N /^IR
En posant n = au, m = ^jjl, cette expression devient
(3) — --inzr-^, OÙ a +3 = 1.
L'expression du rapport d'un terme au précédent est
p nn- r en sorte que le plus grand terme est déterminé par les inégalités
q jjL — w+ 1
c'est-à-dire
(ix + l)î <(w4-l)(p4-î);
en sorte que 7i est la partie entière du quotient -\ de
même m est alors la partie entière du quotient ^ et par
conséquent lorsque u est très grand, les exposants de p et de g dans le plus grand terme, sont à peu près dans le rapport même
MONOGRAPHIE DE LA FONCTION GAMMA. i61
àep k q. Dans Texpression trouvée précédemment, il suffira donc
de faire a = - — , S = POur avoir la valeur approchée
du plus grand larme. On trouve alors
Vr^^iV^pq
Si p et q représentent les probabilités de deux événements contraires, la somme p -\- q est égale à l'unité. Alors les termes du développement de {p + qY représentent les probabilités respectives de diverses combinaisons qui peuvent survenir sur ja épreuves dans la succession des événements considérés.
L'événecnent le plus probable est celui dont la probabilité est représentée par la formule
(p + qT
c'est celui pour lequel les deux événements arrivent un nombre de fois proportionnel à leurs chances respectives. Il est évident que, même alors, la probabilité, quoique la plus grande de toutes, tend vers zéro avec le nombre y. des épreuves.
Les mêmes formules d'approximation des fonctions gamma permettent d'exprimer simplement la valeur approchée du groupe de termes qui dans le développement suivent et précèdent le plus grand, c'est-à-dire la probabilité pour que le nombre d'arrivées des deux événements contraires ne s'écarte pas au delà d'une limite donnée du nombre correspondant au maximum.
La théorie des probabilités contient un nombre considérable d'applications de la fonction gamma et tout particulièrement des évaluations approchées de cette fonction.
Laplace, dans sa Théorie des Probabilités, avait eu souvent l'occasion de s'occuper des fonctions de très grands nombres, mais les procédés particuliers auxquels il a eu recours ne peuvent être considérés comme satisfaisants.
T. ni (»• Série). il
162 G. RRUNEL.
La théorie des probabilités n'est pas la seule branche d'analyse où les fonctions gannna trouvent un emploi continuel. Nous devons aussi citer son application dans la théorie des équations aux différences finies. (Voir, par exemple, le traité de Boole et les mémoires de Russell, Blissard...)
Nous devons aussi indiquer quelques mémoires sur la théorie des nombres où les fonctions gamma jouent un grand rôle.
Lejeune-Dirichlet, J, de Cr., t. XVII, p. 57.
Jacobi, Berlin. Monalsb.^ 1837.
Genocchî, Toriolini C, III, p. 406.
Krouecker, /. de C)\, 1860; Berlin. Monaisb.. 18G4 et 1870.
Berger, Nov. Act, UpsaL, t. XI et XII.
