); facteur:
cosa? / 1
1 + tg^ \G cos a; + D
tg^a; \Gcosa; + Dsina:
La recherche des maxima et minima s'opérant seulement entre les valeurs de a; pour lesquelles tg y ne passe pas par l'infini, (G cos a? + D sin x) est différent de 0, et l'équation
G cos a; + Dsina; = 0, d'où tga; =
1 tgg + tgp
igytgp — tga'
donnera précisément les valeurs de a; pour lesquelles y est égal à 0" et à ±n-.
cos X TT
Le facteur - — — - s'annule pour a; = ±(2n+ 1)-; mais comme le polynôme en tg x
1 + tg a; À
rfB devient en même temps infini, — est indéterminé; en mettant en évidence le facteur
tg'aî et faisant tg a; = oo , cos a; = 0 et sin a? = ± 1 , on trouve :
rfR AG ^,„ ,,7:
(5) ^=-D^ PO'^^ x = ±(2n + l)2-
Remarquons que cette formule permet de préciser facilement, dans certains cas, le signe de — "t" et par suite de-r-» et de savoir si la courbe en y croît ou décroît, pour
a;= 2*Eû effet:
A = 1 + sin*ytgatgp,
G-COSy(tga + tgp), D = siny(tga — tgp).
Comme on sait (§ 1) que a + !3<Tr, si a et p sont plus petits que-» A est positif ainsi que C ; D^ est également positif et la courbe décroît.
La discussion serait moins simple dans le cas où l'on aurait S>g>a, ou encore
§ h. Polynôme en tg x. — Les valeurs de x données par le polynôme en tga;, égalé à 0, déterminent les points où la tangente à la courbe en y est horizontale et où y passe par des maxima ou des minima :
(6> ACtg^o?— D(2B + A)lg2a; + C(A — B)tgx— D(A+B) = 0.
Dans le cas le plus général, cette équation donne trois racines en x; elle se simplifie notablement quand G ou D deviennent nuls.
§ 5. Supposons d'abord D = sin Y (tga — tgp) = 0 et tg a =tgp, a = p,C<0. i. d = o.
L'arête de zone est comprise dans un plan perpendiculaire au plan des axes optiques, et l»tga=tgp. passant par la bissectrice aiguè et par l'axe d'élasticité moyenne. L'équation (6) se réduit à
(7) Atg='a;+ (A— B)tga; = 0.
Cette nouvelle équation admet une première solution tga; = 0 ; la courbe en y a donc sa tangente horizontale en a; = 0, a; = utt.
Les autres solutions sont données par l'équation
Or, pour tga = tgp:
A = 1 + sin*Ytg2a>0,
B = — tg2a<0.
Donc les valeurs déduites de l'équation (7) sont imaginaires, et il n'y a pas d'autres maxima et minima pour y que ceux qui correspondent à tg a; = 0. § 6. Tracé de la courbe en x, y. Pour a? = 0 :
^ - A + B 1 — tg^aCOS^Y
cotg 2y = — -— = ——5 -i;
" ^ G 2tgacosY
d'où (8) tgyo = tgaCOSY.
Pour déterminer si cette valeur est un maximum, cherchons le signe de la dérivée seconde :
^ dx~ ' dx"- "~ dx"- \ i/^ (. j^i
„ A 1 B rfR A sina? B .
d^R A /cos'a; + 2cosa;sin2a;\ B
(y) 3-; = ;; 1 — -cosa;.
dx^ Qt\ cos^a; / G
Pour a; = 0, — se réduit donc à — - — ; A — B est toujours positif, a étant nécessairement plus petit que - ; G est également positif; j/gCst donc un maximum et la courbe va en décroissant à partir de a;= 0. Pour a; = -. y = 0.
§ 7. L'équation
A + B cos^o;
(10) cotg2y
G cosa;
montre que y prend des valeurs égales pour a; et — a;; il y a donc symétrie par rapport aux axes a; = 0 et en général x = m:. On voit aussi que y prend des valeurs égales, mais
de signe contraire pour a; et tt — a;; le point a; = -> 1/ = 0, et les similaires jouent donc
ici le rôle de centres.
§ 8. Ges différentes remarques ne suffiraient pas pour donner une idée nette des courbes ena;y. Prenons en effet le cas limite, où l'axe de moyenne élasticité coïnciderait
avec l'arête de zone, pour a = p = -• Il est clair que y reste égal à 0 ou à - pour toutes
les valeurs de x; mais il existera deux sections appartenant à cette zone, et perpendiculaires aux axes optiques, pour lesquelles y sera indéterminé.
L'équation (S) convenablement interprétée donne d'ailleurs cette solution; en effet, dans l'espèce :
i , n 9 ^ f- tgafsin^V— cos^a;)
A + Bcos^a; tffa ° ^ '
Gcosa; 2cosVcosa;
sin V (11) Gar pour D = 0, siny = -: — . et ici sinY = sinV, y=V.
* sma '
On voit que, pour une valeur quelconque de a;, tg a étant égale à l'infini, R est égale-
ment infini, et y égal à 0 ou à '-• Mais, si l'on prend pour x la valeur particulière :
cos'a7 = sin2V ou a7 = -±V, R devient indéterminé ainsi que y.
§ 9. Ce fait donne à penser que, dans le cas plus général où a est plus petit que -» les
droites a? = -±V doivent jouer un rôle spécial dans le tracé de la courbe en xy. Ne
considéron de y pour :
considérons que les valeurs de x comprises entre 0 et-, et cherchons les diverses valeurs
cos*a; = sin*Y ... ou a; = - — y»
alors R = - ^— - ou tg2w =tgasin2Y.
tgaSin2Y o if^ a i
Nous avons vu plus haut que sinY = —. — ; lorsque a varie de V àr» seules valeurs
possibles dans l'espèce, y oscille entre - et V, les deux valeurs extrêmes de tg 2yy seront donc :
Pour a = V, Y = ^- a; = 0 tg22/==0, y=0;
Pour a = ^, Y = V, a;=|-V... tg22/ = oo, î/ = ^.
Cherchons maintenant si, lorsque a croit entre V et ^, y croît régulièrement
entre 0 et -, sans passer par des maxima ou des minima.
sin V Des équations tg2v = tgasin 2 y et sIuy = - — , on déduit : Y ' ' sina
x g„ 2sinV ./-r^ :-— , , . „ V^sm^a — sin'-V
tg2w = Vsin^a — sin2V = ZisinV ^-z
' sinacosa ^ sin2a
Prenons la dérivée par rapport à a :
sin' 2 a
rf(tg2y) „2v/sin2a — sin^V
= ùsmV
— 2 cos 2 a V^sin' a — sin* V
da sin2 2a
Dans ces diverses équations, le radical introduit pour remplacer cos y. qui est toujours positif, doit être pris avec le signe + ; sin^a est toujours plus grand que sin*V, et
70 MINÉRALOGIE MIGROGRAPHIQUE.
rf(tg2v) par conséquent — - — - sera de même signe que le polynôme en a obtenu en chassant
du dénominateur le radical :
^ sin^ 2a — 2cos 2a ^^ "^^^^"^ — sin^ V^ =| [cos22a — 2(1 — 2sin2V)cos2a + 1].
En égalant à 0 ce polynôme, on voit qu'il a ses racines imaginaires, car (1 — 2sin«V) est plus petit que l'unité, V étant plus petit que -; donc le polynôme en a est positif et tg2i/ croît lorsque a croît.
Ainsi y passe de 0 à j, tandis que x croît de 0 à ^— V.
§ 10. On Yoit qu'il résulte des diverses propriétés des courbes en xy qu'elles présentent nécessairement une enveloppe : choisissons comme variable auxiliaire la valeur de tg y pour a; = 0 :
2 = tgyo = tgacosY,
sinY= —
sinV
sina
Fig. 14.
Ces deux valeurs de 2 et de y peuvent être vérifiées directement dans le triangle sphérique rectangle ZVA (fig. l/i), dans lequel
angle ZVA = |, angleVZA^y, VA = V, AZ=a.
En élevant au carré et remplaçant cos^ y par sa valeur en fonction de a et V, on en déduit:
tg^a =
sin^y
sin' V +£^
cos2 V (1 + 22)sin2V
sin2 V + 22 Substituons ces valeurs de a et y dans l'équation générale
1 + tg2 a (sin^ y — cos* x)
cotg 2 y
2 cosy tgacosa;
22 + sin2Vr(l + 22)sin2V "
cos^ V 22 + sin2 V
Nous trouverons successivement :
cotg 2y =
cotg 2y = Z — —rr- -1 ^ , ,^
2cosa;cos2V z 2cosa;cos2V
2 2 cos a; sin^ V — cos^ X 11 — cos^ x sin* V
Appelons Y les ordonnées de la courbe enveloppe; elles satisferont à l'équation
obtenue en égalant à 0 la dérivée par rapport à ^ de M^ + N —
N(i,),o. d-oa.= Y/-;.
Éliminons z entre les équations (U) et (15), et nous trouvons enfin pour équation de la courbe enveloppe cherchée :
<16) cotg 2 Y = g t^ MN = ^— — l/sin^ V - cos'- x l/l — cos^o^sin* V.
^ cos a; cos' V
Cette équation montre que, pour les valeurs de tg y^ positives, et de x comprises entre 0 et -, cotg 2 Y ne peut prendre de valeurs négatives ; de plus on a :
sin * V — cos* a; > 0, ou a; > ^ — V.
Y devient imaginaire pour des abscisses plus petites que - — V, et pour x = — V,
on a Y = 7.
Cherchons la tangente en ce point : représentons par P^ et Q> les deux radicaux, et remarquons que pour ce point spécial P = 0 et P' ^ 0.
— Pï Qî = Qs =00.
dx \cos X cos* V / 2 cos* V cos x Pj
Comme cotg 2 Y est nulle, la courbe en Y a sa tangente verticale au point
Pour a; = -, cotg 2Y = 00, Y = 0 ; cherchons également la tangente à la courbe en
tg2Y =cosaîcos*VP «Q «.
Y, en ce point;
r^ •* rfY lrf(tg2Y)/ 1 \
On sait que — = — ^— — -{ -— ).
^ dx 2 dx \l+tg2 2Y/
( P-|Q-| = -Ai7, P'=0, Q' = 0.
D«.,T. "^ ) sinV
Pour X — - {
^ * oxr . * rf(tg2Y) cos»V
l tg2Y=0 et -^ ' = ^-r^;
° dx sin V
dY 1 cos* V 1
d'où l'on conclut que -?- = —;: • ^. = — ;: cotg V cos V.
^ dx 2 smV 2
§ 11. Ces différentes observations nous permettent de nous rendre compte de la vv-^ forme des courbes en x\j, pour le cas où Tarête de zone est contenue dans le plan de la bissectrice et de l'axe de moyenne élasticité. Elles sont résumées dans la fiq. 15.
\lr »
Fig. 15.
2° sinY = o. S 12. Supposons toujours D = 0, c'est-à-dire si n Y (tg a — tgp) = 0, mais considérons
maintenant le cas où sin y = 0 ; et comme y ô» ^^^^ revient à supposer y = 0.
U arête de zone est contenue dans le plan des axes optiques, et se trouve hors de leur plus petit angle.
Les conséquences, déduites dans le § 3, sont encore applicables ici à la recherche des maxima et minima. Les solulions sont encore :
tg a; = 0, tg*a; =
seulement ici A = 1, B = — tgatgp.
Donc, pour qu'il y ait maximum et minimum de y, en dehors des valeurs correspondant à x = 0,x — t:, il faut et il suffit que les inégalités suivantes soient satisfaites :
(17) tg«a;>0 ou tgatgp>l.
Comme a + p est plus petit que x, la condition précédente exige d'abord que l'un
de ces deux angles soit plus grand que -; supposons donc a < - < p. Il est facile de voir
que cette condition nécessaire est aussi suffisante. En effet, l'inégalité (17) peut se traduire ainsi qu'il suit :
tgp>J- OU-tgP>tg(;— a),
OU tg(7r — p)>tg Q — aj,
OU enfin tt — p>-— a, c'est-à-dire p— a<-.
Or, lorsque y est nul, la différence p — a est égale au plus petit angle 2V fait entre eux par les axes optiques : d'où il résulte que, nécessairement, p — a est plus petit
que-.
Il y a donc maximum ou minimum pour y entre les valeurs de a? = 0 et -, lorsque
l'arête de zone, étant comprise dans le plan des axes optiques, fait avec l'un d'eux un angle plus grand qu'un droit.
§ 13. Construisons la courbe en xy pour les deux cas possibles P<.-x,p>q- Supposons d'abord ^ < ô- La valeur initiale de y sera :
et 2/o pourra prendre toutes les valeurs comprises entre V et g — V (fig. 16).
Nous savons que yo est un maximum ou un minimum ; vr étant de même signe
ÙCC
que -— ; — (§ 6), il est facile de voir que dans
l'espèce, i/o est un maximum. D'ailleurs les conclusions du § 7 sont applicables ici, et l'on verra plus loin l'explication du coude brusque que fait
la courbe pour les valeurs de x voisines de -, ^. ,^
'^ 2 Fig. 16.
TV
fe -*i-
quand y^ approche de la valeur limite ô — V. Pour a; = -, y = 0.
§ lù. Supposons maintenant ^>^; i/o est toujours égal à ^—^ = p — V et oscille entre „ — Vet -. Il correspond également à une tangente horizontale et à un maximum,
car — - — est encore ici négatif.
Mais, après avoir décru, la courbe passe par un nouveau point où sa tangente est
horizontale, et qui doit nécessairement correspondre à un minimum. On peut d'ailleurs
le vérifier directement; ce point correspond (§ 12) à
tg- X = — - — ou cos- X — -.
Portons ces valeurs dans l'équation (9) ; nous obtenons :
d'y . . . rf^R
~ de même signe que — -r-^
Ih MINÉRALOGIE MICROGRAPHIQUE.
équation dans laquelle nous ne considérons que les valeurs de x comprises entre
0 et |, et par conséquent le signe positif du radical. En simplifiant, il vient :
dTR
A = l, B = — tgatgp>l (voir l'équation 17), doncB — A>0, G = tga + tgp<0; en effet, tga< — tgp ou a<7T — p. Il en résulte que — — est positif, et nous avons bien affaire à un minimum.
Puis la courbe croît et, pour x = -,y est égal à -- Les conclusions du § 7 sont
d'ailleurs également applicables dans l'espèce {ftg. 17).
§ 15. Il peut être intéressant de connaître la courbe qui relie entre eux tous ^ les points où y passe par un minimum. Prenons p comme variable auxiliaire.
Pour y minimum, on a :
Fig. 17.
